关于QF－1环的若干性质

Ｖ．Ｐ．Ｃａｍｉｌｌｏ证明了如果Ｊ（Ｒ）是有限生成，则交换内射的ＱＦ－１环是ＰＦ环。但对于一般情况，这还是一个未解决的问题。本文取消Ｊ（Ｒ）是有限生成的条件，在其它条件下，比如Ｊ（Ｒ）是诣零且Ｊ／Ｊ２有限生成的条件，也证明了交换内射的ＱＦ－１环是ＰＦ环。同时，在挠理论下讨论了右ＱＦ－１环与ＱＦ－１分式环的关系。     

Excellent扩张与Smach积

设Ｒ是有单位元的环，Ｓ是Ｒ的Ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ扩张，Ｇ是有限群且｜Ｇ｜￣（－１）∈Ｒ．证明了Ｒ是右余半遗传环（ＱＦ－３环，ＧＶ－环）当且仅当Ｓ是右余半遗传环（ＱＦ－３环，ＧＶ－环），也当且仅当Ｓｍａｃｈ积Ｒ＃Ｇ是右余半遗传环（ＱＦ－３环，ＧＶ－环）．     

ZIF环上有限生成投射模的自同态环

令ＰＲ是环Ｒ的有限生成投射模，Ｐ＾＋＝ＨｏｍＲ（Ｐ，Ｒ），Ｓ＝Ｅｎｄ（ＰＲ），则可得到，如果Ｒ是一个左ＺＩＦ环，ｓＰＲ是Ｓ－有限表现的（Ｒ，Ｓ）内射子，那么，Ｓ工ＺＩＦ环，此外，还探讨了内射子，平坦子的一些性质。     

AP-内射环与正则环

本文的主要目的是人出右ＡＰ－内射环与正则环的一些联系以及ＡＰ－内射环满足一定条件下是Ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ正则环。（１）设Ｒ是非奇异右ＡＰ－内射环。如果Ｒ满足ＷＳＲＡ升链条件,那么Ｒ是正则环。（２）如果Ｒ是非奇异右ＡＰ－内射环,且满足右有限维数,那么Ｒ是正则环。（３）设Ｒ是右ＡＰ－内射环,如果Ｒ是约化环,那么Ｒ是强正则环。     

关于左连续环的若干性质

本文的目的是讨论左连续环Ｒ何时成为ＱＦ环,同时给出环Ｒ与全矩阵环（Ｒ）,之间互为左连续环的一个刻划,主要结果有：（１）设Ｒ是左连续环和左弱内射环,对于任意集Ａ,Ｒ＾Ａ是左投射模,则Ｒ是ＱＦ环;（２）设Ｒ是环,Ｒ（Ｒ⊙Ｒ）是一个左ＣＳ模,则Ｒ是左连续环当且仅当全矩阵环（Ｒ）,是左连续环,对每个ｎ≥１。     

关于平坦性和内射性的一个注记

设Ｒ→Ａ是环同态，本文得到如下如果：①基Ｒ是交换环，Ａ是右Ａ－模范畴的上生成子，则Ａ为平坦Ｒ－模的充要条件是Ａ为ＦＰ－内射Ｒ－模；②若Ｒ是右凝聚环Ａ是ＦＰ－内射环，则Ａ为平坦左Ｒ－模的充要条件是Ａ为ＦＰ－内射右Ｒ－模。     

关于正则环的几点注记

环Ｒ称为左（右）ＳＦ）环，如果所有单左（右）Ｒ－模是平坦的。环Ｒ称为Ｉ－环，如果Ｒ的每个非零左理想含有非零幂等元。在本文中，我们证明了如下主要结果：（一）对于环Ｒ，如下条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环县Ｒ／Ｚ（ＲＲ）是Ａｒｔｉｎ单环；（３）Ｒ是左非奇异的，左ＳＦ－环县ＲＲ具有有限秩；（４）Ｒ是正交有限的Ｉ－环。（二）Ｒ是基层不为零的正则左自内射环当县仅当Ｒ是包含非奇异     

张量积的有限呈现维数

文献［１］中定义了交换环上的有限呈现维数，本文在非交换环下讨论它的有限呈现维数，并证明了：（１）若Ｒ与Ｓ均是Ｋ─代数，若Ｓ是忠实Ｋ─平坦的，则有ｌ．ＦＤ（ＲＫＳ）≥ｌ．ＦＤ（Ｓ）．（２）若Ｋ是交换环，Ｒ、Ｓ均是Ｋ─代数，且Ｒ、Ｓ均是忠实平坦的Ｋ─模，ＲＫＳ是左凝聚环，则Ｒ、Ｓ均为左凝聚环。     

含内射极大左理想的左遗传环

证明了Ｒ是含内射极大左理想的遗传环当且仅当Ｒ是如下形式之一的环：（１）Ｒ是半单Ａｒｔｉｎ环；（２）Ｒ环同构于形式三角矩阵环，其中Ａ，Ｂ，Ｃ满足下列条件；（３）Ａ是左遗传，ＢＡ平坦．（４）Ｃ是除环，ＣＢ内射，（５）ａｎｎ（ＢＡ）是内射左Ａ－模，并且Ａ／ａｎｎ（ＢＡ）典范同构于自同态环Ｅｎｄ（ＣＢ）。     

右Duo 环的一些注记

证明了右Ｄｕｏ 环有右Ａｒｔｉｎｉａｎ （Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ）经典分式环当且仅当该环是一个右Δ（Σ）－环,从而推广了Ｉ． Ｂｅｃｋ 和Ｃ． Ｆａｉｔｈ 在交换环上的著名的定理;证明了在右Ｄｕｏ 环上所有单右内射模都是Σ－内射模．     

蕴涵环交换性的某些多项恒等式

设ｍ＞１，ｎ，ｐ，ｑ，ｒ，ｓ均为正整数，Ｒ是一个具有单位元１的环．证明了：如果Ｒ中的任意ｘ，ｙ满足且Ｒ具有Ｑ（ｍ）性质，则Ｒ是一个交换环．此外，在适当的条件下确立了Ｒ的交换性．     

关于P-内射环

假定Ｒ和Ｔ均是环,Ｍ是（Ｒ,Ｔ）－双模且ＭＴ是忠实的,利用双模ＲＭＴ来研究Ｔ的Ｐ－内射性,证明了如下结果：环Ｔ是右Ｐ－内射的当且仅当对于任意ｔ∈Ｔ有Ｍｔ＝（（Ｍｔ）Ｃ）Ｓ和Ｔｔ＝（Ｍｔ：Ｍ）Ｔ;环Ｔ是左Ｐ－内射的当且仅当对于任意ｔ∈Ｔ有ｌＭ（ｔ）＝（（ｌＭ（ｔ））Ｓ）Ｃ和ｔＴ＝ｒＴｌＭ（ｔ）．     

关于Grothendieck群的一些结果

我们首先证明了Ｒ［［ｘ１，…，ｘｎ］］上有限生成的投射模为自由的当且仅当Ｒ上有限生成投射模为自由的．其次我们给出了Ｋ０ＥｎｄＲＰ的若干结果，证明了：如果Ｐ－模范畴存在半局部的生成了，则存在ｎ＞０，使得Ｋ０Ｒ≈Ｚｎ，从而推广了半局部环上结论．最后得到了Ｒ为Ｈｅｒｍｉｔｅ环当且仅当存在伴随等价＜Ｆ，Ｇ，＞：ｆ．ｇ．ＳＦＲｍ→ｆ．ｇ．ＦＲｍ．从而给出了Ｈｅｒｍｉｔｅ环的范畴形式，为用范畴方法处理Ｈｅｒｍｉｔｅ环提供了一种新的工具．     

关于P—内射环

假定Ｒ和Ｔ均是环,Ｍ是（Ｒ,Ｔ）－双模且ＭＴ是忠实的,利用双模ＲＭＴ来研究Ｔ的Ｐ－内射性,证明了如下结果：环Ｔ是右Ｐ－内射的当且仅当对于任意ｔ∈Ｔ有Ｍｔ＝（Ｍｔ）＾ｃ）＾ｓ和Ｔｔ＝（Ｍｔ：Ｍ）Ｔ;环Ｔ是左Ｐ－内射的当且仅当时于任意ｔ∈Ｔ有ｌＭ（ｔ）＝（（ｌＭ（ｔ）＾ｓ）ｃ和ｔＴ＝ｒＴｌＭ（ｔ）。     

弱正则环和非奇异环

讨论弱正则环成为右非奇异环的若干条件,指出ＭＥＲＴ环上每个奇异单右Ｒ－模是ＹＪ内射模时,Ｒ为右非奇异环;同时给出一个环成为弱正则环的条件,证明了每个单右Ｒ－模是ｐ－内射模时,Ｒ为弱正则环。     

半遗传环上的群环

研究了半遗传环上群环上的投射棋的结构，证明了：（１）设Ｒ为下列环之一：（ａ）半遗传局部环；（ｂ）零维环，ｂ为有限生成的Ａｂｅｌ群，且满足下列条件之一：（ｃ）｜ＴｏｒＧ｜∈Ｕ（Ｒ）；（ｄ）ｃｈａｒＲ＝Ｐｓ（ｓ≥１），则Ｋ。ＲＧ为无挠群．（２）设Ｒ为半遗传环且ｃｈａｒＲ≠０，Ｑ为有限生成的Ａｂｅｌ群，则Ｋ。ＲＧ为挠群当且仅当Ｋ。Ｒ为挠群且如果Ｇ有素数Ｐ阶元，则ＰＵ（Ｒ）。     

自内射环族的矩阵环

主要证明以下结论：（１）若｛фαβα│α,β∈Ｂ｝是右忠实的双模同态族,则Ｒ是局部左自内射环当且仅当｛Ｒα｝α∈Ａ是左自内射环族且对任意α,β∈Ａ,μαβ：Ｒαβ→ＨｏｍＲβ（Ｒβα,Ｒβ）是同构当且仅当对Ａ的任意非空有限子集Ｂ,作为左ｅＢＲｅＢ－模,有ｅＢＲｅＢ≌ｅＢＥ＾～（Ｒ）ｅＢ;（２）若｛фαβα│α,β∈Ａ｝是右忠实的双模同态族,｛фββγ│β,γ∈Ａ｝是左忠实的双模同态族,则Ｒ是局部左     

用有限内射模对Noether环的一个刻划

利用有限内射模给出了Ｎｏｅｔｈｅｒ环的一个新的刻划，证明了一个有单位元的环Ｒ是左Ｎｏｅｔｈｅｒ环的充分必要条件是每个有限内射左Ｒ－模是内射模。     

正则环与YJ内射模

借助ＹＪ内射模刻画了正则环,在Ｒ满足元素右零因子幂条件下,环Ｒ为正则环当且仅当每个循环右Ｒ－模为ＹＪ内射模仅当环Ｒ的每个本质右理想为ＹＪ内射模;另一方面,当Ｒ满足特殊右零化子升链条件时,Ｒ为正则环当且仅当Ｒ为半本原右ＹＪ内射环当且仅当Ｒ为右非奇异右ＹＪ内射环。     

环论中Faith三大猜测的进展

环论中的Faith三大猜测（FGF猜测、Faith-Menal猜测和Faith猜测）是指FGF－环、强右Johns环以及左完全右内射环均为QF环，其中R是右FGF－环指任一个有限生成右R－模或嵌入自由模的环，强右Jonhs环是指右Norther左FP－内射环，本文介绍了Faith三大猜测的历史背景及最新进展，给出了右CF－环及右Jonhs环为右Artin环的条件，提出了与三大猜测有关的一些公开问题。