Camassa-Holm方程在孤波附近的解

通过伪共性变换,将Camassa-Holm方程在孤波Q附近的解做如下分解:λ~(1/2)(t)u(t,λ(t)y+x(t))=Q(y)+ε(t,y),得到了估计式|ε(t,y)|≤Ca_3Te~(-θ|y|)+|λ~(1/2)(t)ε_0|.在H~2空间下,若初值和孤波解Q充分接近,则随着y→∞,对应解仍然和孤波解充分接近且余量ε的能量分布与孤波Q保持一致.     

一个变分双曲型组的解

本文研究带Dirichlet条件的边界值问题{□u+△G(u)=f(t,x),(t,x)∈Ω≡(0,π)×(0,π), (*)u(t,x)=0, (t,x)∈aΩ,的解的存在性,这里口是波算子a2/at2-a2/ax2,GRn→R是一连续函数.设σ(口)={k2-m2,k,m∈N}记波算子口的特征值的集合,(a2G(u)/auiaui)记u∈Rn.点处的Hessian阵.假定σ((a2G(u)/auiauj))∩σ(□)=φ.再设E={u|u(t,x)=∑k,mψkm(t,x)Ckm, Ckm ∈ Rn k,m ∈ N,∑k,m(k2+m2+1)|Ckm|2 ＜+∞},Y={y|y(t,x)=∑i,k,mμikmψkm(t,x)ei,k2 - m2 ＜γi(u),μikm ∈ R,k,m ∈N,∑k,m(k2+m2+ 1)|μikm|2＜+∞,i= 1,2,……,n} Z={z|z(t,x)=∑i,k,mμikmψkm(t,x)ei,k2 -m2＞γi(u),μikm ∈ R,k,m ∈ N ,∑k,m(k2 + m2+1)|μikm|2 ＜+ ∞,i = 1,2,……,n}.对Y中的k2-m2记ξ(‖u‖0) =min‖v‖0≤‖u‖0 mink,m∈N min1≤i≤n{γi(v)-(k2- m2) ＞ 0},对Z中的k2-m2,记η(‖u‖0)=min‖v‖0≤‖u‖0 mink,m∈N min1≤i≤n{k2-m2-γi(v)＞0},这里‖·‖0记(L2(Ω))n.假设∫+∞1ξ(s)ds=∞, ∫+∞1η(s)ds=∞.在上述条件下,我们使用R.F.Manasevich的最大值最小值定理证明问题(*)的弱解u0∈(H1(Ω))n的存在性和唯一性.     

组合KdV-mKdV方程的函数变换和精确解析解

利用新的函数变换,得到了组合KdV-mKdV方程u1 2auux 3βu^2ux γuxxx=0的若干精确解析解,其中包含钟状孤波解、扭状孤波解,新的钟状和扭状组合型的孤波解以及周期波解,此外,也得到了其他类型非线性波方程的解。     

一类具有退缩线方程的解的拓展唯一性问题

在本文中证明了下面一类问题解的唯一性:Pu=[t-C(x)]~m■u α■u b■u eu=f t≥C(x)u|t=■=g■tu|t=■=h其中α<0;b>0;m≥2或m=1,b>max(3,|C″(0)·α|).     

含临界指数的双调和问题非平凡解的存在性

讨论如下含临界指数的双调和方程非平凡解的存在性{Δ2u=μ(u)/(|x|s) |u|2*-2u λu f(x), x∈Ω,u=((e)u)/((e)v)=0, x∈(e)Ω .其中Ω(∪)RN是有界光滑区域,0∈Ω, N≥5, 0≤s≤4,0≤μ＜(-μ)=(N(N-4)/4)2,2*=(2N)/(N-4)为W2,2(Ω)中Sobolev嵌入的临界指数,u, v表示(e)Ω的外法线方向,f(x)为给定函数.通过变分方法,我们证明了含临界指数的双调和方程非平凡解的存在性.     

含有非局部项抛物型方程整体解的不存在性

本文研究一类含有非线性局部顶的抛物型m-Laplacian方程的柯西初值问题{ut=div(|▽u|m-2▽u) ∫RNK(x,y)up(y,t)dy x ∈RN,t》0/u(x,0)=u0(x),x∈RN,u(x,t)≥0(x,t)∈RN×R (0.1)的非负整体解的不存在性问题.从两个角度出发,研究参数p,β,m和初始条件u0(x)在无穷远处的渐近行为对问题(0.1)解的不存在性的影响.采用的方法是"试验函数法".该方法是由Mitidieri和Pohozaev在研究一类椭圆型不等式时首先提出.为了使该方法能够用于问题(0.1),需要作些修正.主要结果的证明是通过对解的先验估计,然后应用反证法提出.通过选择适当的试验函数以及变量伸缩,得到解的一个渐近估计和一个上界估计.这些估计依赖于参数T和ρ.最后让ρ→∞和对上界极小化,得出问题(0.1)的非负解的不存在性.作如下假设:(H1)存在 a0∈(0,1/2),使得当α∈(-α0,0),成立u0(x)≥0,u0 ∈L1 a loc(RN); (H2)存在K0》0,0《β《N使得K(x,y)=K(y,x)≥K0|x-y|β-N,x,y∈RN;(H3)存在K0》0,γ≥0 使得 K(x)≥K0(1 |x|2)-γ,x∈RN.主要结果是:定理1 假设2≤m《N,p》m-1和条件(H1),(H2)成立.进一步,如果下列条件之一满足:(H4)P《m-2 N m/N-β;(H5)存在依赖参数m,p,β的β0》0,使得lim inf|x|→∞(u0(x)|x|m β/p 1-m-α)≥β0;那么初值问题(0.1)不存在整体的非负解.当K(x,y)只是一个变量y的函数时,有定理2 假设2≤m《N,p》m-1和条件(H1),(H3)成立.进一步,如果下列条件之一满足:(H6)0≤γ《(N m)/2;(H7)存在依赖参数的m,p,γ的β2》0,使得lim inf|x|→∞(u0(x)|x|m N-2γ/P 1-m-a)≥β2;那么问题{ut=div(|▽u|m-2▽u) ∫RN K(y)up(y,t)dy x∈RN,t》0/u(x,0)=u0(x),x∈RN不存在整体有界的非负解.     

一类半线性椭圆方程的多重解

本文利用Z2指标理论获得Dirichlet边值问题-△u=f(x,u)a.ex∈Ω,u| Ω=0的多重解定理。其f(x,t)中,f(x,u)满足:存在整数m≥1,b>0,λm+b≤limt≤λm+1(λm是特征值问题-△u=λu,u∈Ω;u| Ω=0的t→0第m个特征值且0<λ1<λ2<…<λm<…)。     

一类带权的椭圆方程变号解的存在性问题

描述了一类带权的有狄里克雷边界条件的椭圆方程:-div(|x|~(-2a)▽u)-μ/|x|~(2(a+1))u=|x|~(-bp)|u|~(p-2)u+λu在零点附近变号解的存在性问题,其中0∈Ω是R~N(N≥3)中具有光滑边界的有界区域,并在临界的加权Sobolev-Hardy指数情况下得到其变号解.     

一类非线性Choquard方程解的存在性

研究了一类非线性Choquard方程-Δu(x)+V(x)u(x)=a(x)∫R3a(y)|u(y)|p|x-y|μdy|u(x)|p-2u(x)解的存在性.其中,0μ3,6-μ3p6-μ.在位势函数V(x)及函数a(x),a(y)满足适当条件下,运用变分方法证明了方程非平凡弱解的存在性.     

带扰动项的临界奇异双调和方程的非平凡解

研究了一类带扰动项的临界奇异双调和方程{Δ2u-μu/|x|s=|u|2*-2u+k(x)|u|q-2u+λu,x ∈Ω,u= (e)u/(e)ν=0,x∈(e)Ω,其中ν表示边界(e)Ω的单位外法向量,2*=2N/N-4是嵌入H2(RN)→L2*(RN)的临界Sobolev指数,0≤s<4,20,λ>0为参数.利用Sobolev嵌入的最佳达到函数和精确的能量估计,运用山路引理得到了这类双调和方程非平凡解的存在性.     

非线性Schrdinger方程的Compacton解和孤立波解

研究了非线性Schro..dinger方程:iut+αuxx+β|u|2pu=0(p为任意实数),得到丰富的孤立波解:当p>0时得到孤立波解,p<0时得到移动Compacton解,p=0时得到Compacton解;研究了(2+1)维非线性Schro..dinger方程的解,并推广到(n+1)维非线性Schro..dinger方程 还比较了任意维非线性Schro..dinger方程解的情况以及不同解与系数的关系     

环形区域上具有变号线性项的椭圆型方程的正径向解

讨论环形区域?={x∈RN|R1<|x|?a0(r);;f(u)超线性或次线性增长时;;该问题至少存在一个正径向解.     

全空间中椭圆方程组解的存在性

研究了下面椭圆方程组解的存在性问题{-Δu+qu=2α/α+β|u|~(α-2)u|v|~β,x∈R~N,-Δv+qv=2β/α+β|u|~α|v|~(β-2)v,x∈R~N,u,v∈H~1(R~N)。通过Nehari流形法证明了以上方程组具有非平凡解。     

关于非线性多调和方程的整体解的存在性

本文主要研究形如:Δ ((Δnu)pp-1) f(|x|, u,(△) (u)x∈R2的非线性多调和方程的整体解,此处n是自然数,p>1是实常数,f:(- 3)R×R 是一个连续函数,ξa*:=|ξa*=|ξa-1ξ,ξ∈R,a>0,证明了该方程不存在径向对称的正整体解, 并给出存在无穷多个最终为负值且其渐进阶(当n→∞时,|u| 作为无穷大量的阶)不低于 |x|2nlog|x| 的整体解u的充分条件及渐进阶正好是 |x|2nlog|x| 的充分必要条件.     

Klein-Gordon-Schrdinger方程组的精确解

利用(G'/G)-展开法求出了Klein-Gordon-Schrdinger方程组含参数的双曲函数形式孤波解及三角函数形式周期波解。文献中用齐次平衡原则与F展开法得到的孤波解与三角函数解是本文所得精确解的特殊情况。此外,结合刘氏定理又得出一种类型的孤波解——扭钟型孤波解。     

非线性p-调和方程组的正整体解

本文研究形如Δ(|Δnuj|pj2(Δnuj))=fj(|x|,(u1,u2),(|u1|,|u2|)),x∈RN(N≥3),j=1,2的非线性p-调和方程组在RN上的正整体解,给出了该类方程组具有无穷多个其渐近阶刚好为|x|(2n-2)(当|x|→∞时)的径向对称的正整体解的若干充分条件.     

新型广义KdV方程K(m,n,1)的Compacton解

研究了一类新型的广义KdV方程K(m,n,1):ut+β1(um)x+β2(un)3x+β3u5x=0(m,n>1),用拟设法求出了它的Compacton解(即在有限区间外为0的孤波解),得到它的图像 并且考虑了Hamiton结构和守恒量,得到了三个守恒量 最后推广到一般的形式ut+β1(uk)x+ nβi(uk)(2i-1)x+βn+1u(2n+1)x=0 i=1     

非线性Schr(o..)dinger方程的Compacton解和孤立波解

研究了非线性Schr(o..)dinger方程iut+αuxx+β|u|2pu=0(p为任意实数),得到丰富的孤立波解当p>0时得到孤立波解,p<0时得到移动Compacton解,p=0时得到Compacton解;研究了(2+1)维非线性Schr(o..)dinger方程的解,并推广到(n+1)维非线性Schr(o..)dinger方程.还比较了任意维非线性Schr(o..)dinger方程解的情况以及不同解与系数的关系.     

临界拟线性椭圆方程极小能量解的形态

讨论了方程-?pu= - Div( | Du|p- 2Du)= Q( x ) | u|^p*- 2u+ε | u|^{σ- 1}u x∈Ω u|∂Ω= 0的极小能量解在ε→0时的形态: 当 ε→0时, 方程极小能量解 u_ε在测度意义下满足| Du_ε|p 弱Q-N- ppm SNp

x0, | uε |p*
弱
Q-Npm
SNp

x0,其中 Qm= maxx

Q( x ) = Q( x 0) ,
x₀为 x₀ 的 Dirac函数, Ω是有界光滑区域.     

R~N中一类临界非局部问题的正解和无穷多对解

研究如下一类带临界指数的非局部问题:{-(a+b∫_(R~N)(|▽u|)~2dxΔu=μ(|u|)~(2~*-2)u+λf(x)|u|~(q-2)u x∈R~N u∈D~(1,2)(R~N)烅烄烆)其中a≥0,b,μ0,N≥4,1≤q≤2,2*=(2N)/(N-2),系数函数f∈2*/L~(2*-q)(R~N)满足一定的条件.当1≤q2,N≥4时,利用变分方法和临界点理论获得了该问题的无穷多对解;当q=2,N=4时,利用山路引理获得了该问题的1个正解.