数论中的若干猜想和问题

自从陈景润同志在哥德巴赫猜想问题上取得引人注目的成就后,我国青年中对数论中的若干猜想问题的兴趣显著增加。本刊自创刊以来的一年中收到有关此类稿件甚多,但差不多所有来稿中的数学证明或推导都是错误的,不科学的。这主要是由于缺乏数论的基础知识或是对当前数论的进展情况不了解所致。为此我们请柯召和孙琦同志撰写了《数论中的若干猜想和问题》一文,以供许多有志于数论的业余爱好者了解情况,避免走弯路,浪费青春。     

关于行列式D≤50的本原五元恒正二次型

是行嬲式为D的五元恒正二次犁。(辞fj—aji) 在D.~25时①已柽求出所有的本原代表型和类数,本文将糟稽求出25相似文献   

关于行列式不超过25的五元恒正二次型

1.Charve曾就行列式≤20的四元恒正二次型造出一个表。柯召,王绥旃改正了Charve表上一些错误,并且列出了行列式≤25的四元恒正二次型的表。我们这里用柯召在九元二次型分类问题中所述方法算出行列式≤25的五元恒正二次型各类代表型。2.设n元二次型     

关于恒正二次型的极小值

是n个变元x_1,…,x_n的一个实系数恒正二次型,且设minF_n表示当变元x_i取过不全为零的整数值时F_n的极小值(由F_n的恒正性和x_i的整数性,我们就不难说明其存在性),△(F_n)表示F_n的系数行列式,即△(F_n)=|a_(ij)|。那末,所谓“恒正二次型的极小值问题”就是要寻求     

关于方程x~3+y~3+z~3=xyz

关于三元三次型为零的有理数解问题,有过很多工作。但是即使对于(1) x~3+y~3+z~3=xyz,还不知道他是否有xyz≠0的有理数解。在本文中,我们将证明方程(1)和(2) (x~2+y~2+z~2)(x+y+z)=8xyz,(3) x~3+y~3+13z~3=7xyz都没有xyz≠0的有理数解。首先证明方程(1)没有xyz≠0的有理数解。方程(1)如果有有理数解,显然就有整数解。所以毫无损失的可以假设x,y,z都是整数,而且有(4) (x,y)=(y,z)=(z,x)=1.     

关于丢番图方程x~3±1=Dy~2

对于丢番图方程x~3±1=Dy~2,x~3±1=3Dy~2,D>2,D无平方因子且不能被3或6k 1形的素数整除,设上式中四个方程的正整数解(x,y)的总个数为T,Ljunggren(Skr.Norske Vid.Ak ad.Oslo.I.9(1942),53)证明了T≤1,他的证明方法不是初等的。     

一个关于二次型的问题

1.我们知道任何一个系数为有理数的n元恒正二次型f_n常可表为n+3个有理系数线性型的平方和。但是有这样的二次型存在,例如:     

关于丢番都方程(a~2-b~2)~x (2ab)~v=(a~2 b~2)~2

除x=y=z=2外,有无其他正整数解。Jesmanowicz的猜测是没有其他正整数解。并且证明了对于b,a=2,3;3,4;4,5;5,6,他的猜测是成立的。作者曾对a=n 1,b=n,其中n为自然数时得出了一些结果,例如证明了在     

关于行列式D≦25的六元恒正二次型

设f_n=sum from i‘j=1 to n(asum from n=1 to n(a_(ij)x_ix_j)(a_(ij)=a_(ji))是一个系数a_(ij)均为整数,行列式为D_n=|a_(ij)|的n元二次型,如果对x_i取任何一组不全为零的实数值时,都使f_n取正值,我们称为f_n为恒正二次型。两个二次型f_n与g_n,如果能经行列式等于±1的线性变换可以互相转化的,称为等价。根据等价性将二次型分成若干类,同一类的二次型都等价,不同类的二次型彼此不等价,用h_n(D_n)表f_n具有行列式为D_n的类数。     

表三元二吹型为平方和的问题

在什么条件之下,当s=5时,(2)式对于整数b_(ij)常能成立,是一个尚未解决的有趣味的问题。本文将对于这一个问题进行探讨。