一组重要不等式的微分证明

一组重要的平均值不等式：构造辅助函数f（x）=2x2－2（a＋b）x＋2（a2＋b2－ab）可证明不等式，受此启发，本文采用构造辅助函数，以微分为工具，来证明这组重要不等式。这里用高等数学方法证明初等数学问题，可能对师范院校学生和中学数学教师均有所启示。先证明不等式为函数的极小值点。下面用数学归纳法证明函数f（x）≥0（X＞0）n。l时，f（）一x’一Zalx＋ZaZ－aZ一（x－al）’＞0假设n一及时，f（）＞0，即有：将x—a。。；代入上式得由（2）式知当n—k＋1时，函数的最小值为非负数，故n—k＋l时，f（）＞0所以．对一切自然数n均有…     

偶圈的Tur(a)n数和Wenger图

设G是一个图，G的Turan数记作ex（n；G），是指阶数为n的不含G作为子图的图的最大边数．根据Erdos在1965年给出的偶圈C2m的Turan数ex（n；C2m）的上界10mn^1＋1/m和Wenger在1991年构造的偶图Hm（q），并由这种图得到的ex（n；C2m）（m=2，3，5）的下界cn^1＋1/m（其中c为一个与n无关的常数），可以知道，当n→＋∞时，ex（n；C2m）=O（n^1＋1/m）（m=2，3，5）．n^1＋1/m就是ex（n；C2m）的准确阶．给出了Wenger图Hm（q）的一些一般性质，并分别构造了Hm（q）中长为8的圈（m≥4）和Hm（q）中长为12的圈（m≥6），从而证明了不可能由图Hm（q）得到ex（n；C2m）的所有准确阶．     

关于边数q ≥ Cp-12-2的(p,q)图的泛圈性研究

应用图包装的理论和方法研究n（n≥5）阶（p,q）图的泛圈性,得到当q≥C2p-1-2时是泛圈图的充要条件是：（1）G不为C2,8,C3,8,C4,9,K2∨（K1＋K2,2）,K1＋K2,4;（2）G不为C1,n,C3,7,C2,7,C2,6,C2,5,2K3,K2＋K3,K1＋K2,3和C4＋K1及其支撑子图.     

康托集的同胚映射欧氏空间的连续映射

康托集分解为2^n个分离闭子集C=C1∪C2∪…C2n,则存在f：C→C满足,同胚映射f：Ci→C2n-1＋ix〈Y∈Ci,f（x）〈f（y）或x〈y x∈Ci y∈Ci,f（x）〉,f（y）i=1,2…2^n-1 f：C2n-1＋j→Cj x〈y x∈C2n-1＋j y∈C2^n-1＋j f（x）〈f（y）或f（x）〉f（y）j=1,2…2^n-1,f ：E^n→E^n,n〉m≥1 f连续映射．至少有不可数多个反极点Pα—Pα α∈A A不可数．f（Pα）=f（-Pα）．     

广义渐近拟非扩张型映象不动点的逼近

本文讨论了Banach空间中非空闭凸子集上的广义渐近拟非扩张型映象的迭代逼近问题,给出了具误差的修改的Ishikawa迭代序列{xn}强收敛到广义渐近拟非扩张型映象T不动点的充要条件：设E是Banach空间,C是E中的非空闭凸子集,T∶C→C是广义渐近拟非扩张型映象,其渐近系数kn满足∑∞n=1（kn-1）〈∞,又设F（T）有界,且T在F（T）中的点处一致连续。任取一点x0∈C,{xn}是根据xn＋1=αnxn＋βnTnyn＋γnunyn=ξnxn＋ηnTnxn＋δnvn定义的具误差的修改的Ishikawa迭代得到的,其中{un},{vn}是C中的两个有界点列,{αn},{βn},{γn},{ξn},{ηn},{δn}是[0,1]中的6个数列且满足αn＋βn＋γn=1,ξn＋ηn＋δn=1,∑∞n=1βn〈＋∞,∑∞n=1γn〈＋∞。则{xn}强收敛于T的不动点的充要条件是limn→∞infd（xn,F（T））=0,其中d（x,A）为x到集合A的距离。本文的结果推广改进了文献[1-7]中的结论。     

变分不等式的新的外梯度方法

本文引入了一个新的求解非扩张映射的不动点集和具有单调及Lipschitz连续映射的变分不等式的解集的公共元素的近似算法。这一算法是建立在外梯度方法和粘性逼近方法基础上的。在Hilbert空间上得到了这一算法产生序列的强收敛性定理。其内容如下：设C是实Hilbert空间H中的非空闭凸集,映射A：C→H是单调和k-Lipschitz连续的,S：C→H是非扩张映射满足Fix（S）∩VI（C,A）≠Ф,其中Fix（S）和VI（C,A）分别是S的不动点集和变分不等式的解集f：H→H是压缩映射,序列{xn}和{γn}由下列算法产生的：{x1=x∈C γn=Pc（xn-γnAxn） xn＋1=αnf（xn）＋βnxn＋（1-αn-βn）SPc（xn-γnAγn）,n=1,2,…,其中{γ},{αn}和{βn}是满足条件limαn n→∞=0和∑n=1^∞αn=∞,1〉lim n→∞ sup βn≥lim n→∞ inf βn〉0和limγn n→∞=0的数列,则{xn}和{yn}强收敛到w=PFix（S）∩VI（C,A）f（w）,这里PFix（S）∩VI（C,A）f（w）表示f（w）在Fix（S）∩VI（C,A）上的投影。本文结果推广了文献中的一些著名结果。     

一类时滞微分方程正解的存在性

研究一类一阶非线性时滞微分方程，x′（t）＋a（r）f（x（t））＋p（t）g（x（t））h（x（t-τ1（t）），x（t-τ2（t）），…，x（t-τn（t）））=0，其中，a,p，τj∈C（R^＋，R^＋），limt→＋∞（t-τ1（t））=＋∞，j=1，2，…，n，f，g∈C（R，R），获得了其存在正解的充分条件。     

非连通图Gn-1k∪i=0C3i（2n＋1）的优美性

证明了当自然数n≥2时,非连通图Gn-1k∪i=0 C3i（2n＋1）是优美图,其中C3i（2n＋1）是有3i（2n＋1）个顶点的圈（i为自然数）,Gn-1是任意一个有n-1条边的优美图.     

关于数论函数δ(n)的一个方程

对于正整数n，设δ（n）是n的不同约数之和．该文证明了：方程δ（1）δ（n）＋δ（2）δ（n-1）＋…＋δ（n）δ（1）=nδ（n）仅有正整数解n=1和2.     

关于指数Diophantine方程(n+1)x+(n+1)y=nz

设n是正整数，本文运用初等方法证明了：方程（n＋1）^x＋（n＋1）^y=n^z没有适合x〉1的正整数解（x，y，x）．     

具有Beddington—DeAngelis功能性反应的三维离散顺环捕食系统的持久性

研究一类具有Beddington—DeAngelis功能性反应的三维顺环捕食系统的持久性问题。首先，建立具有B-D功能性反应的三维顺环捕食系统的半离散化数学模型，具体为{x1（n＋1）=x1（n）exp{[r1（n）-a1（n）x1（n）-b1（n）x2（n）/c1（n）＋d1（n）x2（n）＋x1（n）＋k3（n）＋b3（n）x3（n）/c3（n）d3（n）x1（n）＋x3（n）]} x2（n＋1）=x2（n）exp{[r2（n）-a2（n）x2（n）-b2（n）x3（n）/c2（n）＋d2（n）x3（n）＋x2（n）＋k1（n）＋b1（n）x1（n）/c1（n）d1（n）x2（n）＋x1（n）]}。x3（n＋1）=x3（n）exp{[r3（n）-a3（n）x3（n）-b3（n）x1（n）/c3（n）＋d3（n）x1（n）＋x3（n）＋k2（n）＋b2（n）x2（n）/c2（n）d2（n）x3（n）＋x2（n）]}。然后，利用不等式技巧，得到系统永久持续生存性的一个充分条件，即：假设条件r1^Lc1^L〉b1^UM2,r2^Lc2^L〉b2^UM3,r3^Lc3^L〉b3^UM1成立，则此半离散化三维顺环捕食系统是永久持续生存的，其中M1=max{r1^U＋k3^Ub3^U/a1^L,exp（r1^U-1＋k3^Ub3^U）/a1^L},M2=max{r2^U＋k1^Ub1^U/a2^L,exp（r2^U-1＋k1^Ub1^U）/a2^L},M3=max{r3^U＋k2^Ub2^U/a3^L,exp（r3^U-1＋k2^Ub2^U）/a3^L}均为正常数。所获得结论将连续情形推广到了半离散化模型。     

一个包含Smarandache原函数与一类自然数乘积之和的方程

设p为素数,n为任意正整数,我们定义Smarandache原函数Sp（n）为最小的正整数k,使得pn｜k!,即Sp（n）=m in{k：k∈N,pn｜k!}。利用初等数论方法研究了方程Sp（1×2）＋Sp（2×3）＋…Sp（n（n＋1））=Sp（n（n＋1）（n＋2）/3）的可解性,并给出了这个方程的所有正整数解。     

乙醚与丙酮燃烧反应机理

利用公式△H=-0．1196n／A计算了乙醚和丙酮分别在氧气和空气中燃烧反应的温度,并推测了乙醚和丙酮燃烧反应的机理．乙醚在氧气中燃烧反应的火焰温度理论值为3272K,与测定温度3134K接近,误差为4．40％．丙酮在空气中燃烧反应的火焰温度理论值为1292K,与测定温度173K接近,误差为1．49％．根据乙醚和丙酮燃烧反应的火焰温度,推测乙醚和丙酮燃烧反应机理为：（1）O2＋hv→2O·;（2）（C2H5）2O→4C＋4H2＋H2O（乙醚）,CH3COCH3→3C＋2H2＋H2O（丙酮）;（3）H2＋O·→H2O＋hv;（4）C＋O·→CO＋hv;（5）2CO＋O2→2CO2．     

混凝土配合比设计中应注意的几个问题

混凝土配合比设计计算：fcu，o-fcu，k＋tx6，W／C=（αa×fce）／（fcu，o＋αa×db×fce），Mco=Mwo／（W／C），Mco＋Mgo＋Mso＋Mwo=Mcp，βs=Mso／（Mgo＋Mso）x100％，计算配合比为Mco：Mso：Mgo：Mwo。混凝土计算配合比的试配，混凝土配合比的调整与确定。     

一次不定方程（n≥3）的弱型Frobenius问题

对n元一次不定方程（n≥3）的弱型Frobenius问题进行讨论，推广了三元线性型bcx＋cay＋abz，x≥1，y≥0，z≥0的最大不可表出数，这里a,b，C为正整数，且（a,b）=（b，c）=（c，a）=1．     

离散的Logistic方程渐近概周期解及其性质

得到了下列离散系统x（n＋1）：α（n）x（n）/1＋β（n）x（n）全局吸引的正的渐近概周期解的存在性的充分条件。这里，α（n）、β（n）都是渐近概周期序列。     

石墨炉原子光谱法对人参中铅、镉的检测方法研究

目的：探索简便快速准确检测人参中铅、镉的方法。方法：以磷酸盐为基体改进剂,采用加石墨炉原子吸收光谱法测定人参中的铅、镉。结果：方法学考察得铅标准曲线方程A=0.0009C＋0.0006,r=0.9995;镉标准曲线方程A=0.0618C＋0.4138,r=0.9994。铅平均回收率为100.98,RSD为1.99%（n=6）,镉平均回收率为105.27,RSD为1.49%（n=6）。结论：该方法具有操作简单,灵敏度高,准确度高等优点,可广泛应用于中药材中铅和镉的测定。     

含氧亚甲基联苯液晶的合成及介晶性

报道了3个系列含氧亚甲基酯的化合物：H2n＋1CnOC6H4C6H4OCH2C6H4CO2-CmH1m＋1（系列A），H2m＋1Cm-O2 CC6H4CH2-OC6H4C6H4O-CH2C6H4CO2-CmH2m＋1（系列B），H2m＋1Cm-O2CC6H4CH2-OC6H4O-CH2C6-H4CO2-CmH2m＋1（系列C），n=8，12，16；m=6，12，14，16．通过差示扫描量热法（DSC）和偏光显微镜（POM）对其介晶性研究发现，除化合物C-14和C-16外，这些化合物都具有介晶性．m相同时，系列B化合物比相对应的系列A化合物有更高的清亮点；系列B化合物比系列C有更高清亮点和更宽的介晶相温度范围．     

关于由Paley矩阵构造的码

从n阶Paley矩阵S出发,可以构造一个码C,它含有码字0＝（0,0,…,0）,1＝（1,1,…,1）以及矩阵（S＋I＋J）／2和（－S＋I＋J）的全部行向量,其中n是奇素数的方幂,I和J分别是单位矩阵和全1矩阵,证明了当n＝1（mode4）时,C是（n,2(n 1),(n-1)/2)码;而当n=3(mod4)时,C是（n,2(n 1),(n-3)/2)码。     

水化硅酸钙形成过程中对Cd(Ⅱ)、Zn(Ⅱ)的俘获作用

利用分析纯CaO,H2SiO3和Cd（NO3）：·4H2OE或Zn（NO3）2]在液相中人工合成n（Ca）／n（si）为1．6和0．7的2种含Cd（Ⅱ）或含Zn（Ⅱ）的水化硅酸钙（C—s—H）,研究C—S—H在形成过程中对Cd（Ⅱ）或Zn（Ⅱ）的俘获情况。结果表明,2种n（Ca）／n（Si）的C—S—H在俘获Cd（Ⅱ）后,其XRD图谱均发生明显的变化,特别是在ca”量不足[n（Ca）／n（si）=0．7]的情况下,其晶格参数的变化较大,其特征峰无论是峰值还是峰位均发生了明显改变,表明有Cd2＋替代ca2＋进入了C—S—H晶体。2种n（Ca）／n（Si）比值的C—S—H在俘获Zn（Ⅱ）后,其XRD图谱变化很微弱,仅特征峰的峰值稍有改变,但是这也显示出Zn（Ⅱ）进入了C—S—H晶体。C—S—H均能对Cd（Ⅱ）、Zn（Ⅱ）予以化学俘获。