Riemann-Finsler几何

本书是南开系列数学丛书的第6卷，是著名数学大师陈省身主编的关于Finsler度量流形的Riemann—Finsler几何卷。它主要讲述了Riemann—Finsler几何中Cartan挠率、S-曲率、Landsberg曲率和Riemann曲率等基本概念，对测地挠率Finsler度量、平坦投影Finsler度量、Berwald度量和迷向S-曲率Finsler度量等也给出了详细的说明。为了让读者能够对一些重要的几何概念有深入的理解，[第一段]     

复Finsler流形上的两个问题

类似于实Finsler流形,在复流形的全纯切丛上引进Finsler度量F,并且定义G=F2为垂直丛上一Hermitian度量,然后利用Hermitian一些技巧得到复Finsler流形上的一些几何性质.在此基础上讨论了复流形M上给定的两个弱Khler复Finsler度量,如果它们射影等价则必仿射等价,以及流形M上赋予由复Berwald流形上复Finsler度量诱导的实Finsler度量必为实Berwald流形.     

具有相对迷向平均Landsberg曲率的Finsler度量

研究了具有相对迷向Landsberg曲率的Finsler度量.证明了在Cartan挠率(平均Cartan挠率)有界的Finsler流形上,具有相对迷向Landsberg曲率(平均Landsberg曲率)的Finsler度量必是Riemannian度量.此外,还探究了具有广义相对迷向平均Landsberg曲率的Finsler度量是Riemannian度量的必要条件.     

复Einstein-Finsler双扭曲积度量

设F是强拟凸的复Finsler度量F_1和F_2的双扭曲积.给出了F是复Einstein-Finsler度量的充分必要条件,并在F是一个广义复Einstein-Finsler度量的条件下,证明了它的全纯曲率恒为零.     

Finsler空间上的射影半对称Berwald联络

本文讨论了Finsler空间上的射影半对称Berwald联络的一些性质,得到了Finsler空间F~n为射影平坦的一个充要条件,即F~n容有一个特殊的射影半对称Berwald联络,其(v)h-挠率(或h-曲率)和hv-曲率均为零。     

具有迷向S-曲率的指数度量

研究了Finsler几何中一类特殊(α,β)-度量-指数度量F=αeks的S-曲率性质.笔者通过把指数度量的S-曲率与其特殊S-曲率的表达式进行比较,采用代数方程公式运算的方法,分析方程因式指数的变化,得到了指数度量具有迷向S-曲率的充要条件:指数度量具有迷向S-曲率当且仅当它具有迷向平均Berwald曲率.此时,该度量的S-曲率为零,且是弱Berwald度量.结论表明:对于这类特殊的(α,β)-度量来说,它的曲率性质较简单,即它有迷向S-曲率等价于它有迷向平均Berwald曲率,等价于它具有为零的S-曲率.     

反正切Finsler度量与Kropina度量射影等价的充要条件

考虑反正切Finsler度量F=α+εβ+βarctan(β/α)和Kropina度量F=α2/β的射影等价,其中:α和α为流形M的Riemann度量;β和β为流形M非零的1-形式.利用射影等价具有相同Douglas曲率的性质,得到了这两个度量射影等价的充要条件.     

关于对称芬斯勒度量的若干性质

在n（n≥3）维芬斯勒流形（M,F）上,利用芬斯勒几何的基础知识和基本方法得到了对称芬斯勒度量F（reversible Finsler metric）具有若干很好的曲率性质;并进一步证明了对称（α,β）-度量F=αφ（s）具有相对迷向平均Landsberg曲率的充分必要条件是F为黎曼度量或Berwald度量,拓展了沈忠民等人的结果。最后证明了对称芬斯勒度量F具有殆迷向S-曲率时,F必为弱Berwald度量,这时如果F还具有标量旗曲率K（x,y）,那么K（x,y）必为常数。     

射影相关Finsler度量的两种迷向曲率

讨论了射影相关Finsler度量F与F的迷向Berwald曲率间的关系 ,并利用这种关系得到了一个射影相关下F具有迷向S 曲率的充分必要条件     

黎曼积流形的子流形

本文在K.Yano和M.Kon 1979年关于积流形的结果上得出了关于黎曼流形的子流形的一些结果.特别得出了定理5.1 设M_i(i=1,2)是Sasaki流形N_i关于分布D:的切触CR-子流形.如果ξ∈D_1;ξ′∈D_2,则M=M_1×M_2为Hermite流形N=N_1×N_2的关于分布D=D_1×D_2的CR-子流形.定理5.2 若M=M_1×M_2是N=N_1×N_2关于分布D=D_1×D_2的CR-子流形,且有ξ∈D_1;ξ′∈D_2,则M_i为N_i(i=1,2)关于分部D_i的切触CR-子流形.K.Yano和M.Kon在[1]中已经研究了两个Kaehler流形的黎曼积流形的子流形.另外,我们知道,在正规切触度量流形的黎曼积流形上,存在一个复结构(非Kaehler结构)(?),在[3]中,M.Kameda给出了两个Sasaki流形的黎曼积流形及子流形的许多结果,本文正是对积流形的不变子流形及CR-子流形作进一步的讨论.     

L-可约的Finsler空间向与C可约的Finsler空间的转化

C-可约的Finsler空间一定是L-可约的Finsler空间,反之则不然.本文研究反面情形的成立条件,实现了L-可约的Finsler空间向C-可约的Finsler空间的3种转化.L-可约的Finsler空间,若分别具有迷向Landsberg曲率、常曲率,则它能转化为C-可约的Finsler空间;在上述两种情形下,通过对比Landsberg曲率和Cartan挠率的关系,得到推论:L-可约的Finsler空间,若满足L:0:0+k(x,y)C=0,其中k(x,λy)=λ3k(x,y),则它是C-可约的.在第二种情形的启发下,考虑到常曲率和标量曲率的关系,最后得到具有标量曲率的L-可约Finsler空间一定是C-可约的,并得到平均Cartan挠率的表达式Ik=-1Kf 2Jk:0+f 23(n+1)K·k.     

复Finsler流形上的交换公式

设M是n维复流形,具有强拟凸的复Finsler度量F.本文讨论复Finsler流形(M,F)上的复Rund联络,得到它的水平共变导数与垂直共变导数的各种交换公式,并应用这些交换公式得到强Kaehler Finsler流形上复水平Laplacian算子的一种表示式,该式显含复Rund联络的h-曲率.     

一类与Funk度量射影相关的Finsler度量具有两种常曲率的条件

Funk度量F是一个射影平坦的Finsler度量，它具有常曲率K＝-1/4和常S－曲率S＝1／2（n 1)F,首先在欧氏空间R^n的一个强凸区域Ω上用Funk度量F和闭1－形式β构造了一类新的Finsler度量－／F＝F＋β，然后分别找到了－／F具有常曲率和常S－曲率的充分必要条件。     

构造具有特殊性质的复Randers度量

首先证明了当‖β‖α＜1时,复Randers度量的Cartan挠率具有上界.然后推导出所构造的含有3个参数的复Randers度量要么是非弱K(a)hler Finsler度量,要么满足(β)b0|0+βb-0|0≠0,并且该度量具有一致上界.最后给出一些例子说明如果ρ2+λε=0,那么它们的全纯曲率都是非正的.     

纤维化的芬斯拉空间的超曲面理论

如J. M. Wegner文中所指出的,在Finsler-Cartan空间里面,对极小超曲面的研究仅在A_i=0的Finsler空间才有完备的结果,现时A. Deike证明了在闭标图这下具有A_i=0的Finsler空间恰即是Riemann空间,这个惊人的结果,使对这类特殊的Finsler空间的研究变为无聊的事体,最近W. Barthel较成功地弥补了这一缺陷和别的一些分歧,他和E. Cartan研究所不同的是导入了一个新的公设(即第五分设):本文的意图是仿J. M. Wegener及L. Berwald的方法,对Barthel意义下的Finsler空间的超曲面的理论加以有系统地建立,并导引出超曲面上之空间的挠率与曲率以及Gauss-Codazzi方程,最后推究超平面的存在问题。     

一类对偶平坦的Finsler度量（英文）

Finsler几何是没有二次型限制的黎曼几何,在Finsler几何中很重要的两个问题是射影平坦和对偶平坦的Finsler度量.本文主要研究了一类含有3个参数的Finsler度量F=α+β,其中α(x,y)=(k~2(x,y)~2)+ε|y|~2(1+ζ|x|~2))~(1/2)/(1+ζ|x|~2)和β(x,y)=(kx,y)/(1+ζ|x|~2).利用Hamel方程和对偶平坦方程,得到了这类Finsler度量为射影平坦和对偶平坦的充要条件.     

Finsler流形的强极小子流形

对于Finsler流形间非蜕化的光滑映射,利用射影球丛纤维上的散度公式给出了其能量泛函第一变分公式的另一种简洁的证明.同时,给出了Randers空间中子流形关于Finsler度量和黎曼度量的第二基本形式,以及平均曲率向量场之间的关系.最后,给出了Randers空间中强极小子流形的一个分类定理.     

共形紧致流形与分裂定理

通过对给定共形紧致流形上的L²调和1-形式空间的研究， 确定了共形紧致流形的结构. 利用Wang的方法以及流形的曲率和第一特征值条件可知， 流形上不存在非平凡的L²调和1-形式， 或者流形上成立一些微分方程. 通过解这些微分方程可以证明给定的流形分裂成一个欧氏空间和一个曲率有下界全测地子流形的乘积， 并且流形上的度量能够被显式表达. 对于一般的完备流形， 如果对其上的L²调和1-形式的增长做一定限制， 类似的结果也成立.     

一类具有常旗曲率K=1的射影平坦的Finsler度量(英文)

作者通过一个微分方程构造了一类具有常旗曲率K=1的射影平坦的Finsler度量.     

复Kropina度量

讨论了复Kropina度量成为复Berwald度量的3个不同条件.研究了复Kropina度量的全纯曲率.特别是在β全纯的情况下,得到了复Kropina度量和Hermitian度量之间的全纯曲率关系.找到了复Kropina度量成为复Berwald度量的第4个条件,讨论了迷向全纯曲率.