具有非线性衰减项的粘弹性波动方程的整体吸引子的存在性

设Ω为R3的具有光滑边界的有界区域.考虑了具有非线性衰减项与线性记忆项的半线性波动方程utt+g(ut)-k(0)Δu-∫∞0k’(s)Δu(t-s)ds+f(u)=0,x∈Ω,t∈R+.众所周知,在双曲或双曲类功力系统中非线性衰减性是分析其动力行为的难点所在.在本文我们在能量空间χ0=H10(Ω)×L2(Ω)×M0μ上证明了上述方程的通用吸引子的存在性.     

带阻尼项的非自治2D Navier-Stokes方程的一致吸引子

考虑带阻尼项c uβu的非自治2DNavier-Stokes方程解的长时间动力学行为,应用一些新结果和能量估计技巧,获得了能量的一致衰退估计.结果表明,当外力项满足正规条件(而非平移紧),阻尼项参数c0,1/3≤β≤2,初值uτ∈cl(H10(Ω))2{u∈C∞0(Ω)2,div u=0}时,阻尼型非自治2D Navier-Stokes方程满足一致(C)条件,从而证明了一致吸引子在cl(H10(Ω))2{u∈C∞0(Ω)2,div u=0}内的存在性.     

双非线性抛物型方程解的正则性和唯一性

研究了非线性项α(u)和f(u)具有多项式增长的双非线性抛物型方程α(u)/t-Δu+f(u)=g(x).利用先验估计和勒让德变换方法,当初值u0(x)∈Lr+2(Ω)时,获得了该方程解的正则性,即u(t)∈H01(Ω)∩Lq(Ω)∩H2(Ω).利用解的正则性和符号函数的性质,证明了方程弱解的唯一性.     

C~2区域上薛定谔方程解的二阶导数的估计

主要研究了C2区域上薛定谔方程解的一些性质。对于n/(n+n1)p≤1,Hapt(Ω)是C2区域Ω上的Hardy空间,f是Hapt(Ω)上的一个分布。V(x)是薛定谔方程-div(A▽u)+Vu=f的非负位势满足反Hlder条件Bn,若对x∈Ω,弱解u满足-div(A▽u)+Vu=f,并且它在边界Ω的迹γu=0,得到了u的二阶导数的Lp的可积性。     

无界区域上具有记忆项的随机波动方程的拉回吸引子的存在性

在无界区域Rn(n≤3)上研究了如下具有线性记忆项的随机波动方程的渐进行为u tt+αu t-k(0)Δu+λu+f(x,u)-∫∞0k'(s)Δu(t-s)ds=g(x)+h(x)dωdt。其中,当n=3时非线性项f具有次临界增长率,当n=1,2时f可具有任意增长率。运用解的一致估计方法在H1(Rn)×L2(Rn)×M1(Rn)上证明了对应的随机动力系统拉回吸引子的存在性。     

一类p-拉普拉斯方程解的存在性

应用山路引理及集中紧性引理研究方程-Δpu+V(x)︱u︱p-2u=μ︱u︱p*-2u+λP(x)︱u︱q-2u,x∈Ω,u︱Ω=0,pqp*非平凡解的存在性,推广了关于问题-Δu=︱u︱2*-2u+λ︱u︱q-2u,u∈H01(Ω)非平凡解的存在性的结果.     

带扰动项的临界奇异双调和方程的非平凡解

研究了一类带扰动项的临界奇异双调和方程{Δ2u-μu/|x|s=|u|2*-2u+k(x)|u|q-2u+λu,x ∈Ω,u= (e)u/(e)ν=0,x∈(e)Ω,其中ν表示边界(e)Ω的单位外法向量,2*=2N/N-4是嵌入H2(RN)→L2*(RN)的临界Sobolev指数,0≤s<4,20,λ>0为参数.利用Sobolev嵌入的最佳达到函数和精确的能量估计,运用山路引理得到了这类双调和方程非平凡解的存在性.     

R~n上具有记忆项的非自治反应扩散方程的拉回吸引子的存在性

研究了如下在无界区域Rn上具有线性记忆项和在相空间中无界的外力项的非自治反应扩散方程的解的长时间行为u/t-Δu＋λu-∫∞0k（s）Δu（t-s）ds=f（x,u）＋g（x,t）.运用一致先验估计方法证明了解的拉回渐近紧性,进而证明了方程分别在相空间X0=L2（Rn）×M0和X1=H1（Rn）×M1上的拉回吸引子的存在性.     

Lyaponov函数与方程的指数衰减性

研究了以下2类抽象发展方程解的指数衰减性.其中一类为非线性波方程utt-Δu+a∫t0g(t-τ)Δu(τ)dτ+but=u|u|p-2,另一类则为带线性记忆的双曲型方程utt+αut-k(0)Δu-∫+∞0k’(s)Δu(t-s)ds+u|u|p-2=0.利用已有的相关定理,通过构造合适的Lyaponov函数,借用一定的计算技巧从而得到以上方程解的指数衰减性结论.该结论在光学、流体力学、通信等自然科学领域具有非常重要的实际意义.     

具有奇异振动外力项的非自治修正Swift-Hohenberg方程一致吸引子的一致有界性和收敛性

考虑当ρ∈[0,1)和ε0时,具有奇异振动外力项的非自治修正Swift-Hohenberg(S-H)方程u_t+△~2u+2△u+au+b|▽u|~2+u~3=g(x,t)+ε~(-ρ)h(t/ε),和相应的ε=0时的S-H方程u_t+△~2u+2△u+au+b|▽u|~2+u~3=g(x,t),在外力项g∈L_b~2(R;L~2(Ω)),h∈L_n~2(R;L~2(Ω))的条件下,得到第一个方程一致吸引子A~ε的一致有界性;进一步当ε→0~+时,证明A~ε收敛到第二个方程的吸引子A~0.     

强阻尼粘弹性波动方程的通用吸引子的存在性

设Ω为具有光滑边界的3的有界区域.对给定的ω≥0,考虑了如下具有强阻尼项的粘弹性波动方程:utt-ωΔut-k(0)Δu-∫∞0k’(s)φ(x)Δu(t-s)ds+φ(u)=f,x∈Ω,t≥0;u(x,0)=u0(x,0),ut(x,0)=/tu0(x,0),x∈Ω;u(x,t)=0,x∈Ω,t≥0.对非线性项施加非常一般的临界增长率的条件下,在能量空间X0=D(A12)×L2(Ω)×M1中证明了上述方程的通用吸引子的存在性.     

Brinkman-Forchheimer方程的拉回D-吸引子

用条件(C)方法证明了R3中的有界开区域Ω上的Brinkman-Forchheimer方程ut=γΔu-au-b|u|u-c|u|βu-▽p+f当外力项f满足:∫-t∞eδs‖f(s)‖2ds∞时在空间L～2(Ω)和H～1o(Ω)上的拉回D-吸引子的存在性,其中0δ≤a/a+1.     

一类含有临界Sobolev-Hardy项的四阶奇异椭圆方程无穷多小解的存在性

本文研究了一类含有临界Sobolev-Hardy项的四阶奇异椭圆方程问题△2u=μ |u|2**(s)-2u/|x|s +λf(x,u),x∈Ω,u∈H2,2(Ω),N(>)5.利用变分方法和集中紧性原理,证明了该四阶奇异椭圆方程问题无穷多小解的存在性.     

带记忆的扩散方程全局吸引子的上半连续性

研究了具有衰退记忆的变参数扩散方程全局吸引子的上半连续性,运用半群理论获得了该方程当非线性项f(u)满足临界增长条件且g(x)∈H-1(Ω)时,在弱拓扑空间H10(Ω)×Lμ2(R+;H10(Ω))中解的连续性结果,从而得到了该方程全局吸引子的上半连续性结论.     

临界半线性双调和方程非平凡解的存在性

在有界光滑区域Ω?RN上研究临界半线性双调和方程Δ2u＝λu＋|u|q－2u,λ>0,u∈H0(1) (Ω)∩H2(Ω)非平凡解的存在性.利用极小极大原理和山路引理,证明方程所对应的泛函存在临界点,从而得到方程至少存在一个非平凡解的结论.     

一类带记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破时间下界估计

考虑如下具有记忆项的非线性Petrovsky方程:utt+Δ~2u-∫t0g(t-τ)Δ~2 u(x,τ)dτ+︱u_t︱~(q-2) ut=︱u︱~( p-2) u,具Dirichlet边界条件的初边值问题。当松弛函数g满足适当的条件时,该问题的解在有限时间内会爆破。进一步对解的爆破时间进行研究,给出了正的初始能量下解的爆破时间的下界估计。     

一类双调和方程的多解性

考虑以下双调和方程问题的多解性,Δ2u=λf(u)-g(x),u∈H20(Ω),其中Ω是RN中有界光滑开区域,λ∈R是参变量,g(x)为扰动项。应用临界点定理,证明了此类双调和方程至少有三个非负弱解存在。     

一类四阶抛物方程的一个非协调混合元全离散格式

借助于类Wilson元对一类四阶抛物方程提出了一个非协调混合有限元向后欧拉全离散格式。利用该元的一个特殊性质,即精确解u∈H~3(Ω)/H~4(Ω)时,其非协调误差在能量模意义下可以达到O(h2)/O(h3)阶,再结合双线性元的高精度结果,采用分裂技巧,得到了原始变量u和中间变量q=Δu的H~1模意义下具有O(h~2+τ)阶的超逼近性质,其中,h和τ分别表示空间剖分参数和时间步长。     

一类2维具有源项的抛物型Monge-Ampère方程的精确解

应用不变集方法,求解2维具有源项的抛物型Monge-Ampère方程ut=det D2u+P(u)和普遍型2维具有源项的抛物型Monge-Ampère方程ut=A(u)(uxxuyy-uxyuxy)+B(u)uxx+C(u)uyy+D(u)uxy+E(u),并对确定系数的情况,得到了方程的精确解.     

一类Kirchhoff方程解的爆破

讨论来自研究一根具有弹性的皮筋的小振幅振动的一类Kirchhoff型方程的整体解的性质。考虑了定义在具有光滑边界Ω的有界区域Ω上的Kirchhoff型方程初边值问题。utt-M(‖u‖22)Δu+δ|ut|q-1ut=μ|u|q-1u,t≥0,x∈Ω,其中δ>0,μ∈R,p>1,q<1,γ≥1;当s≥0时,M(s)是空间C1中的非负函数,且满足M(s)≡α+βsr2,其中α,β>0,γ≥2。对解的爆破结论的证明主要采用能量方法。