非自治微分方程系的渐近稳定的条件

1、引言:我们知道就常系数线性微分方程系(式中x是n维向量,A是n×n方阵,)论,它的显易解的稳定性,完全由方阵A的特征根的实部分来确定.可是寸于一般交系数的线性微分方程系(l)它的解的性质与系数方阵A(t)有什么血统关系,迄今尚未探索清楚,据作者所知道的,会指出,当A(t)的特征根的实部分很小时,那末(1)式的显易解是渐近稳定的.可是他的证明是有错误的.1961年,Hale和Stokes[2]*举出反例,指出 的估计不正确.他们指出,只要(1)式中n=2,有界,A(t)的特征根实部分,则将有天界解出现 从这例假子可以看出(1)的解与系数的关系颇为复什,跟常系数线性微…     

近似线性微分方程系的殆周期解

§1.小引 近似线性微分方程系为:(1) dx/dt=Ax+f(x,t)或更一般情况(2) dx/dt=A(t)x+f(x,t)其中(i)A是n阶常方阵,而A(t)是n阵方阵且为t的连续函数.     

某些类型的线性微分方程系的解跟系数的关系

§1.小引.线性微分方程系解的渐近性态跟它的系数关系如何,迄今为止,还是不知道的。这问题不仅是微分方程式论中的一个难题,同时也是一个重要的问题,甚至这问题对周期线性微分方程系,也没有得到解决.对于周期线性微分方程系其中A(t)为定义在实轴上的周期和连续的n阶方阵,它的周期为　,那末存在属于c(1)的n阶正则方阵p(t)=p(T t),当(1.1)施行变换y=p(t)x,可使(1.1)的变换后式子写为其中B为常数方阵,这就是平常所说的Floquet理论.对于常系数的线性微分方程系的显易解的稳定性跟它的系数关系如何,为众所周知的事,现在尽管在理论上可以把(1.1)…     

n维系统周期解的区域定理

§1.引言本文讨论向量微分方程(dx/dt)=A(t)x g(t,x)(1)的周期解。其中A(t)是n×n矩阵,关于t∈E′连续且A(t ω)=A(t);(1)的简略方程(dx/dt)=A(t)x(2)没有非平凡ω周期解;对于(t,x)∈E′×E(?),函数g(t,x)连续且关于x满足局部李氏(Lipshitz)条件。     

近乎线性微分方程系的渐近公式

考虑微分方程系(1) dx/dt=Ax+f(x,t),||x||<∝,0≤t<∝.这里假定(1)式满足下面的要求:(i)A是常数方阵.f(x,t)是(x,t)的连续函数.     

关于方程sum from j=0 to (n-1)(x+jr)~t=(x+nr)~t

V.A.Lebesque1 曾经证明方程 在t=3时,仅有正整数解n=3,x=3r。本文证明了方程(1)在4≤t≤10时无正整数解。由于(1)对于x和r是齐式的,所以我们可以假定(x,r)=1。对于方程(1),有下面的一些性质。引理1.n≥2t+2,k≤t,则有     

线性微分方程系的概周期解

这里x=col.(x_1,x_2,…,x_n),A(t)是t的一致概周期(一致Π.Π.)n阶方阵,f(t)是t的一致Π.Π.n维列向量函数,‖x‖=sum from i=1 to n |x_i|,A(t)=(α_(ij)(t)),‖A(t)‖=sum from i+j=1 to n|α(ij)(t)|或欧氏模。 从文[1]知,对于周期线性系统情形:A(t+T)=A(t),f(t+T)=f(t),T>0,系统(1)有T-周     

微分方程系渐近等价关系的一个定理

讨论线性微分方程系(1)ax/dt=A(t)x A(t)对t≥0连续有界。对于实数λ,如果dx/dt=(A(t)-λE)x不具有指数型二分法,就称λ是系统(1)的谱点。其中,E为n阶单位方阵,n为向     

广义指数型二分法

本文研究系统dx/dt=A(t)x,其中，x是n-向量，A(t)是t的n阶连续、有界的方阵. Martin[1]研究了广义指数型二分法。本文推广了Martin的广义指数型二分法的定义，在引进某些新定义后，我们建立了线性系统的零解广义指数型稳定性在系数矩阵小扰动下不变性的定理，并且在适当条件下，利用Lyapunov第二方法建立了线性系统的解具有广义指数型二分法的充要条件．     

具有时滞的周期微分系统的周期解

考虑周期微分系统x·(t)=A(t,x(t-r1))x(t)+f(t,x(t-r2))的T-周期解的存在性问题,其中(t,x)∈R×Rn,A(t,x)是n×n连续矩阵函数,f(t,x)是n维连续向量函数,A(t+T,x)=A(t,x),f(t+T,x)=f(t,x),且T>0,r1,r2∈R.利用不动点方法,建立了保证系统存在T-周期解的充分条件,改进和推广了文[1～4]的相关结果.     

具有变量时滞的高维周期系统的周期解

考虑高维周期系统x·(t) =A(t,x(t-r1(t) ) )x(t) +f(t,x(t-r2 (t) ) )的T -周期解的存在性问题 ,其中 (t,x)∈R×Rn,A(t,x)是n×n连续矩阵函数 ,f(t,x)是n维连续向量函数 ,时滞ri(t) (i=1,2 )是连续函数 ,且A(t+T ,x) =A(t,x) ,f(t+T ,x) =f(t,x) ,ri(t+T) =ri(t) (i=1,2 ) ,常数T >0 .利用不动点方法 ,建立了保证系统存在T -周期解的充分条件 ,所得结论推广了一些学者的相关结果     

近乎线性微分方程系的周期解

1. 现在计划对下列形式的微分方程系讨论它的周期解存在问题:这里x,p(x,t)是表示m维向量,A(t)是m阶方阵。并且要求A(t),p(x,t)满足下面的条件: (i)A(t)是t的连续,周期函数,不妨假定周期是π。 (ii)p(x,t)是(x,t)的连续函数,对t来说也是周期为π的周期函数。 (iii)p(x,t)满足关系式|p(x,t)-p(x′,t)|≤g(t)|x-x′|,“||”表示向量绝对值。     

实方阵的次正定性

设A为n阶实矩阵(不一定对称),若对任意非零向量X=(x1,x2…xn)T∈Rn,均有XSTAX＞0,其中XST表示X的次转置[1],则称A是次正定方阵.给出了实方阵次正定性的几个充要条件.n阶实方阵是次正定的充分必要条件是(1)n阶实方阵JA正定;(2)A的次对称分量S是次正定的;(3)存在n阶可逆方阵P使PSTAP为次对角行矩阵;(4)存在n阶可逆矩阵P,使PSTSP=J.     

一类n维变系数方程组的周期解

通过对系统x′(t)=A(t)x(t) g(t)的2π-周期解的讨论,给出其周期解界的估计式,再结合Shauder不动点原理研究了下列系统x′(t)=A(t)x(t) f(t,x(t-τ(t)))周期解的存在性以及周期解界的估计.     

n维非自治系统周期解的个数

本文利用非线性泛函分析中拓扑度的理论,讨论了 n 维非自治系统x=A(t)x 1/λg(t,x).x∈R~n (1)并在系统(1)对应的齐次方程x=A(t)x x∈R~n (2)无非平凡周期解的情况下,得到系统(1)存在三个周期解的充分条件。     

线性时变系统零解的稳定性

本文由两部分组成,第一部分研究由微分方程所描述的线性时变系统dx/dt=A(t)x零解的稳定性,这里x∈R~n,A(t)为n×n阶矩阵,其元素αii(t)可微,|αii(t)|≤α(α为与t无关的常量),并且特征方程的每一个根满足Reλ(A(t))≤-δ<0,对所有t成立.在文〔1〕中,我们曾用构造?函数的方法给出了系统零解稳定性的充分条件,(并用显式确定其系数缓变的界限),这里我们将构造出另一个?函数,利用它也给出了系统系数缓变界线的明显表达式.显然,利用后者计算量可以大幅度地减少(特别当n相当大时).第二部分研究了由差分方程所描述的线性时变大系统的稳定性.文中曾用分解理论研究了线性时变离散大系统的稳定性问题,作者采用了向量?函数的方法,对每个子系统所作的是二次型的?函数(实际上文中取的是平方和),这里我们将用同样的方法来研究线性时变离散大系统的稳定性问题,所不同的是我们对每个子系统所作的?函数构造为v~(i)=|x~(i)|(|x|表示向量x的模),这样不但可以得到中的相应结果,并且运算非常简单.在中我们曾提出这样的看法,对处理线性选代系统的稳定性问题时,用v~(i)=|x~(i)|比用二次型的?函数更为合适,这里的论证进一步说明了这个问题.     

广义逆矩阵简介

§1、g-逆对于每一个非异的 n 喻方阵 A,必有逆矩阵 A~(-1)。它是以确定的关系AA~(-1)=A~(-1)A=I_n与 A 相伴的唯一的 n 阶方阵。n 个未知数 n 个方程的线性方程组 Ax=b,当 A 非异时,其唯一解可由 A~(-1)表为 x=A~(-1)b。当系数矩阵 A 为任意矩阵(包括奇异的方阵和 mn的 m×n 矩阵)时,方程组 Ax=b的解是否也可以通过一个与 A 以某种恰当的关系相伴的矩阵表示出来呢?下述定理肯定地回     

一些特殊类型矩阵多项式的逆矩阵的求法

设 A=(a_1,)是一个n阶方阵,其特征多项式 ∧(x)=x~n-(a_(11)+…+a_...)x~(n-1)+…+(-1)~a|A|,其中第k次项的系数为(-1)~(n-k)乘以A的一切n-k阶主子式之和(0≤k相似文献   

超前型线性偏差变元微分方程解的振动性

本文主要讨论了偏差变元微分方程x′(t)=sum form i=1 to n p_i(t)x(gi(t)) (1)解的振动性.其中 p_i(t)≥0连续,g_i(t)≥t 且 gi(t)关于 t 单调不减(i=1,2,…,n).假定方程(1) 的解在半直线[t_x,+∞)上存在.称 x(t)振动,即 x(t)有任意大的零点.我们得如下主要结果,     

扩展齐次平衡法与BBM方程的精确解

在利用齐次平衡法解非线性偏微分方程时,通常令方程的拟解ω(x,t)=1 e(mx n t ξ0).本文将拟解的形式推广为ω(x,t)=A Be(mx n t ξ0),利用推广的齐次平衡法得到BBM方程更一般的精确解.