关于丢番图方程x~4-pqy~2=1(Ⅱ)

3.方程(1)在p≡17(mod24),q≡3(mod8)或p≡5(mod24),q≡23(mod24)或p≡5(mod24),q≡3(mod8),(p/q)=1时均无正整数解.4.当D=2p时,方程(1)除开有解p=3,x=7,y=20外,无其他的正整数解.5.方程(1)在p≡3(mod4),q≡3(mod4)时无正整数解.国外,Nagell,Ljunggren,Cohn等人有过不少工作,可参看文[4]所附文献.本文用不同于前面诸文的方法,对于D=pq的情形,得到进一步的结果.我们有     

关于丢番图方程x3+p3n=Dy2

设D是大于 2且不含σk +1之形素因数的无平方因子正整数 ,p是适合p D的素数。本文证明了 :当p>3且p ± 1(mod 12 )时 ,如果D有素因数q适合q≡ 1(mod 4) ,则方程x3 +p3n =Dy2 没有适合gcd(x ,y) =1的正整数解 (x,y ,n)。     

关于Diophantine方程x3-23n=Dy2

设D是不能被6k 1之形素数整除的无平方因子正奇数时,论文证明了:如果D≡1,3(mod8)或D有适合p≡5(mod12)的素因数p,则方程2332Dyxn=-没有适合n>1的正整数解(x,y,n).     

关于Diophantine方程 x3-33m=2Dy2

设D是无平方因子正奇数.证明了:当D不能被6k 1之形素数整除时,如果方程x3?33m=2Dy2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y,m),则D≡1(mod4),D的素因数p都满足p≡11(mod12),而且D的素因数个数必为偶数.     

椭圆曲线y~2=px(x~2-2)的整数点

设p是大于1的无平方因子的正奇数.证明了如果p的素因素q都满足q≡3(mod8),则椭圆曲线y~2=px(x~2-2)无正整数点;如果p的素因素p都满足q≡5(mod 8),则椭圆曲线y~2=px(x~2-2)至多有2组正整数点.     

关于不定方程x~3±1=6pqDy~2的整数解

设Q=6p_1…p_sr_1…r_n(s,n∈Z_+),其中p_j≡1(mod 6)(j=1,2,…,s)为奇素数,r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数.关于不定方程x3±1=Qy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、Legendre符号的性质、递归序列、Pell方程解的性质证明了:当D=r_1…r_n(n∈Z+),r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数,p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1时,不定方程x~3±1=6pqDy~2仅有平凡解的两个充分条件.     

一类Diophantine方程及其他的整数解

目的研究不定方程x3±8=Dy2的可解性问题。方法利用初等及代数方法。结果设D是不含3和6k+1之形素因数的无平方因子正整数。当D>5时,如果D的素因数p都满足p≡1,3(mod 8)或者p≡5,7(mod 8),则方程x3±8=Dy2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)。结论部分地解决了该方程的可解性问题。即对某些特殊D,该方程无解。     

关于Diophantine方程x3+33m=Dy2

设D是无平方因子正奇数。本文证明了：当D不能被6k l之形素数整除时，如果方程x^3 3^3m=Dy^2有适合gcd(x，y)=1的正整数解(x,y,m)，则D≡3(mod 8)，D的素因数p都满足P≡11(mod 12)，而且D的素因数个数必为奇数。     

关于Diophantine方程x~3±1=2pqry~2

设p,q,r为奇素数,p≡13 mod 24,q≡19 mod 24,(p/q)=-1.利用同余式、平方剩余、递归序列、Legendre符号的性质、Pell方程解的性质等证明了:(A)若r≡5 mod 12,则方程G:x3-1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(1,0);若r≡11 mod 12,则方程G最多有2组正整数解.(B)若r≡11 mod 12,则方程H:x3+1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(-1,0);若r≡5 mod 12且(pq/r)=-1,则方程H最多有2组正整数解.     

方程x~3+1=3py~2有正整数解的必要条件

对于正整数n,设Q(n)是n的无平方因子部分;设p是适合p≡1(mod 6)的奇素数.运用Petr组的性质证明了:如果方程x3+1=3py2有正整数解(x,y),则p≠Q(3s2-2),p≠Q(12s2+1),且3p≠Q(s2+2),其中s是正整数.     

关于不定方程x~3+5~3=2Ry~2

设R=p1 p2 Q,Q=r i(n∈Z),ri-1(mod6)(1≤i≤n)为互异的奇素数,p1≡p2≡1(mod 6)为奇素数。运用初等方法得出了不定方程x 3+53=2Ry 2无正整数解的一个充分条件。     

关于丢番图方程2py~2=2x~3+3x~2+x的解

本文运用初等数论简单同余法、分解因子法及反证法等,得到丢番图方程2py2=2x3+3x2+x,(p为素数)无正整数解的情况.(1)当p≡1(mod 8),p≡5(mod 8),p≡7(mod 8)时,则方程无正整数解;(2)当p≡3(mod 8)时,Un+Vnp(1/2)=(x0+y0p(1/2))n.其中x0,y0是Pell方程x2-py2=1的基本解,当n≡0(mod 2)时,则方程无整数解;当n≡1(mod 2)时,若2|x0,则方程无整数解.特别是p≡3(mod 8)且p100时,2|x0,则方程无整数解.     

关于Diophantine方程x~3±1=6pqy~2的整数解

主要利用同余式、Pell方程的解的性质、递归序列、平方剩余等理论得出了如下结果:(1)p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1,pq≡19(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod 24)时,Diophantine方程x~3-1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(1,0);(2)p≡q≡1(mod6)为奇素数,(p/q)=-1,且pq≡7(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod2 4)时,Diophantine方程x~3+1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于Pell方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4

设p,q,r_i均为相异奇素数,且p≡1(mod8),q≡3(mod8),r_i≡5或7(mod8).证明了Pell方程组x~2-2y~2=1,y~2-Dz~2=4当D=2pqr_i时,除了D=34时仅有非平凡解z=±12外,其他情形仅有平凡解z=0。     

关于Diophantine方程x~3+1=13qy~2的整数解

设D是无平方因子的正整数,D=∏s i=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod 12)为奇素数,且(q/13)=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4 367,±30 252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。     

Diophantine方程x~3+5~3=2pqy~2的整数解

设p≡13(mod 24)为奇素数,q≡19(mod 24)为奇素数.运用同余的性质、Legendre符号的性质等得出了Diophantine方程x~3+5~3=2pqy~2无正整数解的一个充分条件.     

关于指数Diophantine方程(a~n-1)(b~n-1)=x~2

设a,b是不同的正整数.运用初等数论方法证明了:当a≡0(mod 2)且b≡3(mod 8)时,方程(an-1)(bn-1)=x2没有适合n>1的正整数解(x,n).     

关于椭圆曲线y~2=qx(x~2+32)的正整数点

设q为无平方因子的正奇数,q的任意素因子q_i(i∈Z~+)都满足q_i≡5(mod 8),主要利用同余的性质、Legendre符号等证明了y~2=qx(x~2+32)无正整数点.     

椭圆曲线y~2=qx(x~2+4)的正整数点的个数

若q为无平方因子的正奇数,q的所有素因数qi(i∈Z~+)都满足qi≡3,7(mod 8)为奇素数.本文主要利用同余、勒让德符号的性质等证明了椭圆曲线y~2=qx(x~2+4)当q≡7(mod 8)为奇素数时至多只有一个正整数点,除此以外均无正整数点.     

关于丢番图方程px~4-(p-q)y~2=qz~4

利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-q)y2=qz4当p=2Q2+q,p,q为奇素数,2|/Q,P≡7(mod8)或者2|Q,p≡3(mod8)时的全部正整数解,从而拓展了Mordell等学者关于ax4+by4=cz2的结果.