关于Diophantine方程x~3±1=6pqy~2的整数解

主要利用同余式、Pell方程的解的性质、递归序列、平方剩余等理论得出了如下结果:(1)p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1,pq≡19(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod 24)时,Diophantine方程x~3-1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(1,0);(2)p≡q≡1(mod6)为奇素数,(p/q)=-1,且pq≡7(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod2 4)时,Diophantine方程x~3+1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于Diophantine方程x~3±1=pqy~2

关于Diophantine方程x3±1=Dy2至今仍未解决.论文利用同余式、平方剩余、Pell方程解的性质、递归序列证明:(1)p≡1(mod 12)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)p≡1(mod 24)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x~3±1331=2pqy~2的整数解

设p、q为奇素数,p≡13(mod24),q≡19(mod24),Legendre符号值p(q)=-1.利用递归序列、Legendre符号的性质、同余的性质以及Pell方程的解的性质等,证明了:(i)若p()11=pq(11)=-1且n■3(mod4),则不定方程x3-1331=2pqy2至多有2组正整数解;(ii)若pq(11)=-1且n■1(mod4),则不定方程x3+1331=2pqy2仅有平凡解(x,y)=(-11,0);推进了此类不定方程的研究.     

关于Diophantine方程x~3-1=3pqy~2

主要利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质,证明了:设素数p≡q≡1(mod12),(p/q)=-1,Diophantine方程x3-1=3pqy2仅有整数解,即(x,y)=(1,0)。     

关于不定方程x~3-1=3pqy~2的整数解研究

设pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.关于不定方程x3-1=3s∏i=1piy2(s≥2)的初等解法至今仍未解决.主要利用Pell方程的解的性质、递归序列、同余式、平方剩余等证明了p≡q≡1(mod 6)为奇素数,pq≡7(mod 12),(p/q)=1时,不定方程x3-1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(1,0).     

丢番图方程x~3-1=3Py~2的整数解

设P=∏si=1p_i(s≥2),p_i≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了P=pq,p≡13(mod 24)为奇素数,q=12s~2+1(s∈Z~+,2■s)为奇素数,(p/q)=-1时,丢番图方程x~3-1=3Py~2仅有平凡解(x,y)=(1,0).     

关于丢番图方程x3±1=py2

应用因子分解法、简单同余法以及前人的已知结果证明了:(1)设p是1个奇素数,则丢番图方程组x+1=3py21,x2-x+1=3y22,(y1,y2)=1,y1>0,y2>0,无正整数解x,p,y1,y2;(2)丢番图方程x3+1=py2(其中p≡-1(mod 3)为素数)仅有整数解(x,y)=(-1,0);(3)丢番图方程x3-1=py2(其中p≡-1(m od 3)为素数)仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于丢番图方程x~3±3~3=3pqy~2

主要利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了当p≡1(mod 12),q≡12s2+1时,丢番图方程x3-33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(3,0);当p≡1(mod 24),q≡12s2+1时,丢番图方程x3+33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(-3,0).     

关于丢番图方程x3＋1＝3pqy2的整数解

设P=3i∏pi(s≥2),其中pi=1(mod 6)(i=1,2,…,s)为奇素数.关于丢番图方程x3+1=Py2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质以及递归序列证明了:当p≡q≡1(mod6)为奇素数,pq≡7(mod 24),(p/q)=-1时,丢番图方程x3+1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程组x±1=6pqu~2,x~2■x+1=3υ~2的整数解

设p,q是互异的奇素数,p≡q≡1(mod 6),利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等方法证明了不定方程组x-1=6pqu2,x2+x+1=3v2仅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1);而不定方程组x+1=6pqu2,x2-x+1=3v2仅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).     

丢番图方程x~3+1=PQy~2的整数解

利用同余式、递归序列、勒让德符号、Pell方程的解的性质证明了p≡19(mod 24)为奇素数,q=73,97,241,337,409,(pq)=-1时,丢番图方程x3+1=PQy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于Diophantine方程x~3+1=13qy~2的整数解

设D是无平方因子的正整数,D=∏s i=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod 12)为奇素数,且(q/13)=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4 367,±30 252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。     

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2py~n

设p为奇素数.证明了:①若整数n>2,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1);②若整数n=2,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn在p■1(mod 8)时仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1),(3,2,2),(3,48,140),(11,98,210);在p≡1(mod 8)时的正整数解为(p,xn,yn)=(p,16t2n,4untnsn),这里p,un,tn,sn满足sn+2=6sn+1-sn,s1=3,s2=17,tn+2=6tn+1-tn,t1=1,t2=6及pu2n=16t2n+1.     

关于丢番图方程2py~2=2x~3+3x~2+x的解

本文运用初等数论简单同余法、分解因子法及反证法等,得到丢番图方程2py2=2x3+3x2+x,(p为素数)无正整数解的情况.(1)当p≡1(mod 8),p≡5(mod 8),p≡7(mod 8)时,则方程无正整数解;(2)当p≡3(mod 8)时,Un+Vnp(1/2)=(x0+y0p(1/2))n.其中x0,y0是Pell方程x2-py2=1的基本解,当n≡0(mod 2)时,则方程无整数解;当n≡1(mod 2)时,若2|x0,则方程无整数解.特别是p≡3(mod 8)且p100时,2|x0,则方程无整数解.     

关于Diophantine方程x~3+1=3pqy~2

关于Diophantine方程x~3+1=3pqy~2整数解的情况至今仍未解决。本文主要利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明:设素数p≡1(mod 24),素数q=12s~2+1,(s是正奇数),(p/q)=-1,Diophantine方程x~3+1=3pqy~2仅有整数解,即(x,y)=(-1,0)。关键词:Diophantine方程;同余式;平方剩余;Pell方程     

关于丢番图方程组x-1=3pqu~2,x~2+x+1=3v~2的整数解

设p,q是互异的奇素数,p≡q≡1(mod 6),本文主要利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等证明了丢番图方程组x-1=3pqu2,x2+x+1=3v2除开p=7,q=181有非平凡解(x,u,v)=(60 817,±4,±35 113)外,仅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)。     

关于Pell方程x2－6y2＝1与y2－Dz2＝4的公解

该文证明了：1) 若p1，…，ps是不同的奇素数，则当D＝p1…ps(1≤s≤3)时除开D为11,11×89×109,11×97×4801外，方程组G：x2－6y2＝1与y2－Dz2＝4仅有平凡解(x，y，z)＝(±5，±2,0)；2)若D是无平方因子正整数，则当D为偶数且D没有适合p≡1(mod 24)以及p≡7(mod 24)的素因数p，则方程组G仅有平凡解(x，y，z)＝(±5，±2,0).     

关于丢番图方程x~3±1=7qy~2的整数解

设D=7q,q≡1(mod6)为奇素数.关于Diophantine方程x3±1=7qy2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了(1)q=13,19,61时,丢番图方程x3-1=7qy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)q=13,73,97时,丢番图方程x3+1=7qy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于Diophantine方程kx~4-(2k+4)x~2y~2+ky~4=-4

利用Pell方程及同余的性质给出了Diophantine方程G:kx4-(2k+4)x2y2+ky4=-4仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1)的充分条件。证明了:1)若k≠12(mod 16),则Diophantine方程G仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1);2)若k=4m,m≡3(mod4),且2︱s或s≡0(mod 4),t≡3,5(mod 8)或s≡2(mod 4),t≡1,7(mod 8),则Diophantine方程G仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1),这里s+t m1/2是Pell方程x2-my2=1的基本解。     

关于不定方程x3-1=73qy2的整数解

设D=∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为不同的奇素数.关于不定方程x3-1=Dy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、二次剩余、递归序列、Pell方程的解的性质,证明了q≡1,19(mod 24)为奇素数,(q/73)=-1时,不定方程x3-1=73qy2仅有整数解(x,y)=(1,0).