互惠共存种群具有常数收获率的二维VOLTERRA模型的全局定…

文〔１－３〕提出的二维Ｖｏｌｔｅｒｒａ模型：ｄｘ／ｄｔ＝ｘ（ａ１０＋ａ１１ｘ＋ａ１２ｙ）－ｈ，ｄｙ／ｄｔ＝ｙ（ａ２０＋ａ２１ｘ＋ａ２２ｙ）－ｋ，文〔４－６〕讨论了（Ｅ）为捕食与被捕食者关系及竞争关系时的定性性质，本文讨论了（Ｅ）为互惠共存关系时的全局定性性质，得到了所作出全局相图的充要条件：△＝ａ１１ａ２２－ａ１２ａ２１〉０。     

以广义Logistic方程为基础的两种群互惠共存数学模型

以广义Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程ｄｘ／ｄｔ＝μｘｘｍ－ｘ／ｘｍ＋（ｋ－１）ｘ（μ,ｋ,ｘｍ为常系数）为基础,推广了Ｍａｙ－两种群互惠模型ｄｘ／ｄｔ＝μ１ｘ「１－ｘ／ｘｍ＋α２ｙ」 ｄｙ／ｄｔ＝μ２ｙ「１－ｘ／ｙｍ＋α１ｘ」用方程ｄｘ／ｄｔ＝μ１ｘｘｍ＋α２ｙ－ｘ／ｘｍ＋α２ｙ＋（ｋ１－１）ｘ ｄｙ／ｄｔ＝μ２ｙ／ｙｍ＋α１ｘ－ｙ／ｙｍ＋α１ｘ＋（ｋ２－１）ｙ描述两种群互惠共存,当ｋ１＝ｋ２＝１时,该方程     

某一类平面上E_3动力系统的全局结构

本文证明了Ｅ３系统ｄｘ／ｄｔ＝Ｐ３（ｘ，ｙ）ｄｙ／ｄｔ＝ｘ有的定曲线Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ～２＋ｙ～２－１＝０为特解当且仅当 它具有形式： ｄｘ／ｄｔ＝ａ１ｘ＋ａ２ｙ－ａ１ｘ～３－（１＋ａ２）ｘ～２ｙ－ａ１ｘｙ～２－（１＋ａ２）ｙ３，ｄｙ／ｄｔ＝ｘ，进而讨论了系统的所有 有限远奇点和无限远奇点的性质，并且利川Ｄｕｌａｃ函数证明了ｘ～２＋ｙ～２＝１是它唯一可能的极限环。 最后我们得到由图（１）－（１０）说明的所有可能的全局结构．     

一类动力系统的大范围定性研究

本文考虑动力系统：ｄｘ／ｄｔ＝Ｐ３（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝ｘ（１（．研究系统（１）具有代数曲线解：Ｘ２一ｋｙ２＝１ （ｋ＞０）（２）全局结构。 容易得到这时系统（１）等价于系统,ｄｘ／ｄｔ＝ａ１ｘ＋ａ２ｙ－ａ１ｘ３＋（ｋ－ａ２）ｘ２ｙ＋ｋａ１ｘｙ３＝ｋ（ａ２－ｋ）ｙ３，ｄｙ／ｄｔ＝ｘ（３）．由（３）我们得到所有奇点（有限远和无穷远）的类型。并用Ｄｕｌａｃ函数证明 （３）不存在极限环。进而得出（３）的所有可能的全局相图（ｌ）－（１３）．     

定常奇异摄动系统的概周期解

本文考虑定常的奇异摄动系统（１．１）ｄｘ／ｄｔ＝ｆ（ｘ，ｙ，ε），εｄｙ／ｄｔ＝ｇ（ｘ，ｙ，ε）及其退化 系统（１．２）ｄｘ／ｄｔ＝ｆ（ｘ，ｙ，０），０＝ｇ（ｘ，ｙ，０）．假设系统（１．２）有一个非常数的概周期解（１．３） ｘ＝ｕ（ｔ），ｕ＝Ｖ（ｔ）．当系统（１．２）关于（１．３）的第一变分方程系恰具有一个广义零特征指 数时，我们在适当的条件下证明了对充分小的ε，系统（１．１）有唯一的概周期解ｘ＝ｘ（ｔ，ε）， ｙ＝ｙ（ｔ，ε）使得当ε→ｏ时，对一切ｔ有｜｜ｘ（ｔ，ε）－ｕ（ｔ）｜｜＋｜｜ｙ（ｔ，ε）－ｖ（ｔ）｜｜→０。 在证明中，我们首先推广了法坐标变换，进而建立指数型二分法，然后把问题化为非定常系统的 相应问题，从而利用Ｋ．Ｗ．Ｃｈａｎｇ［５］的结果加以解决．     

关于高斯函数的几个恒等式

对高斯函数的两个恒等式：〔ｘ〕＋〔ｘ＋１／ｍ〕＋．．．＋〔ｘ＋ｍ－１／ｍ〕＝〔ｍｘ〕，其中ｘ∈Ｒ，ｍ∈Ｎ；１／２（ｐ－１）Σ（ｋ＝１）〔ｋｑ／ｐ〕＝Ｐ－１／２．ｑ－１／２，其中ｐ、ｑ是正奇数且（ｐ，ｑ）＝１，以及Ｔｏｍ．Ｍ．Ａｐｏｓｔｏｌ的一个问题“若ａ＝１，２，３，４，５，６，７。证明存在一个（依赖于ａ的）整数ｂ，使得ｎΣ（ｋ＝１）〔ｋ／８〕＝〔（２ｎ＋ｂ）＾２／８ａ〕”，作了进一步的推广，得到     

三次系统指标为正的奇点个数

本文证明了平面动力体系ｄｘ／ｄｔ＝Ｐｎ（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝Ｑ２（ｘ，ｙ） （ｎ≥２）的有限远奇点中指标为正的 个数最多有（ｎ＋１）个，而系统ｄｘ／ｄｔ＝Ｐｎ（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝Ｑ３（ｘ，ｙ） （ｎ≥３）的有限远奇点中指标为正的 个数最多不超过（３ｎ＋１）／２ ＋２个（ｎ≥３为奇数）或不超过 （ｎ为偶数）．进而得出系统Ｅ３：ｄｘ／ｄｔ＝Ｐ３（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝Ｑ３（ｘ，ｙ） 的有限远奇点中指标为正的个数最多不超过７个．     

一类捕食系统极限环的唯一性

考虑一类具有Ｈｏｌｌｉｎｇ功能性反应的捕食系统｛ｄｘ／ｄｔ＝ｘ（ａ－ｂｘ－αｙ／１＋βｘ）ｄｙ／ｄｔ＝ｙ（－ｃ＋ｋαｘ／１＋βｘ－ｅｙ）其中ａ，ｂ，ｃ，ｅ，ｋ，α，β均为正实数，给出了环绕正平衡点至多有一个极限环的充分条件。     

多项式自治系统的极限环的唯一性

该文将下列二阶ｎ次多项式自治系统｛ｄｘ／ｄｔ＝１ａ（ｘ）｜ｈ１（ｘ）ｙ，ｄｙ／ｄｔ＝ｇ２（ｘ）＋ｈ２（ｘ）ｙ。其中ｇ１（ｘ）＝Σ（ｎ，ｉ＝０）ａｉｘ＾ｉ，ｈ１（ｘ）＝Σ（ｎ－１，ｉ＝０）ｂｉｘ＾ｉ，ｇ２（ｘ）＝Σ（ｎ，ｉ＝０）ｃｘ＾ｉ，ｈ２（ｘ）＝Σ（ｎ－１，ｉ＝０）ｄｉｘ＾ｉ，变换成Ｌｉｅｎａｒｄ方程、再利用所给引理得到二阶ｎ次多项式自治系统的极限环唯一性的几个充分条件。     

一类微分方程极限环的存在性

研究了系统ｄｘ／ｄｔ＝ψ（ｙ）－Ｆ（ｘ）,ｄｙ／ｄｔ＝ｈ（ｘ,ｙ）－ｇ（ｘ）的极限存在性。     

一类非线性系统极限环的存在性

讨论了系统ｄｘ／ｄｔ＝ψ（ｙ）－Ｆ（ｘ,ｙ）,ｄｙ／ｄｔ＝ｈ（ｘ,ｙ）－ｇ（ｘ）的极限环的存在性。     

食饵种群具有常数投放率的捕食—食饵模型拓的研究

考虑到食饵种群具有常数投放率的捕食－食饵模型ｄｘ／ｄｔ＝（ｂｘ（ｘ－ｌ１）（ｋ１－ｘ）／（ｘ＋ｎ１）」－βｘｙ＋ｈ０,ｄｙ／ｄｔ＝ｃｙ＋ｅｘｙ,讨论了该模型极不的不存在性、存在性及Ｈｏｐｆ分支问题。     

一类非线性方程极限环的存在性

讨论了更一般非线性方程ｄｘ／ｄｔ＝ψ（ｙ）－Ｆ（ｘ,ｙ）,ｄｙ／ｄｔ＝ｈ（ｘ,ｙ）－ｇ（ｘ）的极限环的存在性。     

一多项式系统极限环的存在性和唯一性

讨论了多项式系统ｄｘ／ｄｔ＝－ｙ＾ａ（１＋ｙ）＋ｄｘ＾α（１＋ｙ）ｘ＾α＋,ｄｙ／ｄｔ＝ｘα（１＋ａｘ＋ｙ）极限环的存在性和唯一性,其中α为正的奇数,彻底解决了（１）的极限环个数和分布问题。     

一类三次系统的极限环

本文研究描述两种群相互作用数学模型中食饵种群具有常数投放率的三次Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ微分系统＾「１」：ｄｘ／ｄｔ＝ｘ（ａ０＋ａ１ｘ－ａ２ｘ＾２－ａ３ｙ－ａ４ｙ＾２）＋Ｆ０｛ｄｙ／ｄｔ＝ｙ（ｘ＾２－１）应用微分方程定性理论，在一定的条件下，讨论了该系统极限坏的存在性、唯一性等问题。     

推广的Volterra方程的定性分析

运用Ｌｉａｐｕｎｏｖ第二方法研究系统ｘ·＝ ｘ〔ａ（ｘ）－ ｙ〕ｙ·＝ ｄｙ（ｘ－ ｍ ）正平衡点的稳定性． 采用Ｐｏｉｎｃａｒｅ－ Ｂｅｎｄｉｘｏｎ 环域定理论证明了当ａ′（ｍ ）≥０ 时,针对ｍ 的不同数值,系统在Ｒ＋ ＝ ｛（ｘ,ｙ）：ｘ＞ ０,ｙ＞ ０｝内极限环的存在性稳定性,并结合几个具体方程进行了定性分析． 推广了文献［１］的结果．     

一多项式系统的极限环

讨论了系统ｄｘ／ｄｔ＝－ｙ（１＋ｙ）＾ａ＋ｄ·Ｘ＾ａ＋ｘ＾ａ＋１＋ｄｘ＾２ｙ ｄｙ／ｄｔ＝ｘ＾２（１＋ａｘ＋ｙ）的极限环。彻底解决了该系统极限环存在的个数和分布问题。讨论的结果包含了文「１」。（α为正的奇数）。     

全局半稳定的一类平面自治系统

研究一类平面自治系统ｄｚ／ｄｔ＝Ｘ１（ｘ）Ｘ２（ｙ） ｄｙｄｔ＝Ｙ（ｘ，ｙ）的全局半稳定，获得此系统为全局半稳定的充分条件，推广和改进了［１］、［２］的结果。     

一类捕食与被捕食系统的定性分析

该文讨论了一类捕食与被捕食系统｛ｄｘ／ｄｔ＝ｆｘ「１－（ｘ－Ｕ）＾２／（Ｋ－Ｕ）＾２－ｍｙ／ｒ」，ｄｙ／ｄｔ＝ｙ（－ｅ＋ｆｘ）。当α１＝ｒ／ｅ「１－Ｕ＾２／（Ｋ－Ｕ）＾２」〈０时，极限环存在在和唯一的充分条件。     

具有三次曲线解的二次系统的极限环的唯一性

本文研究一类以三次曲线ｘｙ＾２＋２ｙ－１＝０为不变集的二次系统,除去明显不存在极限的情形外,该二次系统可化为ｄｘ／ｄｔ＝（ａ－１）－（１＋β）ｘ－βｘ＾２＋αｘｙ,ｄｙ／ｄｔ＝－β２＋（β＋１／２）ｙ＋β／２ｓｙ－１＋α／２ｙ＾２,经一系列变换,将上述方程化为广义Ｌｉｅｎａｒｄ方程,证明此方程最多只有一个极限环,从而完整地解决了此类二镒系统的极不的个数问题。