具退化核Hammerstein积分方程的固有值与固有元

本文是作者工作[1]、[2]的继续。在[2]中作者利用拓扑度理论研究了实用上常见的多项式型Hammerstein非线性积分方程的固有值,即设Aφ(x)=integral from n=G to ∞k(x,y)f(y,φ(y))dy,(1)其中G表N维欧氏空间中某有界闭域,f(x,u)=sum from i=1 to n a_i(x)u~i.对核k(x,y)的假定为:     

空间B_(p1q)~(r)(φ)与差分法的L_p(φ)误差估计

在[1]中我们引进了空间L_p(φ),E_p(φ),在本文中我们把Бесоб空间B_(p1q)~(r)中[见2]的L_p范数换为L_p(φ)范数,新得的空间称之为B_(p~1q)~(r)(φ)。我们将证明B_(p~1q)~(r)(φ)的一个迹定理,并把这个方法应用到初值问题的差分法的误差估计上,而得出差分法的L_p(φ)误差估计。§1.以E_n表n维欧氏空间,x=(x_1,…,x_n),令f(x)=L_p(φ),?f?_(LP)(φ)简记为?f?_(p,φ),f(x)的k阶L_p(φ)光滑模定义为     

HAMMERSTEIN型非线性积分算子的正不动点

本文主要研究多项式非线性积分算子Ax(t)=∫_0 k(t,S)f(s,x(s))ds的正固有值的存在和相应的正固有函数的个数。这里 G 为 N 维欧氏空间中的某有界闭域,f(t,u)=sum from i=1 to n b_i(t)u~(α_i),其中α_i>0(i=1,2,…n),α_i 不必是整数。     

定积分的换元法

在不定积分中,其中之一的积分方法:设y=f(x),x=φ(t)及f′(t)都是连续的,x=φ(t)的反函数t=φ~(-a)(x)存在且可导,并且∫f[φ(t)]·φ′(t)dt=F(t)+C,则∫f(x)dx=F[φ~(-a)(x)]+C。在定积分中的换元法则是:对于定积分integral from n=a to b(f(x)dx),其中f(x)在区间[a,b]上连续,如果函数x=0φ(t)满足下列条件(1)φ(t)在区间[α,β]上有定义′是单值的′单调的,且有连续导数φ′(t)。(2)当t在区间[α,β]上变化时,x=φ(t)的值在区间[a,b]上变化,在这些条件下,则有公式integral from n=a to b(f(x)dx)=integral from n=α to β(f[φ(t)·φ′(t)dt)     

关于u(x)f(x) v(x)g(x)=d(x)中的u(x),v(x)的几点讨论

在高等代数的多项式理论中有一个定理“对于p[x]中任意两个多项式f(x),g(x),在p[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表成f(x),g(x)的一个组合,即有p[x]中多项式u(x),v(x)使     

Hammerstein算子的固有值与多重固有元及其应用

本文是郭先生[1] [2]的继续. 我们研究下面形式的Hammerstein积分方程的非零解的个数。在λ充分大的情况下,得出了方程(1)、(2)有三个不恒为零的非负连续解, G是Ⅳ维欧氏空间R~N中有界闭域,f(u)在0≤u< ∞连续非负且f(0)=0,f(x,u)在G×[0, ∞)连续非负且f(x,0)≡0.     

Hammerstein非线性积分方程的解及其应用

本文是作者近年来关于Hammerstein积分方程ψ(x)=integral from G k(x,y)f(y,ψ(y))dy (1)的解及其应用方面主要工作的综合,有些内容已经发表,有些内容尚未发表。§1 多项式型非线性情形设G是N维欧氏空间R~N中的有界闭集。对于多项式型非线性,即 f(x,u)=sum from i=1 to nα_i(x)u~(α_i),(2)     

谈谈函数exp{-1／x^2}

指数函数exp{-1/x^2}是一个有着奇妙特性的函数。本文利用这个函数的性质构造出了一个函数，用以证明数学分析中的一个事实，对于任意的实数序列aα，存在n维欧氏空间IR^n满足D^αf(0)=aα的任意阶可擞函教f(x)。     

关于Iyengar不等式

利用函数f(x)在积分区间[n,b]端点的函数值及各阶导数值,对函数f(x)在[α,b]上的定积分进行估计,进而得到若干积分不等式．主要结果如下：若函数f(x)是[α,b]上n 1次可微函数,且│f^(n 1)(x)│≤M(M＞0),则│∫^b α(x)dx-n∑k=0 (b-α)^k 1/2^k 1(k 1)! [f^(k) (α) (-1)^k f^(k)(b)]│≤1/2^n 1(n 2)! M(b-α)^n 2.     

n维欧氏空间的两个几何不等式

文章[1]利用代数方法建立了有限点集的一类几何不等式,给出了n维欧氏空间中k(k≤n)维单形的一些不变量的关系式;该文作者又在文[2]中将著名的涉及到两个三角形的Neubery—Peode不等式推广到n维欧氏空间的任意两个单形。本文将从另一角度给出n维欧氏空间中的两个关于两个任意单形的不等式(定理1及定理2),而且作为这两个不等式的特例,可导出另一些不同于文[1]中的不变量之间的关系式。     

椭园型方程广义解的Hlder连续性

本文对文[1]作如下推广:文[1]关于α(x)和,f(x)是在α(x),f(x)∈L_p(G),p=n/(1-λ)条件下([1]中误为p=n/(2-λ))得到一系列结果,本文在α(x),f(x)∈L_p(G),     

关于积分integral from n=+0 to π [f(x+t)+f(x-t)-2f(x)]/tdt

设f(x)∈L_p[0,2π](1≤p≤∞),下列事实是已知的:存在一个以2π为周期的连续函数,积分 integral from n=+0 to π(f(x+t)+f(x-t)-2f(x))/t dt (1)处处发散。本文的目的是讨论积分(1)收敛的充要条件。如同我们在[1,2]中讨论的方法一样,我们需要(L~*)求和法。定义设R是一个巴拿赫空间,以‖u‖表示R中元素u的模.设u=∑u_n是R中一个级数,称     

周期函数数列{f(α,n)}稠密于值域的一个充分条件

文[1]证明了:数列{sinn}的聚点充满闭区间[-1,1]。并进一步推出:“如果f(x)是周期为无理数的连续周期函数,值域为[A,B],则数列{f(n)}的聚点充满区间[A,B]”。因为证明过程用到所述函数的一致连续性,所以上述结论只适应于(-∞, ∞)区间上的连续函数。     

連續函数的一类新的近似多項式

本文引进了一类以n次Jacobi多项式J_n~(α,β)(x)(0≤α,β<1)的零点为节点的插值多项式Sn[f(t):x]。並且论证了它在[-1,1]区间上几乎一致地收歛于连续函数f(x)。最后,作为‘扩展乘数法’的应用,我们还论证了它对在全实轴上连续的无界函数亦具有可逼近的性質。     

n维欧氏空间中微分系统周期解不存在准则

在文正[1]中,针对二维空间讨论了dx/dt=P(x,y),dy/dt=Q(x,y)的周期解不存在的准则,在文[2]中,针对三维空间讨论了dx/dt=X(x,y,z),dy/dt=Y(x,y,z),dz/dt=Z(x,y,z)的周期解不存在的准则,本文将以上结果引用一些其它数学工具从而推广到n维欧氏空间中去。     

富里埃级数的蔡查罗求和

1.假如f(x)∈L[0,2π],且在[0,2π]的子区间[a,b]上是连续的,那末我们写着f(x)∈L[0,2π]·C[a,b], ω_2(f,δ;a,b)= sup |f(x+h)+f(x-h)-2f(x)|.关于这类函数的富里埃级数f(x)～a_0/2+sum form n=1 to ∞(1/n)(a_n COS nx+b_n sin nx),Flett,Sunouchi等作者讨论了蔡查罗局部逼近问题。本文的目的是在详尽地讨论这个局部逼近问题,指出局部性与整体性的差别,并且解决了局部饱和问题。我们建立两个定理。定理1.设f(x)∈L[0,2π],ω_2(f, δ;a,b)=O(δ~β),f(x)的富里埃系数a_n,b_n=O(n~(a-β)).则(i)当0<β<1时,在[α+2ε,b-2ε]中均匀地成立着σ_n~α(f;x)-f(x)=O(n~(-β));(ii)当β=1时,f′(x)在[a,b]中是有界的话,在[a+2ε,b-2ε」中均匀地成立着     

Orlicz空间上的列紧和收敛问题

这是作者前篇文章的的续篇[1],所有的记号或有关概念除另有说明的外。都跟[1]或[2]的相同,特别,我们用G表示乘积空间Gm×Gn,Gm,Gn各是m,n维欧氏空间中的致密点集;G表示有限维欧氏空间中一般的致密点集. 小定理1 假定G是有限维欧氏空间Ek中的致密点集,u(z)∈EM(G),　是Ek中任意一个固定点,那未 征 对每一个满足P(V;N)≤1的函数v(z),由[1]的小定理2的附注,并注意所有考虑的函数在G的余集上的函数值是0,即得因此,　证完 注意,(1)式的≤号一般不能改成等号,例子如下: 例1 考虑函数显然,u(x)∈L2([0,1]),而且 定理1 函数u(z)∈EM(G)的充…     

浅析n维欧氏空间上Borel集的构造*

针对n维欧氏空间上Borel集的构造问题,提出几个具有测度论特色的结果加以详细讨论.利用n维欧氏空间中左端点形如mi/2~l(其中mi为整数,l为正整数),且长度均为1/2~l的那些左开右闭区间形成的集类A_l的优良结构,结合实数域上的区间划分、不等式与拓扑技巧,证明了A_l是n维欧氏空间的可数无限划分,且随着l变得越大A_l变得越精细,对n维欧氏空间中开集中的任意一点来说,当l充分大时,A_l中包含该点的那个成员必定包含于该开集中;在此基础上用反证法证明了n维欧氏空间中任一开集都可表示成至多可数无限多个两两不交的n维左开右闭区间之并;最后以此结论为工具,介绍了n维欧氏空间上Borel代数的几个较小生成元.     

不变集的区域稳定性

本文继续文[1]的工作,将研究对象推广到(不变)集合中去,讨论不变集的区域稳定性. 考虑n维欧几里得空间中的区域D及微分方程组 =f(t,x) (1)这里D可以是部分无界、部分有界而其边界也可以是部分开、部分闭的复杂区域,x、f为n维向量,f(t,x)在域G={(x,t):t≥0,x∈D}中定义且满足方程(1)解的存在唯一性条件.     

关于一个改进的既约梯度法的收敛速度

本文研究下述非线性规划问题:(P)minf(X) R={x|Ax=b,x≥0,x∈E}其中A是m×n矩阵(m≤n),秩为m,b∈E,E~n和E分别是n维和m维欧氏空间;f是实函数。美国数学家P.Wolfe在1962年发明了解问题 (P) 的“既约梯度法”(〔1〕)。这儿Ax=b中有n-m个自由变量,把f作为这n-m个自由变量的复合函数而求得的梯度,国内称