关于Ramsey数R(3,3,4)的界

设K_n为n阶完全图,以色α_1…α_t着K_n的边。又以E_i表示K_n中着色α_i的边集,G(E_i)表示以边集E_i生成的部分图。如果有一着色方案,使得每一G(E_i)不包含l_j阶完全子图K_(li)(1≤i≤t)则称K_n为可(K_l_1,…,K_l_t)——着色图。记R(l_1,…,l_t)=max{n 1:K_n为可(K_l_1,…,K_l_t)——着色图}并称R(l_1:…,l_t)为关于参数l_1,…,l_t的Ramsey数。     

三色Ramsey数R(Cm1,Cm2,Cm3)研究

用r种颜色对图G的所有边着色,记着第i色的边构成的子图为Gi,如果存在一种着色方法使得对所有的1≤i≤r都满足Hi Gi,则称图G对于(H1,H2,…,Hr)可r着色.R am sey数R(H1,H2,…,Hr)是使得完全图Kn对于(H1,H2,…,Hr)不可r着色的最小正整数n.令m1>m2≥m3,E r.do.s等给出了当m1足够大时R(Cm1,Cm2,Cm3)的值.通过对m1不是足够大的情况进行研究,证明了当m≥5时,R(Cm,C3,C3)=5m-4;并给出了当m1≤7时R(Cm1,Cm2,Cm3)的值.     

三色拉姆塞数R3(C8)研究

用r种颜色对图G的所有边着色,记着第i色的边构成的子图为Gi,如果存在一种着色方法使得每一个Gi(1≤i≤r)都不包含图H,则称图G对于H可以r着色.拉姆塞数Rr(H)是使得完全图Kn对于H不可以r着色的最小正整数n.令Cm表示长度为m的圈,Dzido等证明了R3(C2k)≥4k.本文对k=4的情形进行研究,利用计算机,通过大量的计算证明了R3(C8)=16.     

偶图Kn,n\I的(m1,m2,…,mr)-圈分解

mi(1≤i≤r)为偶数且∑ri=1mi=2k,k≥1,Kn,n为偶图,I为Kn,n的一因子.证明了Kn,n\I可分解为(m1,m2,…,mr)-圈的充分必要条件为2k|n(n-1)且n为奇数.进一步,Kn,n\I可分解为循环的(m1,m2,…,mr)-圈的充分必要条件为2k=n-1且n为奇数.     

生成二色Ramsey图R（3，p）的基本元方法

构造二色Ramsey极图其复杂度是NP完全难的问题。通过生成Kn(3,p)阶图（见献[1]以期获得阶最大极图R（3,p）（Kn,(3,p)≤R（3,p)=r(3,p)-1。本给出了一种生成Ramsey图R（3,p）的基本生成元方法。     

偶图Kn,n+8-A(│A│≤3)的圈长分布唯一性

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1,c2,…,cn),其中ci是图G中长为i的圈数.设A(∈)E(Kn,n+8),在情况①G=Kn,n+8(n≥13);②G=Kn,n+8-A(│A│=1,n≥15);③G=Kn,n+8-A(│A│=2,n≥17);④G=Kn,n+8-A(│A│=3,n≥19)时,图G由其圈长分布唯一确定.     

两类非连通图(P2∨(Kn))(0,0,r1,0,…,0,rn)∪St( m)及(P2∨(Kn))(r1+a,r2,0,…,0)∪Gr的优美性

对自然数n,m,i∈N,设Ki表示i个顶点的完全图,(Kn)表示Kn的补图,St(m)表示m+1个顶点的星形树,G,为有r条边的优美图,Pn为n个节点的路,P2 ∨(Kn)是P2与(Kn)联图.给出了非连通图(P2 ∨(Kn))(r1,r2,0,…,0)∪St(m)及(P2∨(Kn))(r1 +a,r2,0,…,0)∪Gr的定义,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图.     

由圈长分布确定的偶图的几个定理

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1，c2，…，cn)，其中ci是图G中长为i的圈数，得到如下结果：(1)设A包含于E(Kn，n)，则当Kn，n[A]≌K1，j或Kn，n[A]≌K2时，Kn，n－A是由它的圈长分布确定；(2)设A包含于E(Kn，n，|A|=4，n≥11，则Kn，n－A是由它的圈长分布确定的。     

两类非连通图(P_2∨)∪St(m)及(P_2∨)∪T_n的优美性

对自然数n,m,i∈N,设Ki表示i个顶点的完全图,Kn是Kn的补图,St(m)表示m+1个顶点的星形树,Tn为n个节点的优美树,Pn为n个节点的路,P2∨Kn是P2与Kn联图.给出非连通图(P2∨Kn)∪St(m)和(P2∨Kn)∪Tn,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图.     

完全图Kn中边不重的3圈数

设完全图Kn中边不重的3圈数的最大值为c(n,3)，证明了{(n-1)(n-2)6}≤c(n,3)≤[n[n-12]3]，当n≡1,2,3(mod 6)时，c(n,3)=[n[n-12]3]，并给出了一个得到Kn中{(n-1)(n-2)6}个边不重的3圈的方法，其中n∈{3,4,5,…}.     

对偶图K_(n,n)+I的循环(m_1,m_2,…,m_r)-圈分解

mi(1≤i≤r)为偶数且r∑(i=1)mi=2k(k≥1).Kn,n为偶图,I为Kn,n的一因子.证明了Kn,n+I可分解为(m1,m2,…,mr)-圈的充分必要条件为2k│n(n+1)且n为奇数.进一步,Kn,n+I可分解为循环的(m1,m2,…,mr)-圈充分必要条件为2k=n+1且n为奇数.     

关于K_n-{v_(n-5)v_(n-4),v_(n-3)v_(n-2),v_(n-1)v_n}(n≥14,n≡0(mod2))的点可区别边色数

给出了图K_n-{v_(n-5)v_(n-4),v_(n-3)v_(n-2),v_(n-1)v_n}(n≥14,n≡0(mod2))的点可区别边色数,其中Kn为n阶完全图。     

完全图K_n中边不重的3圈数

设完全图Kn 中边不重的 3圈数的最大值为c(n ,3) ,证明了 { (n - 1) (n - 2 )6 }≤c(n ,3)≤ [n[n - 12 ]3 ],当n≡ 1,2 ,3(mod　 6 )时 ,c(n ,3) =[n[n - 12 ]3 ],并给出了一个得到Kn 中 { (n - 1) (n - 2 )6 }个边不重的 3圈的方法 ,其中n∈ { 3,4,5 ,… } .     

满足2色P_4条件完全图的边着色

设Kn是具有n个顶点的完全图,p（n）是满足下列条件的最小正整数,对于任意的正整数m≥P（n）,存在Kn的一个m边着色,使得Kn中的任一个P4至少含2种颜色．给出了n阶完全图的2色P4问题的充要条件和p（n）的上下界：pn）的上界为n-1,它的下界为[1/2n],并且证明了p（6）=p（7）=p（8）=p（9）=4．     

(m,n)-投射模和(m,n)-内射模

设R是任给的环,m和n都是正整数。右R模NR是(m,n)-内射模,若对Rm的任给的n-生成子模K,则有Ext1R(Rm/K,N)=0。右R模MR是(m,n)-投射模,若对任给的(m,n)-内射模N,有Ext1R(M,N)=0。当m=1,n是任给的正整数时,(m,n)-投射模就是f-投射模。任给的(m,n)-表现模都是(m,n)-投射模。设F-(m,n)-proj表示由所有的(m,n)-投射模所组成的模集,F-(m,n)-inj表示由所有的(m,n)-内射模所组成的模集。本文给出了(m,n)-投射模的刻画,同时证明了(F-(m,n)-proj,F-(m,n)-inj)是一余挠理论,且每一个R-模都有一个特殊的(m,n)-内射预包络和一个特殊的(m,n)-投射预覆盖。还给出了(m,n)-投射模和(m,n)-内射模的相关的性质。     

非连通图（P2∨Kn）(r1,r2,…,rn+2)∪Gr的优美性

对自然数n∈N,设Kn表示n个顶点的完全图,Kn表示Kn的补图,Gr为有r条边的优美图,Pn为n个节点的路,P2∨Kn是P2与Kn的联图.给出了非连通图(P2∨Kn)(r1,r2,…,rn+2)∪Gr的定义,论证了当n≥1时,这类图是优美图.     

(R,k)-多项式与平坦性

设K是一个域，一个超曲面f(x1,x2,…,xn)＝0的坐标环是K[x1,…xn]/f,令R＝K[x1,…,xn-1],则K[x1,…,xn]＝R[xn].坐标环为R[xn]/f．根据Hilberx合冲定理,R[xn]的整体同调维数是n．本文中假设R是一个有单位元的交换环，f是R上的一个多项式，A＝R[x]/(f)．我们定义了一个(R，k)-多项式，它是首一多项式的推广，即当k＝0时，它是环R上的一个首一多项式．本文的主要结果是当f是(R,k)-多项式时，A是忠实平坦的R-模，并且当A的同调维数为有限时，其整体同调维数满足GD(A)≤GD(R)≤GD(A)+pdR(A)≤GD(A)+1，这里我们认为R的同调维数是有限的．     

(m,n)-投射模和(m,n)-内射模

设R是任给的环,m 和n 都是正整数。右 R 模 NR是(m,n)-内射 模,若 对 Rm的 任 给的n-生 成子 模 K,则 有Ext1R(Rm/K,N)=0。右R 模MR是(m,n)-投射模,若对任给的(m,n)-内射模 N,有Ext1R(M,N)=0。当m=1,n是任给的正整数时,(m,n)-投射模就是f-投射模。任给的(m,n)-表现模都是(m,n)-投射模。设F-(m,n)-proj表示由所有的(m,n)-投射模所组成的模集,F-(m,n)-inj表示由所有的(m,n)-内射模所组成的模集。本文给出了(m,n)-投射模的刻画,同时证明了(F-(m,n)-proj,F-(m,n)-inj)是一余挠理论,且每一个R-模都有一个特殊的(m,n)-内射预包络和一个特殊的(m,n)-投射预覆盖。还给出了(m,n)-投射模和(m,n)-内射模的相关的性质。
     

广义Ramsey数p(n,k)的若干性质

设n ,k≥ 3为自然数 ,p(n ,k)是最小的正整数p ,使得对任何阶图G ,或者G有n点导出子图至少有n - 1条边 ,或者G有k点独立集 ,则本文证明 :( 1 )p(n ,k) ≥max{p(n ,k-1 ) ,p(n- 1 ,k) },( 2 )当n<3k - 4时有p(n ,k) ≥ 2k- 2 + [n/3],这里 [·]是最大取整函数 .     

完全分割图的最小直径定向

对于图G，记G的具有最小直径的定向图为G’，用K2[Kn,Km^-]表示由阶为n的团和阶为m的独立集构成的完全分割图．为了得到完全分割图K2[Kn，Km^-]的最小直径定向，首先给出Kn的一个定向Rn使得diam(Rn)=2，然后对Kn与Km^-之间的边也给出特殊的定向，并证明了下述结论：