2-连通图的修正的彩虹顶点连通数

路P称为修正的顶点彩虹路,如果P中所有的顶点着不同的颜色或者除端点外其余顶点着不同于端点的颜色。图G称为是修正的彩虹顶点连通的,如果对于G的任意两个顶点u和v,G都有一条修正的彩虹顶点u-v路。使图G是修正的彩虹顶点连通图的最小颜色数目k称为图G的修正的彩虹连通数,记做rvc*(G)。给出了2-连通图G的修正的彩虹顶点连通数的一个上界,即rvc*(G)≤|n/2|+1。     

图的强彩虹连通数

如果图G的任意两个顶点由一条路P连接,其中路P的每一条边着不同的颜色,则称图G为彩虹连通图.对图G的任意两个顶点u和v,G的彩虹u-v测地线是一条长为d(u,v)的彩虹路,其中d(u,v)表示最短的u-v路的长度.图G称为强彩虹连通的如果对G的任意两点u和v间都存在一条彩虹u-v测地线.图G的强彩虹连通数是指使得图G是强彩虹连通而用的最少颜色的数目,用src(G)表示.该文首先给出了一个含边不交的k-圈图的一个强彩虹连通数的上界.接着给出了这个上界取等的充分条件.     

图的修正的彩虹顶点连通数

图 G 称为是修正的强彩虹顶点连通的,如果对于 G 的任意两个顶点 u,v,G 都有一条修正的彩虹 u-v 测地线。使图 G 是修正的强彩虹顶点连通图的最小颜色数目 k 称为图 G 的修正的强彩虹连通数,记做 srvc*（G）。文中给出了 Cn 的修正的顶点彩虹连通数,rvc*（Cn ）＝「n2？,n≥4。给出了含 t 个边不交三角的图的修正的强彩虹顶点连通数的一个上界。     

判断k-可序哈密顿-连通图的新条件

具有n个顶点的图G(n≥3)是k-可序哈密顿-连通的(k是整数,且2≤k≤n),如果对于G中每一个具有k个不同顶点的可序集合S={v1v2,…,vk},都存在G中的哈密顿路P包含S且不改变其中元素的次序.本文证明了:对于具有n个顶点的图G,u、v是G中任意两个不相邻的顶点,且d(u)+d(v)≥n+1.如果G是「k+1/2﹁-连通的k-可序图,k是整数且2≤k≤n/12,则G是k-可序哈密顿-连通图.     

Sm∨Pn的邻点可区别全色数

设G的阶数不小于2的简单连通图.G的k-正常全染色称为是邻点可区别的,如果对G的任意相邻的两顶点,其点的颜色及关联边的颜色构成的集合不同.这样的k中最小者称为G的邻点可区别全色数.本文主要是给出了星图和路的联图的邻点可区别全色数,并提出了一猜想.     

一类单圈图的度基尔霍夫指数

设G是简单连通图,顶点集为V(G).图G的度基尔霍夫指数定义为图G中所有顶点对的度与顶点之间的电阻距离乘积的和.棒棒糖图Ln,k是路Pn-k的一个端点连接到圈Ck的一个顶点得到的一类特殊的单圈图.给出首先给出Ln,k的度基尔霍夫指数计算公式,然后刻画了相应的极图.     

中间图的邻点可区别全染色

设G是简单连通图,G的k-正常全染色f称为是邻点可区别的,如果对G的任意相邻的两顶点,其点的颜色及关联边的颜色构成的集合不同,称f为G的k-邻点可区别全染色,这样的k中最小者称为G的邻点可区别全色数,本文考虑了图的中间图的邻点可区别全色数,并确定了路、圈、星图和扇图的中间图的邻点可区别全色数.     

冒泡排序图的超带性

图G的k-路集C(u,v)是连接G中顶点u和v的k条内点不交的路的集合.图G的k-路集C(u,v)是一个k*-路集如果连接顶点u和v的k条内点不交的路包含G中所有的顶点.一个二部图G是k*-带的若G中任意两个属于不同二划分集的顶点之间存在k*-路集.设κ(G)是图G的连通度.一个二部图是超带的若G是i*-带的,1≤i≤κ(G).n维冒泡排序图Bn是二部图,是n-1正则的,有n!个顶点.在本文中,首先证明了Bn是(n-1)*-带的,n≥5,然后得到n维冒泡排序图Bn(n≠3)是超带的.     

关于支配圈和支配路的存在性

圈C称为图G的支配圈,若对G中任一点v,至少有圈C上的一个顶点与之邻接.类似定义图G的支配路.本文讨论了图中支配圈和支配路的存在性,得到下列结果:(1)设G是有n个顶点,ε条边的k-连通图(k≥1),若ε>((n-k)/2)~2-(3n-k)/2+4,则G中存在支配圈.(2)设G是有n个顶点的k-连通图(k≥2),若对图G中任何有k个顶点的独立点集{v_0,v_1,…v_(k-1)},满足N(v_i)∩N(v~i)=φ(0≤i≠i≤k-1),有~(k-1)∑_(i=0)d(v_i)>n-2(k+2)成立,则G中存在支配路.     

无爪图中具有指定长度的路因子

在无爪图G中,设σ2(G)表示不相邻顶点度和的最小值. 令|V(G)|=n=∑ki=1ai,ai6,1ik,并且σ2(G)n+k-1,证明了对于图G中任意的k个顶点v1,v2,…vk, 都存在点不相交的路P1,P2,…Pk，使得对于1ik，都有|V(Pi)|=ai并且vi是路Pi的一个端点.     

一些唯一3-着色图

如果用k种颜色对图G的顶点进行着色,使相邻顶点具有不同的颜色,那么称此种着色为G的一个正常k-着色(简称k-着色).图G的色数χ(G)是指使G可正常着色的最少颜色数,其中具有相同颜色的顶点集称为一个色类.如果对G的所有χ(G)-着色产生的色类是相同的,那么称G是唯一χ(G)-着色的.论文给出了一些唯一3-着色图.     

围长至少为6的曲面图的列表单射染色

图G的一个点染色称为单射染色,如果任何两个有公共邻点的顶点染不同的颜色.一个图G称为单射k-可选择的,如果对于顶点V(G)的任何一个大小为k的允许颜色列表L,都存在一个单射染色φ,使得对于v∈V(G),有φ(v)∈L(v).使得G为单射k-可选择的最小k,称为G的列表单射染色数,记作χ_i~l(G).设G是最大度为Δ,围长为g的可嵌入到欧拉示性数χ(Σ)≥0的曲面Σ的一个图.证明了若Δ≥7且g≥6,则χ_i~l(G)≤Δ+3.     

一类特殊图k-限制边连通度

设F?E (G)为图G=(V,E)的一个边集,如果G-F不连通且G-F的每一个连通分支都至少有k个顶点,F就称为图G的一个k-限制性边割.图G的k-限制边连通度是图G的最小k-限制性边割的基数,记为λk(G).限制性边连通度是衡量网络可靠性的重要参数之一.证明了在2≤k≤n,h≤n/2的情况下,一类特殊图—蜻蜓网络D(n,h)的k-限制边连通度是■     

点可迁图的顶点划分

设G是k正则连通点可迁图。图G的一个边割S称为限制性边割，如果G－S不含孤立点，最小限制性边割所含的边数λ′称为限制性边连通度。已经证明λ′≤2k-2，等号成立时，称图G是极大限制性边连通的。本文证明了：如果G不是极大限制性边连通的，那么G的顶点集存在一个划分π＝（C1，…，Cm)，使得由Ch导出的子图同构于一个连通k-1正则点可迁图H,h=1,2，…，m，而且k≤|H|≤2k-3。     

(s,k)-连通图

图G为（s,k）-连通图,如果G中任意s个顶点的导出子图是k-连通的。证明了：如果s-k≤｜G｜-1/2,则（s,k）-连通图G是完全圈可扩的。由此推出,若图G的连通度κ（G）≥｜G｜＋1/2,则G是完全圈可扩的。     

图是λ_k-最优的和超级-λ_k的度条件

设S是连通图G中的一个边子集。若G-S不连通且它的每个连通分支的阶至少为k,则称S是G的一个k限制边割。图G的最小k限制边割的边数称为G的k限制边连通度,记为λk(G).义ζk(G)=min{|[X,X]|∶|X|=k,G[X]连通},其中X=V(G)\X.若λk(G)=ζk(G),则称G是λk-最优的。如果图G的每个最小k限制边割都孤立了一个k阶连通子图,那么称G是超级-λk的。设k是一个不小于2的正整数且G是一个阶不小于2庇的图。本文证明了若对于G中任意一对不相邻顶点u,v都有d(u)+d(v)≥ν+2k-4且G不属于一类特殊图,则G是λk-最优的。最后,给出了图是超级-λk的一个充分条件。     

圈的幂图的s-迹连通性

对于图G的任意两个顶点x和y,如果G有一条(x,y)-生成迹,则称图G是迹连通的。给定一个整数s≥0,对于任意点子集X?V(G)并且|X|≤s,如果G-X是迹连通的,则称图G是s-迹连通。设k是一个正整数,图G的k次幂图记为G~k。设t(G)是t一个最大值s使得图G是s-迹连通但不是(s+1)-迹连通,设C_n是一个包含n个点的圈,k是一个正整数并且k≥2,将证明:t(C_n~k)={2k-3,如果n=2k+2 2k-2,如果n≥2k+3 n-3,如果n≤2k+1     

k阶限制边连通度最优的一个充分条件

设S是图G的一个边子集,若G-S不连通且每个分支的阶至少为k,则称S为G的一个k-限制边割.若G有k-限制连割,G的最小k-限制边割的边数称为G的k阶限制边连通度,记为λk(G).记ξk(G)=min{|[X,]|∶|X|=k,G|X|连通},若λk(G)=ξk(G),则称G是λK-最优的.证明了若对G中任意一对不相邻的顶点x,y都有d(x) d(y)≥n 2(k-2),且G不是G*k图,则G是λk-最优的.     

关于非广义多边形路的2连通简单MCD图

令Sn是具有n个顶点没有两个等长圈的简单图的集合,若Sn中不存在图G′使│E（G′）│＞│E（G）│,则称图G是简单MCD图,若简单MCD图G是2连通的,则称G是2连通简单MCD图,若G中一条路P的两个内点u都有dG(v)=2,则称P为G的简单路,一个2连通可平面图G称为广义多边形路,如果用下述方法得到图G是路,对应于G的每个内部面f(G-是G的平图）有一个G＊的顶点f*,G*的两个顶点f*和g*,在G＊中相邻当且仅当G－中相应的两个内部面的边界交于一条G－的简单路,作者证明了下述结果,当且仅当n∈{10,11,14,15,16,21,22}时,存在n个顶点的非广义多边形路的2连通简单MCD图。     

最大度为7且短圈不正常相交的平面图的全染色

一个图G的k-全染色是指用k种颜色对G的顶点和边进行染色,使得相邻或相关联的元素染不同的颜色.图G的全色数χ_T(G)是使G存在k-全染色的最小整数k.证明了最大度为7且3-圈与5-圈不正常相交的平面图的全色数是8.