关于不定方程x~3-1=3pqy~2的整数解研究

设pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.关于不定方程x3-1=3s∏i=1piy2(s≥2)的初等解法至今仍未解决.主要利用Pell方程的解的性质、递归序列、同余式、平方剩余等证明了p≡q≡1(mod 6)为奇素数,pq≡7(mod 12),(p/q)=1时,不定方程x3-1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(1,0).     

关于丢番图方程x3＋1＝3pqy2的整数解

设P=3i∏pi(s≥2),其中pi=1(mod 6)(i=1,2,…,s)为奇素数.关于丢番图方程x3+1=Py2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质以及递归序列证明了:当p≡q≡1(mod6)为奇素数,pq≡7(mod 24),(p/q)=-1时,丢番图方程x3+1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x~3-1=3qDy~2的整数解的研究

设D=∏ni=1p_i(n∈Z~+),p_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为互异的奇素数,q≡1(mod 6)为奇素数.运用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列等讨论了不定方程x~3-1=3qDy~2的整数解的情况.     

丢番图方程x~3±1=3qPy~2的整数解

设P=∏r+i(s∈Z),ri≡-1 mod 6(1≤i≤s)为彼此不相同的奇素数,q≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=3qPy2的整数解目前只有部分结果.运用Pell方程的解的性质、同余式、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=3q Py2的整数解的情况,从而推进了该类丢番图方程的研究.     

关于Diophantine方程x~3±1=6pqy~2的整数解

主要利用同余式、Pell方程的解的性质、递归序列、平方剩余等理论得出了如下结果:(1)p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1,pq≡19(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod 24)时,Diophantine方程x~3-1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(1,0);(2)p≡q≡1(mod6)为奇素数,(p/q)=-1,且pq≡7(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod2 4)时,Diophantine方程x~3+1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x3-1=73qy2的整数解

设D=∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为不同的奇素数.关于不定方程x3-1=Dy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、二次剩余、递归序列、Pell方程的解的性质,证明了q≡1,19(mod 24)为奇素数,(q/73)=-1时,不定方程x3-1=73qy2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于Diophantine方程x~3+1=13qy~2的整数解

设D是无平方因子的正整数,D=∏s i=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod 12)为奇素数,且(q/13)=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4 367,±30 252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。     

关于Diophantine方程x~3±1=pqy~2

关于Diophantine方程x3±1=Dy2至今仍未解决.论文利用同余式、平方剩余、Pell方程解的性质、递归序列证明:(1)p≡1(mod 12)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)p≡1(mod 24)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于Diophantine方程x3+1=13qy2的整数解

设D 是无平方因子的正整数,D =∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod12)为奇素数,且q( )13=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4367,±30252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。
     

关于不定方程x~3±1=6pqDy~2的整数解

设Q=6p_1…p_sr_1…r_n(s,n∈Z_+),其中p_j≡1(mod 6)(j=1,2,…,s)为奇素数,r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数.关于不定方程x3±1=Qy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、Legendre符号的性质、递归序列、Pell方程解的性质证明了:当D=r_1…r_n(n∈Z+),r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数,p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1时,不定方程x~3±1=6pqDy~2仅有平凡解的两个充分条件.     

关于Diophantine方程x~3±1=2pqry~2

设p,q,r为奇素数,p≡13 mod 24,q≡19 mod 24,(p/q)=-1.利用同余式、平方剩余、递归序列、Legendre符号的性质、Pell方程解的性质等证明了:(A)若r≡5 mod 12,则方程G:x3-1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(1,0);若r≡11 mod 12,则方程G最多有2组正整数解.(B)若r≡11 mod 12,则方程H:x3+1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(-1,0);若r≡5 mod 12且(pq/r)=-1,则方程H最多有2组正整数解.     

Diophantine方程x~3+5~3=2pqy~2的整数解

设p≡13(mod 24)为奇素数,q≡19(mod 24)为奇素数.运用同余的性质、Legendre符号的性质等得出了Diophantine方程x~3+5~3=2pqy~2无正整数解的一个充分条件.     

关于不定方程x~3+5~3=2Ry~2

设R=p1 p2 Q,Q=r i(n∈Z),ri-1(mod6)(1≤i≤n)为互异的奇素数,p1≡p2≡1(mod 6)为奇素数。运用初等方法得出了不定方程x 3+53=2Ry 2无正整数解的一个充分条件。     

Diophantine方程x~3+1=3Qy~2的整数解

设Q=p∏ni=1ri(n∈Z+),ri≡-1(mod 6)(i=1,2,…,n)为互异的奇素数,p≡1(mod 6)为奇素数.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等证明了Diophantine方程x~3+1=3Qy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3±27=py~2

利用初等方法得出了:p=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4))为奇素数时,丢番图方程x3+27=py2无正整数解;p=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod 13))为奇素数时,丢番图方程x3-27=py2无正整数解.     

丢番图方程x~3±1=2pDy~2的整数解

设D=∏r+i(n∈Z),ri≡5 mod 6(1≤i≤n)为彼此不相同的奇素数,p≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=2pDy2的初等解法至今仍未解决.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=2pDy2的整数解的情况.     

关于不定方程x~3±1331=2pqy~2的整数解

设p、q为奇素数,p≡13(mod24),q≡19(mod24),Legendre符号值p(q)=-1.利用递归序列、Legendre符号的性质、同余的性质以及Pell方程的解的性质等,证明了:(i)若p()11=pq(11)=-1且n■3(mod4),则不定方程x3-1331=2pqy2至多有2组正整数解;(ii)若pq(11)=-1且n■1(mod4),则不定方程x3+1331=2pqy2仅有平凡解(x,y)=(-11,0);推进了此类不定方程的研究.     

关于不定方程x3-1=709 q y2的正整数解

采用同余式、Pell方程解的性质以及递归序列等初等数论方法,得到了当q≡1(mod 12)为奇素数时,不定方程x3-1=709 qy2有解的充要条件.证明了当q满足q=12k2+12k+1(k∈N*),q=108k2±12k+1(k∈N*),q=12k2+1(k∈N*)以及q≡1(mod 12)为奇素数且q709=-1这4个条件之一时,方程x3-1=709 q y2无正整数解.     

关于丢番图方程px~4-(p-q)y~2=qz~4

利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-q)y2=qz4当p=2Q2+q,p,q为奇素数,2|/Q,P≡7(mod8)或者2|Q,p≡3(mod8)时的全部正整数解,从而拓展了Mordell等学者关于ax4+by4=cz2的结果.     

丢番图方程x~3+1=PQy~2的整数解

利用同余式、递归序列、勒让德符号、Pell方程的解的性质证明了p≡19(mod 24)为奇素数,q=73,97,241,337,409,(pq)=-1时,丢番图方程x3+1=PQy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).