一类包含Smarandache函数方程φ（n）=S（n^10）

利用初等数论、组合分析以及C＋＋程序对方程φ（n）=S（n^10）进行讨论,证明了该方程仅有正整数解n=1,这里对于任意正整数n,φ（n）和S（n）分别表示关于n的Euler函数和Smaran-dache函数。     

一个包含F．Smarandache函数的复合函数

对任意正整数n,著名的F．Smarandache LCM函数SL（n）定义为最小的正整数七,使得n｜[1,2…,k],其中,n｜[1,2…,k]表示1,2,…,k的最小公倍数。而函数Z（n）定义为最小的正整数k,使得n≤k（k＋1）/2,即Z（n）=min｜k：n≤k（k＋1）/2｜,主要目的是利用初等及解析方法研究复合函数乩（Z（n））的均值性质,得到了一个有趣的渐近公式。     

关于一类不定方程的正整数解数

证明了正整数n分为m部分互不相同的无序分拆数Q（n,m）是不定方程x1＋2x2＋…＋mxm=n的正整数解数;利用将正整数n分为m部分的无序分拆数P（n,m）与Q（n,m）的关系,以及已有的P（n,4）的显表达式和关于不定方程x1＋2x2＋…＋5x5=n的非负整数解数A（n,5）的显表达式,给出了Q（n,4）与Q（n,5）的显式表达式.从而给出了不定方程x1＋2x2＋3x3＋4x4=n和x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5=n的正整数解数的显表达式.     

关于Diophantine方程n^x＋（n＋1）=（n＋2）^z

证明了方程n^x＋（n＋1）=（n＋2）^z没有正整数解（x,z）,其中n是大于1的正整数．     

关于Diophantine方程nx+(n+1)=(n+2)z

证明了方程n^x＋（n＋1）=（n＋2）^z没有正整数解（x,z）,其中n是大于1的正整数．     

关于Smarandache函数的复合函数的均值

对任意的正整数n,定义数论函数W（n）为最小的正整数k,使得n≤k（3k＋1）,即（）W（n）=min{k：n≤k（3k＋1）,k∈N}.利用初等及解析的方法研究复合函数S（W（n））的均值分布,并获得了较强的均值分布的渐近公式.     

一个包含Smarandache原函数与一类自然数乘积之和的方程

设p为素数,n为任意正整数,我们定义Smarandache原函数Sp（n）为最小的正整数k,使得pn｜k!,即Sp（n）=m in{k：k∈N,pn｜k!}。利用初等数论方法研究了方程Sp（1×2）＋Sp（2×3）＋…Sp（n（n＋1））=Sp（n（n＋1）（n＋2）/3）的可解性,并给出了这个方程的所有正整数解。     

一个包含伪F.Smarandache函数的对偶的方程

对任意正整数n,伪F.Smarandache函数的对偶Z（n）定义为最大的正整数m使得（m（m＋1））/2.利用初等方法研究一类包含伪F.Smarandache函数的对偶的方程的可解性,即一定存在正整数n满足方程∑d｜nZ（d）=Ф（n）并获得了给定方程的部分正整数解.     

形如x2x+y2x的孤立数

对于正整数n,设δ（n）是n的约数之和.设x,y是适合x>y以及gcd（x,y）=1的正整数,a=x^2x+y^2x.证明了如果xy是奇数,则不存在正奇数b可使δ（a）=δ（b）=a+b.     

一个新的复合函数及其均值

对任意给定的正整数k,定义函数δk（n）=max{d：d│n,（d,k）=1}.同时,对任意整数q,定义m次补数数列bm（n）为使bm（n）n=q^m成立的最小整数.文章用解析的方法研究了复合函数δk（bm（n））的均值性质,并给出了一个渐近公式.     

关于F.Smarandache函数的一个方程

对于正整数n,著名的F.Smarandache函数S（n）定义为最小的正整数m,使得n｜m!。本文采用初等方法证明了方程S（n）h＋S（n）=kn,在k为任意的正整数,h为大于等于2的时候,有无限个正整数解,并给出了解的形式。     

p次幂原数函数Sp（n）和它的均值性质

设p为素数,n为任意的正整数,我们定义p的原数函数为最小的正整数m,使得pn｜m!即就是SP（n）=min{m∶pn｜m!},其中p为素数.本文研究了这一类Smarandache数论函数p次幂原数函数Sp（n）的均值性质,并给出关于｜Sp（k（n＋1））-Sp（kn）｜和｜Sp（k（n＋1））-Sp（kn）｜2的渐近公式.     

关于函数σ（n）的问题

利用计算机对满足等式σ（n）=σ（n＋1）的正整数n,n＋1进行求解,并对所得的数据进行分析,提出了有关该等式的一个问题.     

关于Diophantine方程(axm+1)/(ax+1)=yn+1

设a,m是大于1的正整数.该文证明了：当m＞2时,方程（ax^m＋1）/（ax＋1）=y^n＋1仅有有限多组正整数解（x,y,n）适合min（x,y,n）＞1,而且这些解都满足y6n＜x^m-1≤a^m2-3m＋2.     

关于数论函数δ(n)的一个不等式

对于正整数n，设δ（ｎ）是n的不同约数之和.证明了：存在无穷多个正整数n，可使δ（ｎ）／ｎ＞（ｄ（ａ０）＋ｄ（ａ１）＋…＋ｄ（ａｋ））／（ｋ＋１），其中ai(i=0,1,…,k)是n的十进制表示中的所有数位上的数字，d(ai)(i=0,1,…,k)是ai的除数函数.     

关于指数Diophantine方程(n+1)x+(n+1)y=nz

设n是正整数，本文运用初等方法证明了：方程（n＋1）^x＋（n＋1）^y=n^z没有适合x〉1的正整数解（x，y，x）．     

与微分多项式相关的亚纯函数的正规族

设R为区域D上的一族亚纯函数，n，k（n≥k＋1）均为正整数，b为一有限非零复数，a0（z），a1（z）,……，ak-1（z）为D上的全纯函数，若对R中的任意函数f，f在D内的零点重数至少为n，f的极点重数至少为2，且L∽=b＝〉f=b，其中L∽（z）=f^（k）（z）＋k-1∑i=0ai（z）f^（i）（z），则R在D内正规．     

三阶线性中立型时滞差分方程非振动解的存在性

考虑具有正负系数的三阶中立型时滞差分方程 Δ^3[x（n）＋px（n-τ）]＋R1（n）x（n-δ1）-R2（n）x（n-δ2）=0 这里p∈R；τ∈N（1）；δ1，δ2∈N；{R1（n）），（R2（n））是正实数序列。得到了上述方程在条件∑n=1^xn^2R1（n）〈＋∞，i=1，2，n∈N（n0）之下最终正解的存在的一个充分条件。这个结果去掉了现有文献中一个相当强的假设，改进了其中的相关定理。     

关于数论函数方程ωЧ（Ч（n））=2ω（n）的可解性问题研究

对任意的正整数n,函数Ч（n）为著名的Euler函数,即在序列1,2,．．．,n-1,n中与n互质的整数的个数;函数ω（n）表示任意正整数n的所有不同质因数的个数。文章利用初等方法研究了Ч（Ч（n））=2ω（n）方程的可解性,并给出了该方程的全部正整数解。     

关于约数和的一个不等式

对于正整数k和n设δ(k)是k的不同约数之和,f(n)=δ(1)+δ(2)+…+δ(n).证明了:存在无穷多个正整数n,使得δ(f(n))≥n(n+1).