关于方程φ6（n）=n/d的一个注记

设n、d为正整数，且d|n,利用φ₆（n）的准确计算公式及初等的方法和技巧，对一类特殊正整数n,在文献(张四保.西南大学学报（自然科学版）,2019,41（12）:50-56.)的基础上补充了方程φ₆（n）=n/d的部分正整数解（n, d）.     

由GF(pm)上的分组码构造p元域GF(p)上的分组码

Pless证明了三元（12，6，6）Golay码具有一种双层桔构，并据此给出了该码的快速硬判决译码算法．马建峰等人推广了Golay码的Pless结构，给出了由三元（n，k，d）线性分组码构造的三元（3n，n＋k，≥min（n，2d，6））线性分组码．本文证明了由任意域GF（p^m）上的（n，k，d）分组码构造p元域GF（p）上参数为（（m＋2）n，n＋mk，≥min{n，2d，2（m＋2）}）的分组码的可行性和方法．这种码具有很好的代数结构，可以快速译码．     

一类包含Smarandache对偶函数方程的求解

对任意正整数n，著名的Smarandache对偶函数S^＊（n）定义为使得m!｜n最大的正整数m．利用初等方法研究了一类包含Smarandache对偶函数方程∑d｜n S^＊（d）=n的可解性，并获得了该方程的所有正整数解，其解为1和12．     

奇异k-紧整数无限族

设n，s1，s2是3个正整数，使得s1〈s2〈n，gcd（n，s1，s2）=1．双环网G（n；s1，s2）是个有向图，其结点集为V={0，1，2，…，n-1}，其弧集为A={i→i＋s1 （mod n），i→i＋s2（mod n）｜i∈V}，s1和s2称为步长．设d（n；s1，s2）为双环网G（n；s1，s2）的直径．令 d（n）=min{d（n；s1，s2）｜s1〈s2〈n}，d1（n）=min{d（n；1，s）｜1〈s〈n）． 已知d1（n）≥d（n）≥｜√3n｜-2=lb（n）．若d（n；s1，s2）=d（n）=lb（n）＋k（k≥0），则称G（n：s1，s2）是个k-紧优的双环网．虽然等式d1（n）=d（n）对于无限多个整数n成立，但也存在无限多个整数n使得d1（n）〉d（n），这样的n称为奇异整数．若d1（n）〉d（n）=lb（n）十k，k≥0，则这样的n称为奇异k-紧整数． 本文给出构造奇异k-紧整数无限族的方法，并对于k=1,2．…．20，构造出这样的无限族．     

完全二部有向图的迭代线图的泛偶圈性

泛圈性是网络拓扑结构（图或有向图）的一个重要拓扑性质,也是度量网络性能优劣的一个重要指标。LCBD（d,n）是一类稠密的二部有向图,它是完全二部有向图K_（d,d）的（n-1）重迭代线图。本文研究了LCBD（d,n）的泛偶圈性,通过LCBD（d,n-1）的Euler回构造了一个2d~n位的序列,证明了LCBD（d,n）是泛偶圈的,并且当n是偶数时,LCBD（d,n）是点n泛偶圈的,当n是奇数时,是点（n＋1）泛偶圈的。     

一个新的复合函数及其均值

对任意给定的正整数k,定义函数δk（n）=max{d：d│n,（d,k）=1}.同时,对任意整数q,定义m次补数数列bm（n）为使bm（n）n=q^m成立的最小整数.文章用解析的方法研究了复合函数δk（bm（n））的均值性质,并给出了一个渐近公式.     

有向de Bruijn图的限制边连通度

证明了对有向de Bruijn图DB（d，n），当d≥3，n≥3或d=2,n≥3或≥3，n=时，它的限制边连通度λ^DB（d，n））=2d-2.     

线图上次泛圈性的两条独立边的度和条件

给定一个n（n≥72）阶图G,满足q1（G）=min{d（u）＋d（v）：uv∈E（G）}≥8,得出结论：若围长g（G）≥5且q2（G）=min{d（ei）＋d（ej）：ejej E（L（G））且ei,ej∈E（G）}〉2√2n=1时,L（G）是次泛圈图;若围长g（G）≥4且q2^2（G）-2q2（G）〉8n时,L（G）是次泛圈图,而且2√2n＋1,8n这两个界都是最好可能的。     

具有Beddington-DeAngelis功能性反应的三维离散顺环捕食系统的持久性

研究一类具有Beddington—DeAngelis功能性反应的三维顺环捕食系统的持久性问题。首先,建立具有B-D功能性反应的三维顺环捕食系统的半离散化数学模型,具体为{x1（n＋1）=x1（n）exp{[r1（n）-a1（n）x1（n）-b1（n）x2（n）/c1（n）＋d1（n）x2（n）＋x1（n）＋k3（n）＋b3（n）x3（n）/c3（n）d3（n）x1（n）＋x3（n）]} x2（n＋1）=x2（n）exp{[r2（n）-a2（n）x2（n）-b2（n）x3（n）/c2（n）＋d2（n）x3（n）＋x2（n）＋k1（n）＋b1（n）x1（n）/c1（n）d1（n）x2（n）＋x1（n）]}。x3（n＋1）=x3（n）exp{[r3（n）-a3（n）x3（n）-b3（n）x1（n）/c3（n）＋d3（n）x1（n）＋x3（n）＋k2（n）＋b2（n）x2（n）/c2（n）d2（n）x3（n）＋x2（n）]}。然后,利用不等式技巧,得到系统永久持续生存性的一个充分条件,即：假设条件r1^Lc1^L〉b1^UM2,r2^Lc2^L〉b2^UM3,r3^Lc3^L〉b3^UM1成立,则此半离散化三维顺环捕食系统是永久持续生存的,其中M1=max{r1^U＋k3^Ub3^U/a1^L,exp（r1^U-1＋k3^Ub3^U）/a1^L},M2=max{r2^U＋k1^Ub1^U/a2^L,exp（r2^U-1＋k1^Ub1^U）/a2^L},M3=max{r3^U＋k2^Ub2^U/a3^L,exp（r3^U-1＋k2^Ub2^U）/a3^L}均为正常数。所获得结论将连续情形推广到了半离散化模型。     

具有Beddington—DeAngelis功能性反应的三维离散顺环捕食系统的持久性

研究一类具有Beddington—DeAngelis功能性反应的三维顺环捕食系统的持久性问题。首先，建立具有B-D功能性反应的三维顺环捕食系统的半离散化数学模型，具体为{x1（n＋1）=x1（n）exp{[r1（n）-a1（n）x1（n）-b1（n）x2（n）/c1（n）＋d1（n）x2（n）＋x1（n）＋k3（n）＋b3（n）x3（n）/c3（n）d3（n）x1（n）＋x3（n）]} x2（n＋1）=x2（n）exp{[r2（n）-a2（n）x2（n）-b2（n）x3（n）/c2（n）＋d2（n）x3（n）＋x2（n）＋k1（n）＋b1（n）x1（n）/c1（n）d1（n）x2（n）＋x1（n）]}。x3（n＋1）=x3（n）exp{[r3（n）-a3（n）x3（n）-b3（n）x1（n）/c3（n）＋d3（n）x1（n）＋x3（n）＋k2（n）＋b2（n）x2（n）/c2（n）d2（n）x3（n）＋x2（n）]}。然后，利用不等式技巧，得到系统永久持续生存性的一个充分条件，即：假设条件r1^Lc1^L〉b1^UM2,r2^Lc2^L〉b2^UM3,r3^Lc3^L〉b3^UM1成立，则此半离散化三维顺环捕食系统是永久持续生存的，其中M1=max{r1^U＋k3^Ub3^U/a1^L,exp（r1^U-1＋k3^Ub3^U）/a1^L},M2=max{r2^U＋k1^Ub1^U/a2^L,exp（r2^U-1＋k1^Ub1^U）/a2^L},M3=max{r3^U＋k2^Ub2^U/a3^L,exp（r3^U-1＋k2^Ub2^U）/a3^L}均为正常数。所获得结论将连续情形推广到了半离散化模型。     

蕴含一类图论性质的可图序列

设σ（Tm,k,n）是最小正偶数,使得所有满足σ（π）=d1＋d2＋…＋dn≥σ（Tm,k,n）的n项可图序列π是蕴含Tm,K可图的,即π（d1,d2,…,dn）有一个实现含一直径为k的m阶树．考虑了σ（Tm,k,n）之值问题,并确定了当k=3且n充分大时σ（Tm,3,n）的值．     

虚二次域上的不可分正定整Hermite型

用格论方法证明了虚二次域F＝Q（√mi）（m≡3(mod4)且m无平方因子）上存在任意秩n判别式d（自然数）的不可分正定整Hermite型，但有下列例外：Q（√3i）；n＝2，d=1,2,4,10；n=3,d=1,2.5；n=4,d=1.2;n=5,d=1n=7,d=1；Q(√7i):n=2,d=1；Q(√11i):n=2,d=2,n=3,d=1,不存在相应的不可分正定整Hermite型。     

包含Smarandache对偶函数的方程的正整数解

利用初等数论及组合方法研究了一个包含Smarandache对偶函数及素因子函数方程∑d｜n1/S＊（d）=2Ω（n）的可解性．给出了这个方程所有正整数解的具体形式,即证明了该方程所有偶数解为n=2^4＊3^30、n=2^5·3^12、n=8p^2、n=16p^5、n=64p^4、n=2pq,其中p、q≥5为奇素数;所有奇数解为n=p、n=p^＊q,其中α≥1,p、q为奇素数．     

自然数等幂和的一种解法与推广

本文运用等比数列求和公式及求导法则,得到了∑n k＝1 km ,∑n k＝1[a ＋（k -1）d]m,∑n k＝1[a ＋（k -1）d]mxa＋（k-1）d-1（m,n∈瓔,a,d∈瓗）等若干等幂和公式,为一类等幂和级数提供了一种简洁计算方法。     

区组长度为2n-1因子的单纯3-设计

令y=PSL（2,2n）,X为射影直线,B为GF＊（2n）=GF（2n）／{0}的阶为d的子群,其中d〉5且当n/m为偶数时,d≠2m＋1.通过确定（X,y（B））的参数集给出了一个单纯3-设计的无限族,并且证明了y（B）是惟一满足所构成的3-设计具有这种参数集的轨道.     

一个包含伪F.Smarandache函数的对偶的方程

对任意正整数n,伪F.Smarandache函数的对偶Z（n）定义为最大的正整数m使得（m（m＋1））/2.利用初等方法研究一类包含伪F.Smarandache函数的对偶的方程的可解性,即一定存在正整数n满足方程∑d｜nZ（d）=Ф（n）并获得了给定方程的部分正整数解.     

关于几个特殊整数表达式的Hall因子

设d,e,f分别是a=Ⅱn（i=2）（q^i-1）,b=Ⅱn（i=2）（q^t-（-1）^i） , c= Ⅱn（i=2）（q^2i-1）的因子并且满足（a/d,d）=1,（b/e,e）=1 和 （c/f,f）=1,如此之d,e,f分别是a,b,c的Hall因子,对a,b,c的Hall因子的大小作出了估计.     

Essential Independent Condition for Graphs to Be Hamiltonian

Let G be a graph of order n．For graph to be Hamiltonian,beginning with Dirac’s classic result in １９５２,Dirac’s theorem was followed by that of Ore in１９６０．In１９８４,Fan generalized Dirac’s theorem and Ore’s theorem as if G is a２-connected graph of order n and max｛d（u）,d（v）｝≥n/２for each pair of vertices u and v with d（u,v）＝２,then G is hamiltonian．In１９９１,Faudree et al proved that if G is a２-connected graph and,| N（u）∪N（v）|＋δ（G）≥n for each pair of nonadjacent vertices u,v∈V（G）,then G is hamiltonian．This paper generalizes the above onditions of Dirac,Ore,Fan and Faudree et al in the case of３-connected graph and proves that if G is a３-connected graph of order n and max｛｜N（x）∪ N（y）｜＋d（u）,｜N（w）∪N（z）｜＋d（v）｝≥n for every choice of６Essential independent vertices,then G is hamiltonian．     

涉及距离的n-因子-临界图的一个充分条件

证明了如下结论：设G是p阶连通图，其中p≡n（mod2）且n＜p，如果对满足条件d（u,v）＝2的任意点集{u,v}包含于V（G），有d(u) d(v)≥p n-1，则G是n－因子－临界图。     

直径为3围长为6的二分图

讨论直径为d围长为g（＝2d）的二分图的结构,得到的结果为：若G是二分图,d（G）＝3,g（G）＝6,则G是图θ3^n,n≥2或（k,6）－图,k≥3,这里θ3^n（n≥2）是由n条内部不交的3－长路构成的图,（k,6）－图（k≥3）是具有度数k、围长6和顶点数no(k,6）的图。