直径稳定图和边直径稳定度

一个图 G 称为是一个(l,d)——稳定图(关于边的),如果对于 G 的边集 E(G)的任意一个子集 E,只要满足 E 中的边数≤l-1,都有图 V-E 的直径 d(V-E)≤d。(这里 l,d 都是正整数)。如果更有G 的直径 d(G)=d,则称 G 为 l 直径稳定图。一个图 G 的边直径稳定度(line-persistence)ρ_1(G)是为了要使得在 G 中去掉一些边后所得到的图 G′的直径 d(G′)>d(G)或者使 G′不连通所必须去掉的最少边数。(l,d)——稳定图和 l 直径稳定图的概念是首先由 J.Hartman 和 I.Rubin 于1956年在[1]中提出的。直径稳定度的概念是由 F.T.Boesch;F.Harary 和 J.A.Kabell 于1981年在[2]中首先提出的。本文对直径稳定图和边直径稳定度作了进一步的考察,得到了一些关于直径稳定图的结论,并初步讨论了直径稳定图和边直径稳定度之间的关系,最后,通过一个引理和一个推论给出了几个 l 直径稳定图族,从而解决了 Hartman 和 Rubin 在[1]中提出的两个问题,同时所给出的图族证明了 Boesch;Harary 和 Kabell 在[2]中所给出的一个关于边直径稳定度的“定理”是不正确的。(注:此“定理”有两种“等价”的叙述方法,本文所给出的图可作为这两种叙述的反例。)     

具有k个悬挂点的双圈图的Harary指数

双圈图是指顶点数等于边数减1的连通图,Harary指数是指图中所有顶点对的距离倒数之和.基于此,主要研究了具有k个悬挂点且两个圈只有一个交点的n阶双圈图有极大Harary指数的图类.     

有关对称无权图生成树数目的拆分定理

设G是一个对称平面图.Ciucu等证明了一个有关G的生成树数目的拆分定理,也就是G的生成树数目可用两个小图的生成树数目乘积来表示.在此基础上,提出了一种图变换,给出了图在这种变换下生成树数目的变化关系式,再结合矩阵-树定理给出了该拆分定理的一个简短证明.同时,受Zhang等证明的赋权图生成树权和的拆分定理启发,还给出了一个关于对称无权图生成树数目的等价拆分公式.     

关于《Asymptotic behaviour of holomorphic strips》一文的注记

在Joel W.Robbin和Dietmar A.Salamon的文章《Asymptotic behaviour of holomorphic strips》中主要结果定理A与定理B的证明中,我们认为有两个关键的地方是不确切的,一个是对引理2.2的第一个不等式的证明,另一个是定理B的证明中使用该文章附录C中的引理C.1.对前一个,我们认为那里方法难以推出,并给出一个证明;对后一个,我们认为那里使用引理不太合适,并给出一个新结果代替它.     

泛圈图的一个充分条件

在文[1]中给出定理,设G是一个n-阶2-连通图且δ（G）≥t,若对于G的任意两个不相邻的点u和v,均有｜N（u）∪N（v）｜≥n-t成立,则G是一个泛圈图或G≌Kn/2,n/2.本文的目的在于将此定理的条件减弱,只对图中距离为2的点进行讨论,得出了泛圈图的一个充分条件.文中主要用数学归纳法对定理进行证明,先在引理中给出了几种特殊情况的证明,接着在定理的证明中讨论了一般情形.     

具有k个悬挂点的n阶单圈图的Harary指数(英文)

连通图的Harry指数定义为所有顶点对的距离倒数和.本文对具有k个悬挂点的n阶单圈图的Harary指数进行了研究,并给出了此类图中具有极大Harary指数的图类.     

有向路的重构

在Harary和Palmer的有关有向图的重构的基础上得到:若有向路的顶点数大于4,则可以利用它的一组有向子树重构该有向路.结合Harary和Palmer给出的有向图的重构定理,推出结论:设T是有ν(ν≥4)个顶点的有向树,则T可由其子图{T-vi}完全确定(其中i=1,2,…,ν).     

(p、q)图的最大直径的一点注记

F.Harary为了解答C.Berge在他1958年书中的一个问题,写了题为“图的最大连通度”一文。在文末,他附带讨论了(p、q)图的最小与最大直径的估计问题。其中比较有趣的是给出了连通的(p、q)图的最大直径的计算公式。这个计算公式是不对的。下面先重述一下Harary的“公式”,然后举一个简单例子坐实这个公式的不堪使用,最后把它改正为可以使用的形式。按Harary的记号,p是简单(无向)图G的顶点数,q是G的棱数,m=q-p+1是     

赋值图的张量代数的同构定理的证明

纠正了关于赋值图的张量代数的同构定理证明中的一个疏忽，给出了此同构定理一个完整的证明。     

核图与L(2,1)标号

图的L(2,1)-标号λ(G)来自于通讯频道分配问题.定义了一个图的核图并研究了它们的性质,最后给出了关于λ(G)的两个重要定理的简短证明.     

关于标定图重构的一条定理

一九二九年,S·R·Ulam提出一个猜想,认为图G的除点v_i外的所有点和与v_i不关联的所有边组成的子图G_i的总体可以给出足够多的关于G本身的信息.这就是图论中著名的重构问题,迄今仍未解决.对于不连通图、树和少数其它类型的图,这一猜想已被证实(Harary,1974).近年来,国内有人尝试从部分标定图出发去证明这一猜想.     

固定直径的树的Harary指数

图G的Harary指数定义为图中所有点对的反距离之和.给出了固定直径的树的Harary指数的第二大值,并刻画了对应的极图.     

弱哈密顿连通图关于Wiener指数，Harary指数，hyper-Wiener指数的充分条件

对于一个平衡二部图,如果任意两个不同部分的顶点可以由一条哈密顿路连接,那么该平衡二部图称为弱哈密顿连通图。在给出连通的平衡二部图的拓扑指数条件的基础上,利用Wiener指数、Harary指数和hyper-Wiener指数分别给出了平衡二部图是弱哈密顿连通的充分条件。     

可靠通讯网络的构造

在可靠通讯网络的构造方面,F.Harary于1962年证明了“图Hm,n是m—连通的”的定理。此定理告诉我们,Hm,n是具有几个顶点,边数最少的m—连通图。 本文首先给出了连通正则图是m—连通的的充要条件,然后利用这一结果及循环图的性质,推广了“图Hm,n是m—连通的”这一定理,并构造出包含Hm,n在内的具有n个顶点、边数最少的一类m—连通图。最后利用同构的循环图构造出一类可靠通讯网络。     

微分学中值定理的证明及其应用

微分学中值定理是微分学中的重要的基本定理,它一般包括三个定理:罗尔(Rolle)定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理与柯西(Cauchy)中值定理.在证明后两个定理时,通常的教科书是采用构造一个辅助函数,使它满足罗尔定理的条件,利用罗尔定理的结论来证明的.在本文中,将对微分学中值定理给出新的证法,然后归纳介绍微分学中值定理的几种推广形式及一些常见的应用.     

连通图的Harary指数上界及其极图

图的Harary指数定义为图的所有顶点对的距离的倒数之和.刻画了在给定点数和直径的图类中,Harary指数达到最大的极图,并由此确定了Harary指数关于直径的一个上界.另外,在n阶连通图中,刻画了Harary指数达到第二大和第三大的图的结构.     

含Cn-1图关于Wiener指数、Harary指数、hyper-Wiener指数的充分条件

拓扑指数和谱理论是图论研究的两个分支.可以用拓扑指数来刻画图的性质,首先分别给出n阶简单图,n阶2-连通图含有Cn-1的边条件的相关引理,然后利用Wiener指数、Harary指数和hyper-Wiener指数分别给出n阶简单图,n阶2-连通图含有Cn-1的充分条件.     

动力系统的遍历性

给出遍历性及唯一遍历的几个等价条件.主要结果是定理4、定理6及定理7.并利用定理4给出定理5的一个证明.定理6及定理7给出唯一遍历的等价条件,定理7的证明采用的是泛函分析的方法.     

Rolle定理的一个新证明

Rolle定理通常在数学分析中是利用闭区间上连续函数的最值性和Fermat定理加以证明的。而《美国数学月刊》(Amet.Math.Monthly86(1979))上给出的两个新的证明则主要都是基于闭缩区间套定理得出的。所有这些证明都是直接证法。本文对Rolle定理给出一个主要基于有限复盖定理采用间接证法的证明。     

Krull交定理的一个初等证明

Krull交定理是交换代数中的一个重要定理,有着广泛的应用.针对交换代数书上的证明比较深奥,学生难以理解,本文应用Hilbert基定理,给出一个能够揭示其本质的简单证明,同时给出一个推论.