丢番图方程x~3±1=2pDy~2的整数解

设D=∏r+i(n∈Z),ri≡5 mod 6(1≤i≤n)为彼此不相同的奇素数,p≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=2pDy2的初等解法至今仍未解决.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=2pDy2的整数解的情况.     

关于Diophantine方程x~3±1=6pqy~2的整数解

主要利用同余式、Pell方程的解的性质、递归序列、平方剩余等理论得出了如下结果:(1)p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1,pq≡19(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod 24)时,Diophantine方程x~3-1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(1,0);(2)p≡q≡1(mod6)为奇素数,(p/q)=-1,且pq≡7(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod2 4)时,Diophantine方程x~3+1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x~3+1=6pQy~2

设Q=n∏i=1qi(n∈Z+),qi≡-1(mod6)(i=1,2,···,n)为彼此不相同的奇素数,p≡1(mod 6)为奇素数,关于不定方程x~3+1=6pQy~2的初等解法至今仍未解决。运用同余式、递归序列、Pell方程的解的性质、平方剩余等讨论了不定方程x~3+1=6pQy~2的整数解的情况。     

关于丢番图方程x~3±27=py~2

利用初等方法得出了:p=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4))为奇素数时,丢番图方程x3+27=py2无正整数解;p=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod 13))为奇素数时,丢番图方程x3-27=py2无正整数解.     

关于不定方程x~3±1=6pqDy~2的整数解

设Q=6p_1…p_sr_1…r_n(s,n∈Z_+),其中p_j≡1(mod 6)(j=1,2,…,s)为奇素数,r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数.关于不定方程x3±1=Qy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、Legendre符号的性质、递归序列、Pell方程解的性质证明了:当D=r_1…r_n(n∈Z+),r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数,p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1时,不定方程x~3±1=6pqDy~2仅有平凡解的两个充分条件.     

关于不定方程x~3-1=3pqy~2的整数解研究

设pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.关于不定方程x3-1=3s∏i=1piy2(s≥2)的初等解法至今仍未解决.主要利用Pell方程的解的性质、递归序列、同余式、平方剩余等证明了p≡q≡1(mod 6)为奇素数,pq≡7(mod 12),(p/q)=1时,不定方程x3-1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(1,0).     

丢番图方程x~3±1=3qPy~2的整数解

设P=∏r+i(s∈Z),ri≡-1 mod 6(1≤i≤s)为彼此不相同的奇素数,q≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=3qPy2的整数解目前只有部分结果.运用Pell方程的解的性质、同余式、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=3q Py2的整数解的情况,从而推进了该类丢番图方程的研究.     

关于指数Diophantine方程x~3-1=2py~2

设p是6k+1型的奇素数,运用Pell方程px2-3y2=1的最小解、同余式、平方剩余、勒让德符号的性质等初等方法证明了当p=3n(n+1)+1≡1,7(mod8)(n为单数)为奇素数,且2n+1为奇素数时,指数Diophantine方程x3-1=2py2无正整数解.     

关于不定方程x~3-1=3qDy~2的整数解的研究

设D=∏ni=1p_i(n∈Z~+),p_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为互异的奇素数,q≡1(mod 6)为奇素数.运用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列等讨论了不定方程x~3-1=3qDy~2的整数解的情况.     

丢番图方程x~3-1=3Py~2的整数解

设P=∏si=1p_i(s≥2),p_i≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了P=pq,p≡13(mod 24)为奇素数,q=12s~2+1(s∈Z~+,2■s)为奇素数,(p/q)=-1时,丢番图方程x~3-1=3Py~2仅有平凡解(x,y)=(1,0).     

关于不定方程x~3+5~3=2Ry~2

设R=p1 p2 Q,Q=r i(n∈Z),ri-1(mod6)(1≤i≤n)为互异的奇素数,p1≡p2≡1(mod 6)为奇素数。运用初等方法得出了不定方程x 3+53=2Ry 2无正整数解的一个充分条件。     

关于丢番图方程x3＋1＝3pqy2的整数解

设P=3i∏pi(s≥2),其中pi=1(mod 6)(i=1,2,…,s)为奇素数.关于丢番图方程x3+1=Py2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质以及递归序列证明了:当p≡q≡1(mod6)为奇素数,pq≡7(mod 24),(p/q)=-1时,丢番图方程x3+1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3±5~3=2Sy~2

设S=qP,q=1(mod6)为奇素数,P=Πni=1ri(n∈Z+),ri=1(mod6)(1≤i≤n)为互异的奇素数。运用同余式、乐让德符号的性质等初等方法得出了丢番图方程x 3+53=2Sy 2无正整数解的两个充分条件。     

Diophantine方程x~3+5~3=2pqy~2的整数解

设p≡13(mod 24)为奇素数,q≡19(mod 24)为奇素数.运用同余的性质、Legendre符号的性质等得出了Diophantine方程x~3+5~3=2pqy~2无正整数解的一个充分条件.     

方程x~3-1=2py~2有正整数解的判别条件

设p是适合p≡1(mod 6)的奇素数.根据二次Diophantine方程的性质,给出方程x3-1=2py2有正整数解(x,y)的新的判别条件.     

关于Diophntine方程X3±8=3Dy2

利用初等数论的方法证明了:如果D是适合D≡1(mod 8)的奇素数,则方程x3+8=3Dy2无正整数解;如果D是适合D≡3(mod 8)的奇素数,则方程x3-8=3Dy2无正整数解.     

关于丢番图方程2py~2=2x~3+3x~2+x的解

本文运用初等数论简单同余法、分解因子法及反证法等,得到丢番图方程2py2=2x3+3x2+x,(p为素数)无正整数解的情况.(1)当p≡1(mod 8),p≡5(mod 8),p≡7(mod 8)时,则方程无正整数解;(2)当p≡3(mod 8)时,Un+Vnp(1/2)=(x0+y0p(1/2))n.其中x0,y0是Pell方程x2-py2=1的基本解,当n≡0(mod 2)时,则方程无整数解;当n≡1(mod 2)时,若2|x0,则方程无整数解.特别是p≡3(mod 8)且p100时,2|x0,则方程无整数解.     

关于不定方程x~3±1331=2pqy~2的整数解

设p、q为奇素数,p≡13(mod24),q≡19(mod24),Legendre符号值p(q)=-1.利用递归序列、Legendre符号的性质、同余的性质以及Pell方程的解的性质等,证明了:(i)若p()11=pq(11)=-1且n■3(mod4),则不定方程x3-1331=2pqy2至多有2组正整数解;(ii)若pq(11)=-1且n■1(mod4),则不定方程x3+1331=2pqy2仅有平凡解(x,y)=(-11,0);推进了此类不定方程的研究.     

关于丢番图方程x3-y6=3pz2及其计算程序

设p≡ 5 (mod6 )为素数 ,证明了丢番图方程x3 -y6=3pz2 在p≡ 5 (mod12 )为素数时均无正整数解 ,在p≡ 11(mod12 )为素数时均有无穷多组正整数解 ,并且还获得了该方程全部正整数解的通解公式 ,同时编写了计算正整数解的计算程序 ,可以很方便地计算该方程的正整数解。     

关于Diophantine方程x~3±1=2pqry~2

设p,q,r为奇素数,p≡13 mod 24,q≡19 mod 24,(p/q)=-1.利用同余式、平方剩余、递归序列、Legendre符号的性质、Pell方程解的性质等证明了:(A)若r≡5 mod 12,则方程G:x3-1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(1,0);若r≡11 mod 12,则方程G最多有2组正整数解.(B)若r≡11 mod 12,则方程H:x3+1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(-1,0);若r≡5 mod 12且(pq/r)=-1,则方程H最多有2组正整数解.