非局部问题在第二边界条件下解的存在性

运用变分方法和山路引理研究一类含临界项的Kirchhoff型方程在Neumann边界条件下解的存在性.首先,通过方程对应的能量泛函及解的定义获得平凡解的等价条件;其次,考虑Kirchhoff方程的特征问题,并利用反证法与Brezis-Lieb's引理证明能量泛函满足PS条件;最后,根据山路引理得到泛函的临界值,然而其临界点就是该方程的解.     

一类Choquard型方程解的存在性

运用山路引理可获得一类带消失项的Choquard型方程解的存在性,得到该方程的能量泛函并证明其具有山路引理的几何结构,还可利用相关不等式证明了能量泛函满足(PS)条件,表明能量泛函存在非平凡的临界点,从而证明该方程至少存在一个解.该结果对相关领域的数学模型提供了理论支撑.     

R~N上一类含临界指数椭圆方程的非平凡解

研究RN上一类含Sobolev-Hardy临界指数的椭圆方程,通过精确的能量估计和证明对应的能量泛函满足(PS)c条件,运用山路引理得到了这类方程非平凡解的存在性.     

一类超流体膜方程解的存在性

主要研究一类超流体膜方程的非平凡解的存在性。首先,我们主要利用变分法把偏微分方程解的问题化为相应的能量泛函的临界点问题,再利用山路引理证明方程能量泛函的临界点的存在性。     

p-Laplacian方程无穷多解的存在性

考虑了一类p—Laplacian方程的Dirichlet问题的解．在比（AR）条件更弱的条件下，先证明方程相应的泛函满足（PS）c条件，再应用山路引理得到了该问题无穷多解的存在性．     

一类含Hardy位势的椭圆方程非平凡解的存在性

通过建立新空间H,验证了问题对应的能量泛函满足(PS)条件.进一步,通过验证山路几何条件从而得到了一类含Hardy位势的椭圆问题在空间H中非平凡解的存在性.     

分数阶Laplace方程组的山路解

对一类非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题非平凡解以及正解的存在性分别进行了研究.针对非线性分数阶Laplace方程组在满足Dirichlet边值条件下所具有的特征,通过定义能量空间,然后在该空间中利用Sobolev嵌入定理、控制收敛定理、Brezis-Leb引理,证明分数阶方程组的能量泛函满足Palais-Smale紧性条件,最后利用分数阶Sobolev空间中的山路引理,得出方程组存在非平凡临界点,也即得出这类非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题存在非平凡解的结论.此外,还利用Nehari流形、极小能量法,通过比较能量法得出一类耦合的非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题存在正解需要满足的条件,进而得出这类分数阶Laplace方程组存在正解的结论.     

一类带有Hardy项的Schr?dinger-Poisson系统非平凡解的存在性

研究了?~3中有界光滑区域上的一类带有Hardy项和对数非线性项的Schr?dinger-Poisson系统非平凡解的存在性。在f满足一定条件下,结合Hardy不等式以及对数Sobolev不等式得到能量泛函的山路几何结构,通过山路定理证明了非平凡解的存在性。     

带有周期势的分数阶Schrdinger-Possion系统基态解的存在性

研究了R~3中一类带有周期势的分数阶Schrdinger-Possion系统基态解的存在性。在f(x,t)满足一定条件下,得到能量泛函的山路几何结构,结合变分方法证明了基态解的存在性。     

带有Hatree和对数非线性项的Schr?dinger方程非平凡解的存在性

为了深入阐述变号势对对数非线性项和Hatree非线性项造成的影响,利用Ekeland变分方法,将方程转化为求能量泛函的临界点,然后利用Hatree非线性项的性质和对对数非线性项的技巧性处理,证明了带变号势,对数非线性项和Hatree非线性项的Schr?dinger问题的能量泛函满足山路型结构,利用序列的有界性得到了(PS)条件。结果表明,结合山路结构,能够获得问题非平凡解的存在性。研究方法在理论证明得到了良好的预期结果,对研究带有双变号势的对数非线性项的Schr?dinger方程解的存在性具有一定的借鉴意义。     

一类非线性Schrdinger耦合系统的正解

非线性Schr?dinger方程被广泛应用于数学物理问题中的量子力学、非线性光学等领域,其中非线性Schr?dinger耦合系统已成为研究热点,对该系统优化和改进非线性项的条件和带周期函数问题是其中比较困难的部分,针对这种定义在无界区域上的耦合问题,提出了一类带多个不同周期函数的非线性Schr?dinger耦合系统方程;基于变分法和一些分析技巧,将求该类系统的解转化为求对应能量泛函的临界点问题;当该类系统满足适当条件时,可以验证其能量泛函满足山路几何结构,得到一组有界非负的(Ce)c序列,再利用集中紧性原理分两种情形得到其非平凡非负解的存在性;最后由强极大值原理获得该类系统正解的存在性,推广了已有的研究结果。     

一类带有临界Sobolev-Hardy指数的Kirchhoff方程解的存在性与多重性

利用变分原理和集中紧性原理研究一类带有临界Sobolev-Hardy指数的Kirchhoff方程.首先,通过估计该方程所对应的泛函在原点附近的局部极小值,利用Ekeland变分原理获得该方程的第一个非平凡解.随后,通过集中紧性原理证明该方程对应的泛函满足(PS)_c条件,利用山路引理获得该方程的第二个非平凡解.此外,利用极大值原理证明方程的非平凡解是正解.     

离散Kirchhoff型方程非平凡解的存在性

针对离散Kirchhoff型方程解的存在性问题,本文首先将其转化为矩阵形式,同时给出了相应的能量泛函,进而利用变分方法,将该问题的解转化为能量泛函的临界点.当非线性项满足超线性条件时,根据临界点理论中山路引理,证明了该问题至少存在一个非平凡解。     

奇异临界椭圆问题的正解

考虑奇异方程-Δpu=｜u｜r-2u+（｜u｜p(s)-2u）/（｜x｜s）+f(x,u)解的存在性,研究了其所对应的变分泛函的(P.S.)序列,给出了一个局部紧性结果,选择特殊的山路定理和能量估计,证明了方程所对应的变分泛函满足局部的(P.S.)条件时,则存在一个山路型的临界点.     

一类带有强制位势的 Klein Gordon Maxwell 系统无穷多解的存在性

在非线性项满足局部(AR)条件下,研究并证实了带有强制位势的Klein-Gordon-Maxwell系统无穷多解的存在性;证明的困难来源于该系统特有的项φ为隐函数,不能用u表示出来,利用引理和分析的一些技巧,克服了这一困难;最后基于变分原理,证明了带有强制位势的该系统具有山路几何结构和满足(PS)条件;再结合对称山路引理,获得了该系统无穷多解的存在性结果。     

没有P S条件的山路引理

本文研究了没有Palais-Smale条件的山路引理．对于不满足Palais-Smale条件的泛函．得到了渐近临界点的存在性，推广了古典的山路引理．本文还提供了更弱条件下的山路引理的新的证明．     

一类带临界指数的Schr?dinger耦合系统的正基态解

非线性Schr9dinger耦合系统已成为研究热点,该类系统被广泛应用于数学物理问题中的量子力学、非线性光学等领域。基于Ekeland变分原理和一些分析技巧,研究了一类带临界指数的非线性Schr9dinger耦合系统正基态解的存在性,对定义在无界域上与含有临界指数的耦合问题是其中比较困难的部分。首先,建立变分框架与定义Nehari流形和最低能量值,将求该类系统的解转化为求对应能量泛函的临界点。然后,当系统满足一定条件时,验证能量泛函满足山路几何结构,并估计能量值的取值范围。最后,利用集中紧性原理分两种情形得到该类系统非平凡基态解的存在性,同时获得的基态解可以是正基态解,推广了已有的研究结果。     

Heisenberg群上拟线性次椭圆方程无穷多解的存在性

研究了加权Sobolev空间上拟线性次椭圆偏微分方程解的存在性,这里方程的非线性项是奇的,在较弱的条件下,证明方程所对应的泛函满足Cerami条件,进而应用Bartsch的喷泉定理,得到了方程无穷多个大能量解的存在性。     

发展型p-Laplace方程边界最优控制的存在性

通过对成本泛函的极小化序列取极限给出发展型p-Laplace方程初边值问题最优控制函数的存在性.先用能量估计方法研究该问题解的存在唯一性,再用紧性估计和紧嵌入定理分析成本泛函极小化序列的收敛性,最后证明最优控制函数的存在性.     

退化非线性椭圆方程Dirichlet问题解的存在性

本文利用山路引理在加权的索伯列夫空间讨论一类退化非线性椭圆方程Dirichlet问题的非平凡解的存在性;我们还利用Pohozeav恒等式证明在一定条件下该方程不存在非平凡解。