再论正定Hermite矩阵间的半正定关系

文证明了两个交换ｎ阶正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ≥Ｂ的半正定Ｈｅｒｍｉｔｅ关系：１４（Ａ－Ｂ）２Ａ－１≤１２（Ａ＋Ｂ）－２ＡＢ（Ａ＋Ｂ）－１≤１４（Ａ－Ｂ）２Ｂ－１,１２（Ａ１２－Ｂ１２）２（Ａ－１Ｂ）１２≤（ＡＢ）１２－２ＡＢ（Ａ＋Ｂ）－１≤１２（Ａ１２－Ｂ１２）２（ＡＢ－１）     

正定矩阵的块kronecker积的一些不等式

本文首先给出Ａ与Ｂ块的ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积为，其中Ａ＝（Ａｉｊ），Ｂ＝（Ｂｉｊ），ＡｉｊＢｉｊ表示Ａｉｊ与Ｂｉｊ的ｋｒｏｎｃｋｅｒ积。然后我们讨论了正定矩阵关于块ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积一些不等式，我们得到了如下重要结果：当Ａ，Ｂ是正定矩阵，则有（１）Ａ２□Ｂ２＞（Ａ□Ｂ）２，（２）Ａ－１□Ｂ－１≥（Ａ□Ｂ）－１。这些结果推广了文［１］的主要结论。     

次Hermite矩阵的次正定性

若ｎ阶次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ，对任意非零向量Ｘ＇＝（ｘ＿１，ｘ＿２，…ｘ＿ｎ）∈Ｒ￣ｎ，有ＡＸ＞０，则称次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ是次正定的．给出了判定次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵次正定的几个充要条件：定理ｎ阶次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ是次正定的，当且仅当下列条件之一成立：（ｌ）Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵ＪＡ是正定的；（２）存在ｎ阶可逆复矩阵Ｐ，使ＡＰ＝Ｊ；（３）次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ的４ｋ阶，４ｋ十互阶下次主子式为正，４ｋ＋２阶，４ｋ＋３阶下次主子式为负；（４）存在ｎ阶可逆复矩阵Ｐ，使其中λ＿ｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ。     

半正定Hermite矩阵的一个不等式

设Ａｊ，Ｂｊ∈Ｃｎ×ｎ（ｊ＝１，２，…，ｍ）为半正定的Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，本文建立了下列不等式．     

LaSalle矩阵不等式的加强

设Ａ是ｎｘｎ 非奇异矩阵,Ｂ是ｎｘｎ 对称矩阵,且Ｇ＝ － （ＡＴＢ＋ ＢＡ） 正定,那么对任意ｘ,ｙ ∈Ｒｎ,且ｘ ≠０,有（Ｂｘ ＋ ｙ）ＴＧ－ １（Ｂｘ ＋ ｙ） ≥〔ｘＴ（ＡＴ）－ １（Ｂｘ ＋ ｙ）〕２ｘＴ（ＡＴ）－ １ＧＡ－ １ｘ ≥－ ２ｙＴＡＴｘ     

关于正定矩阵行列式的Minkowski不等式

设Ａ、Ｂ、Ｃ为实对称正定矩阵，ａ、ｂ、α为正数，且ａ≥｜Ａ｜＞ａ｜ｅ｜，｜Ｂ｜＞ｂ｜Ｃ｜，本文证明了。［｜Ａ＋Ｂ｜－（ａ＋ｂ）｜Ｃ｜］≥［｜Ａ｜－ａ｜Ｃ｜］＋［｜Ｂ｜－ｂ｜Ｃ｜］，推广了文［１］、［２］的结果．     

交Hermite矩阵的次正定性

若ｎ阶次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ，对任意非零向量Ｘ＾ｔ＝（ｘ１，ｘ２，…ｘｎ）∈Ｒ＾１，有Ｘ＾ＳＴＡＸ〉０，则称次Ｈｅｒｍｉｔｅｔ矩阵Ａ是次正定的。     

关于Bellman不等式的注记

文〔１〕证明了Ｂｅｌｍａｎ不等式：ｔｒ（ＡＢ）ｎ≤ｔｒ（ＡｎＢｎ），当ｎ＝２ｋ（ｋ为自然数）时成立，这里Ａ，Ｂ为正定矩阵。本文证明将Ａ，Ｂ推广为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵时该不等式仍成立。     

关于矩阵乘积迹的两个问题

关于矩阵乘积迹的两个问题刘希普，黄少通文［１］证明了下述两个不等式成立：（１）设Ａ为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，Ｂ为斜Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则ｔｒ（ＡＢ）￣２＞ｔｒＡ￣２Ｂ￣２；（２）设Ａ，Ｂ均为余Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则ｔｒ（ＡＢ）￣２≤ｔｒ（Ａ￣２Ｂ￣２）。...     

关于半正定Hermitian矩阵迹的不等式

本文给出了ｎ阶半正定Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ矩阵Ａ，Ｂ乘积（Ｉｎ＋ＡＢ）Ａ与（Ｉｎ＋ＡＢ）－１Ａ的特征值控制不等式，从而提高了文〔１〕结果的估计精度     

定积分的一个估计式

利用微分中值定理“中值点”的渐近性，给出一个新的积分梯形公式，由此得到定积分的估计式．     

定积分的定义与某些重要不等式的推广应用

本文通n个正数的调和平均值、几何平均值、算术平均值及k次幂平均值的关系,并利用定积分的定义和连续函数极限的性质推导出函数的上述四种平均值之间的类似关系.     

定积分不等式证明方法的研究

通过利用定积分的定义,已知不等式、泰勒公式、积分中值定理、辅助函数法、二重积分等方法研究了有关定积分不等式的证明方法及规律.     

定积分求解数列极限

定积分是数学的重要概念,在其他学科和各种领域应用广泛,在数学上的应用正向思维比较多,文章从逆向思维的角度,给出了利用定积分求解两种数列的极限的方法.     

定积分第一中值定理的改进与应用

本文重新表述了定积分第一中值定理的证明，并改进了该定理，对于改进了的定积分第一中值定理还给出了证明及一些应用实例．     

次正定次Hermite矩阵

提出了次正定次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵的概念,研究了它的基本性质,建立了与Ｓｃｈｎｒ定理,华罗庚定理相应的重要结论,将Ｈａｄａｍａｒｄ、Ｏｐｅｎｈｅｉｍ关于正定Ｈｅｒｍｉｔｅ阵的名行列式不等式推广到了一类非Ｈｅｒｍｉｔｅ复矩阵上。     

广义正定矩阵

给出了广义正定矩阵的定义：设Ａ∈Ｍｎ（ Ｒ） ,Ａ′≠Ａ,若对任意Ｘ≠０ ∈Ｒｎ×１ ,都有Ｘ′ＡＸ＞ ０,则称方阵Ａ是广义正定的;并研究了广义正定矩阵的一些判别方法。     

实方阵的次正定性

定义了实方阵的次正定性 ,给出实方阵的次正定性的一些性质     

复亚正定矩阵

复亚正定矩阵是正定Hermite矩阵的推广。给出判别复亚正定矩阵的一系列等价条件，并得到这一类矩阵行列式的不等式。