以广义Logistic方程为基础的两种群互惠共存数学模型

以广义Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程ｄｘ／ｄｔ＝μｘｘｍ－ｘ／ｘｍ＋（ｋ－１）ｘ（μ,ｋ,ｘｍ为常系数）为基础,推广了Ｍａｙ－两种群互惠模型ｄｘ／ｄｔ＝μ１ｘ「１－ｘ／ｘｍ＋α２ｙ」 ｄｙ／ｄｔ＝μ２ｙ「１－ｘ／ｙｍ＋α１ｘ」用方程ｄｘ／ｄｔ＝μ１ｘｘｍ＋α２ｙ－ｘ／ｘｍ＋α２ｙ＋（ｋ１－１）ｘ ｄｙ／ｄｔ＝μ２ｙ／ｙｍ＋α１ｘ－ｙ／ｙｍ＋α１ｘ＋（ｋ２－１）ｙ描述两种群互惠共存,当ｋ１＝ｋ２＝１时,该方程     

一类动力系统的大范围定性研究

本文考虑动力系统：ｄｘ／ｄｔ＝Ｐ３（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝ｘ（１（．研究系统（１）具有代数曲线解：Ｘ２一ｋｙ２＝１ （ｋ＞０）（２）全局结构。 容易得到这时系统（１）等价于系统,ｄｘ／ｄｔ＝ａ１ｘ＋ａ２ｙ－ａ１ｘ３＋（ｋ－ａ２）ｘ２ｙ＋ｋａ１ｘｙ３＝ｋ（ａ２－ｋ）ｙ３，ｄｙ／ｄｔ＝ｘ（３）．由（３）我们得到所有奇点（有限远和无穷远）的类型。并用Ｄｕｌａｃ函数证明 （３）不存在极限环。进而得出（３）的所有可能的全局相图（ｌ）－（１３）．     

某一类平面上E_3动力系统的全局结构

本文证明了Ｅ３系统ｄｘ／ｄｔ＝Ｐ３（ｘ，ｙ）ｄｙ／ｄｔ＝ｘ有的定曲线Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ～２＋ｙ～２－１＝０为特解当且仅当 它具有形式： ｄｘ／ｄｔ＝ａ１ｘ＋ａ２ｙ－ａ１ｘ～３－（１＋ａ２）ｘ～２ｙ－ａ１ｘｙ～２－（１＋ａ２）ｙ３，ｄｙ／ｄｔ＝ｘ，进而讨论了系统的所有 有限远奇点和无限远奇点的性质，并且利川Ｄｕｌａｃ函数证明了ｘ～２＋ｙ～２＝１是它唯一可能的极限环。 最后我们得到由图（１）－（１０）说明的所有可能的全局结构．     

食饵种群具有常数投放率的捕食—食饵模型拓的研究

考虑到食饵种群具有常数投放率的捕食－食饵模型ｄｘ／ｄｔ＝（ｂｘ（ｘ－ｌ１）（ｋ１－ｘ）／（ｘ＋ｎ１）」－βｘｙ＋ｈ０,ｄｙ／ｄｔ＝ｃｙ＋ｅｘｙ,讨论了该模型极不的不存在性、存在性及Ｈｏｐｆ分支问题。     

一多项式系统极限环的存在性和唯一性

讨论了多项式系统ｄｘ／ｄｔ＝－ｙ＾ａ（１＋ｙ）＋ｄｘ＾α（１＋ｙ）ｘ＾α＋,ｄｙ／ｄｔ＝ｘα（１＋ａｘ＋ｙ）极限环的存在性和唯一性,其中α为正的奇数,彻底解决了（１）的极限环个数和分布问题。     

具有三次曲线解的二次系统的极限环的唯一性

本文研究一类以三次曲线ｘｙ＾２＋２ｙ－１＝０为不变集的二次系统,除去明显不存在极限的情形外,该二次系统可化为ｄｘ／ｄｔ＝（ａ－１）－（１＋β）ｘ－βｘ＾２＋αｘｙ,ｄｙ／ｄｔ＝－β２＋（β＋１／２）ｙ＋β／２ｓｙ－１＋α／２ｙ＾２,经一系列变换,将上述方程化为广义Ｌｉｅｎａｒｄ方程,证明此方程最多只有一个极限环,从而完整地解决了此类二镒系统的极不的个数问题。     

一多项式系统的极限环

讨论了系统ｄｘ／ｄｔ＝－ｙ（１＋ｙ）＾ａ＋ｄ·Ｘ＾ａ＋ｘ＾ａ＋１＋ｄｘ＾２ｙ ｄｙ／ｄｔ＝ｘ＾２（１＋ａｘ＋ｙ）的极限环。彻底解决了该系统极限环存在的个数和分布问题。讨论的结果包含了文「１」。（α为正的奇数）。     

互惠共存种群具有常数收获率的二维VOLTERRA模型的全局定…

文〔１－３〕提出的二维Ｖｏｌｔｅｒｒａ模型：ｄｘ／ｄｔ＝ｘ（ａ１０＋ａ１１ｘ＋ａ１２ｙ）－ｈ，ｄｙ／ｄｔ＝ｙ（ａ２０＋ａ２１ｘ＋ａ２２ｙ）－ｋ，文〔４－６〕讨论了（Ｅ）为捕食与被捕食者关系及竞争关系时的定性性质，本文讨论了（Ｅ）为互惠共存关系时的全局定性性质，得到了所作出全局相图的充要条件：△＝ａ１１ａ２２－ａ１２ａ２１〉０。     

一类三次系统的极限环

本文研究描述两种群相互作用数学模型中食饵种群具有常数投放率的三次Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ微分系统＾「１」：ｄｘ／ｄｔ＝ｘ（ａ０＋ａ１ｘ－ａ２ｘ＾２－ａ３ｙ－ａ４ｙ＾２）＋Ｆ０｛ｄｙ／ｄｔ＝ｙ（ｘ＾２－１）应用微分方程定性理论，在一定的条件下，讨论了该系统极限坏的存在性、唯一性等问题。     

A Two species Mutualistic Model on the Basis of Generalized Logistic Model

以广义Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程ｄｘｄｔ＝μｘｘｍ－ｘｘｍ＋（ｋ－１）ｘ（μ,ｋ,ｘｍ为常系数）为基础,推广了Ｍａｙ－两种群互惠模型ｄｘｄｔ＝μ１ｘ［１－ｘｘｍ＋α２ｙ］ｄｙｄｔ＝μ２ｙ［１－ｙｙｍ＋α１ｘ］用方程ｄｘｄｔ＝μ１ｘｘｍ＋α２ｙ－ｘｘｍ＋α２ｙ＋（ｋ１－１）ｘｄｙｄｔ＝μ２ｙｙｍ＋α１ｘ－ｙｙｍ＋α１ｘ＋（ｋ２－１）ｙ描述两种群互惠共存．当ｋ１＝ｋ２＝１时,该方程化为Ｍａｙ－两种群互惠模型,当Ｙ＝０时,该方程化为广义Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程,我们证明了,当α１α２＜１时,该系统存在唯一的正平衡点,当α１＜１,α２＜１,０＜ｋ１＜１,０＜ｋ２＜１时,正平衡点局部渐近稳定;当α１α２＜１,ｋ１１,ｋ２１时,正平衡点在０＝｛（ｘ,ｙ）｜ｘ＞０,ｙ＞０｝上全局稳定,并讨论了系数的生态意义及确定方法．     

BOBWHITE QUAIL模型的全局吸引性

本文获得了连续型Ｂｏｂｗｈｉｔｅ ｑｕａｉｌ模型ｘ‘（ｔ）＝ｘ（ｔ）「ａ－１＋β／１＋ｘ＾ｋ（ｇ（ｔ））」，ｔ≥０地所有正解趋近于正常衡常数Ｎ＝（α＋β－１／１－α）１／Ｋ的充分条件。     

多项式自治系统的极限环的唯一性

该文将下列二阶ｎ次多项式自治系统｛ｄｘ／ｄｔ＝１ａ（ｘ）｜ｈ１（ｘ）ｙ，ｄｙ／ｄｔ＝ｇ２（ｘ）＋ｈ２（ｘ）ｙ。其中ｇ１（ｘ）＝Σ（ｎ，ｉ＝０）ａｉｘ＾ｉ，ｈ１（ｘ）＝Σ（ｎ－１，ｉ＝０）ｂｉｘ＾ｉ，ｇ２（ｘ）＝Σ（ｎ，ｉ＝０）ｃｘ＾ｉ，ｈ２（ｘ）＝Σ（ｎ－１，ｉ＝０）ｄｉｘ＾ｉ，变换成Ｌｉｅｎａｒｄ方程、再利用所给引理得到二阶ｎ次多项式自治系统的极限环唯一性的几个充分条件。     

具有Holling第Ⅱ类功能性反应的捕食者—食饵系统定性分析

研究具有Ｈｏｌｌｉｎｇ第Ⅱ类功能性反应的捕食者种群和食饵种群都有密度制约的系统： ｘ＝ｘ（１＋ａ１ｘ－ａ２ｘ＾２－ｙ） ≡Ｐ（ｘ，ｙ） ｙ＝－θｙ（１＋（ａ－１）ｘ＋ａ２２（１＋ａｘ）ｙ）≡Ｑ（ｘ，ｙ） （＊）证明了①当１／（１－ａ）〈ａ１／２ａ２，θ（１－ａ）〈ａ１〈２ａ２／（１－ａ）＋θ（１－ａ），且ａ１／２ａ２〈ｘ＾＊〈ｘ时系统（＊）在正平衡点Ｒ２（ｘ＾＊，ｙ＾     

三次系统指标为正的奇点个数

本文证明了平面动力体系ｄｘ／ｄｔ＝Ｐｎ（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝Ｑ２（ｘ，ｙ） （ｎ≥２）的有限远奇点中指标为正的 个数最多有（ｎ＋１）个，而系统ｄｘ／ｄｔ＝Ｐｎ（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝Ｑ３（ｘ，ｙ） （ｎ≥３）的有限远奇点中指标为正的 个数最多不超过（３ｎ＋１）／２ ＋２个（ｎ≥３为奇数）或不超过 （ｎ为偶数）．进而得出系统Ｅ３：ｄｘ／ｄｔ＝Ｐ３（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝Ｑ３（ｘ，ｙ） 的有限远奇点中指标为正的个数最多不超过７个．     

一类极限环存在定理的推广

用作Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ环芋的内外境界线的方法，把文献〔１〕的主要结果推广到更一般的方程ｄｘ／ｄｔ＝ψ（ｙ）－Ｆ（ｘ），ｄｙ／ｄｔ＝－ｋ（ｙ）ｇ（ｘ）上去，并将有关结果作进一步推广，因而所解决的问题比文献〔１〕更具普遍性。     

一类Lienard方程的极限环

证明了Ｌｉｅｎａｒｄ方程｛ｄｘ／ｄｔ＝Ｆ（ｘ）－ｙ ｄｙ／ｄｔ＝ｇ（ｘ）当Ｆ’（ｘ）具有两个零点时在原点外围最多有一个或两个极限环，依据Ｆ（ｘ）有一个或三个零点。并由此证明（Ⅱ）（ｍ＝０）当ａ２＋ａ４〈０，２ｓ／ａ〉１时在原点外围最多有两个极限环。     

一类多分子饱和反应系统的极限环

研究生化反应中一类多分子饱和反应的数学模型ｄｘ／ｄｔ＝ｂ＋ｘｎｙ－ｖｘ／（ｘ＋ｋ）,ｄｙ／ｄｔ＝ａ－ｘｎｙ．｝（１）应用微分方程定性理论,完整地解决了系统（１）极限环的存在性、不存在性和唯一性等问题．     

捕食者种群具有常投放率的Ⅱ类功能性反应模型的定性分析

文「１」讨论了捕食者种群具有常收获率的Ⅱ类功能性反应模型，证明了此系统存在正平衡点时，在第一象限必全局不稳定，如果将常收获率改为常投放率，这时的数学模型变成｛ｘ＝ｘ（ａ－βｙ／１＋ωｘ） ｙ＝ｙ（－ｂ＋γｘ／１＋ωｘ）＋Ｋ。系统①中所有系数均任意正常数。     

混合型方程在矩形域上的非局部边值问题

给出了混合型二阶线性偏微分方程Ｌｕ≡ｈ（ｙ）ｕ＿（ｙｙ）＋ｕ＿（ｘｘ）＋ａ（ｘ，ｙ）ｕ＿ｙ＋ｂ（ｘ，ｙ）ｕ＿ｘ＋ｃ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）在非局部边界条件ｕ（ｘ，１）一ａｕ（ｘ，０）＝０，ｕ＿ｙ（ｘ，１）一ａｕ（ｘ，０）＝０，ｕ（１．ｙ）一βｕ（０，ｙ）＝０，ｕ＿ｘ（１，ｙ）－βｕ＿ｘ（０，ｙ）＝０下，在Ｓｏｂｏｌｅｖ空间中解存在及唯一的充分条件。     

Bernstein不等式的推广

本文得到以下形式的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ不等式：Ｐｎ（Ｄ）＝∏＾ｋｓ＝１（Ｄ＾２＋２αｓＤ＋ａ＾２ｓ＋β＾２ｓ）∏＾ｎ－２ｋｊ＝１（Ｄ－λｊ），Ｄ＝ｄ／ｄｘ，λｊ，αｓ，βｓ是实数，βｓ〉０，β＝ｍａｘβｓ，如果σ〉４β，则对任一指数型整函数ｆ（ｘ）∈Ｂσ，有‖Ｐｎ，（Ｄ）ｆ（Ｘ）‖ｃ≤│Ｐｎ（ｉσ）│ｓｕｐ│ｆ（ｘ）│。