分数阶和整数阶自由振动单摆模型的解及其动力学性质

自由振动下的分数阶单摆模型是经典的整数阶单摆模型的一种推广,它在研究具有黏性特征下复杂介质中的振动问题方面有很好的应用.采用Laplace变换法和动力系统相图分析法,分别对分数阶线性单摆模型和整数阶非线性单摆模型的解及其动力学性质进行了系统研究,特别是在分数阶模型方面的研究,获得了一系列Mittag-Leffler函数形式的精确解,并进一步对二者之间解的动力学性质进行比较,最终给出了相关结论,这些研究成果对于在复杂介质中的振动问题方面的类似研究工作具有一定的参考价值.     

时间分数阶Camassa-Holm型方程的各种精确解及其动力学性质

利用变量分离法与齐次平衡原理相结合的方法,系统地研究了时间分数阶Camassa-Holm型方程,获得该方程各种类型的精确解,并讨论了这些解的稳定性、有界性、渐进性等动力学性质和衰减现象,通过图像模拟,以图例的形式直观地展示了部分精确解的动力学行为和动力学现象.     

分数阶电报方程的各种精确解析解及动力学性质

【目的】研究3类经典的分数阶电报方程的精确求解问题。【方法】利用分离变量法与齐次平衡原理相结合的方法,并利用特殊的变换。【结果】获得了空间分数阶电报方程、时间分数阶电报方程以及时间-空间分数阶电报方程的各种精确解,进一步分析讨论了这些解的力学性质和演化现象,并给出了部分精确解随时间和空间发展演化的坐标图。【结论】与文献中的结果相比,获得的精确解大部分都是新结果,而且求解方法和技巧较之前文献中的要简便许多。     

黏弹性材料复模量和复柔量的分数阶微积分表述

在分数阶微积分的理论框架下，将分形动力学的机制引入到生物黏弹性本构方程的研究中．应用广义分数阶单元网络方法，取消Schiessel等人对分数阶单元网络所做的参数限制，考察了黏弹性体的复模量、复柔量问题，将模型解的构造扩充至广义函数空间，从而给出更多具有明显物理意义的解，     

时间分数阶Sharma-Tasso-Olver方程和Zakharov方程组的新精确解

利用推广的Kudryashov方法, 借助分数阶行波变换和一致分数阶导数, 给出非线性广义时间分数阶Sharma Tasso Olver方程和Zakharov方程组的若干双曲函数形式的精确解.     

(3+1)维非线性分数阶Jimbo-Miwa方程的新精确解

本文首先利用复变换和整合分数阶导数方法将(3+1)维分数阶Jimbo-Miwa方程转化为常微分方程,再用扩展的(G′/G)-展开法和新的辅助方程求出了分数阶JM方程的新精确解.这些解包括双曲函数解、三角函数解和有理函数解.     

一类非线性脉冲时滞分数阶偏微分方程的振动分析

研究了一类带脉冲扰动及时滞效应的非线性分数阶偏微分方程解的振动性问题，利用积分平均方法和一阶脉冲时滞微分不等式的某些结果，建立了该类方程在Neumann边值条件下所有解振动的新的充分性判据，所得结果充分反映了脉冲量和时滞量在方程振动中的决定性作用.     

时间分数阶非线性发展方程精确行波解

利用子方程方法,得到了在数学和物理中具有重要意义的时间分数阶非线性Burgers方程以及mKdV方程的精确行波解.主要运用分数阶复变换技巧,把分数阶非线性发展方程转化为和它等价的常微分方程进行研究.结果表明,分数阶复变换技巧以及子方程方法是求解时间分数阶发展方程一个直接有效的方法.     

一类广义不稳定时空分数阶薛定谔方程的近似解

基于求分数阶非线性偏微分方程近似解的迭代思想，通过将Laplace变换与同伦摄动法相结合，借助Adomian多项式展开和对非线性项进行修正，构造出合乎模型的近似解标准迭代式.研究一类广义不稳定时空分数阶薛定谔方程，得到该方程的各级近似解表达式，这些解在极限情形下可转化为精确解，通过误差分析及数值模拟将两者进行比较，发现其实部、虚部与模之间接近程度良好，结果表明该近似算法在求解常系数及变系数时空分数阶非线性薛定谔方程时规范有效.     

应用G′/(G′+G+A)展开法求解两类非线性薛定谔方程

通过引入广义G′/(G′+G+A)展开法,研究一类广义非线性薛定谔方程和一类新的时空分数阶(1+1)维耦合薛定谔方程,得到其新的、更一般形式的精确解.当取定特殊的参数值,可以获得各种特殊类型的解,包含孤波解、奇异波解和三角函数解,这些解对于解释一些实际物理现象有帮助.该方法的应用丰富了这两类方程(组)的解组,同时对非线性偏微分方程的研究具有一定意义.     

广义二阶流体平板不定常流动的解析解

研究了分数阶广义二阶流体在无穷平板上方的不定常流动. 将分数阶微积分的方法引入黏弹性流体本构关系模型. 借助Fourier正余弦变换的方法及分数阶微积分的Laplace变换理论, 研究了三种不同条件下的平板流, 得到了问题的精确解析解.     

空间分数阶Edwards-Wilkinson方程的数值研究

为了探讨空间分数阶随机生长模型的动力学标度行为,利用Grümwald-Letnikov分数阶导数定义方法求解空间分数阶Edwards-Wilkinson（SFEW）方程在1＋1维情况下的数值解,得到了在不同分数阶导数值时的生长指数、粗糙度指数、动力学指数和局域粗糙度指数,这些结果与标度分析得到的结果是一致的。研究结果表明SFEW模型没有出现奇异动力学行为,仍然遵守Family-Vicsek正常标度规律。同时结果也显示,非局域相互作用对SFEW方程的动力学标度行为有着显著的影响。     

非线性分数阶演化方程的新解

通过使用改进的分数阶sub-equation 方法寻求一些非线性分数阶演化方程的精确解, 如分数阶Burgers 方程、耦合分数阶Burgers 方程与非线性分数阶Klein-Gordon 方程等, 并得到了这些非线性分数阶演化方程的新解.     

一类分数阶微分方程的比较定理与应用

利用分数阶微分方程与相应的Volterra积分方程的等价性以及广义积分中值定理,给出了一类分数阶比较定理新的证明并进行了推广.利用比较定理研究了一类分数阶微分方程解的稳定性.     

试探函数法与广义变系数五阶KdV方程的类孤子解

为了得到广义变系数五阶KdV方程的新解,本文利用试探函数法和符号计算系统Mathematica,研究了它的求解问题,并得到了广义变系数五阶KdV方程的由双曲函数与三角函数组成的类孤子新精确解.     

非线性分数阶Klein-Gordon方程的新的显式解

本文应用一种新的$(G''/G)$-展开法构建了非线性分数阶Klein-Gordon方程的更多、更一般的精确解.利用分数阶复变换,非线性分数阶Klein-Gordon方程被转化为非线性常微分方程.应用扩展的$(G''/G)$-展开法构建非线性分数阶Klein-Gordon方程精确解.得到了一系列新的显式解,包括双曲函数解,三角函数解和负幂次解,利用该方法获得了比以往更丰富的解.     

验证de Hoog算法数值求解亚扩散方程的有效性

反常输运现象广泛存在于生物和地质系统中.基于连续时间随机行走理论可以得到相应的反常输运方程,由于引入了分数阶算子,这些方程往往难以精确求解.de Hoog算法是一种数值Laplace逆变换算法.可以利用它可以来数值求解反常输运方程.反常输运中的亚扩散过程具有相对简单的方程,并在某些条件下可以精确求解,比较了这些精确解与通过de Hoog算法得到的数值解,验证了de Hoog算法的有效性,为使用该算法研究亚扩散和其它反常输运过程提供了更多的依据.     

一类空时分数阶混合(1+1)维KdV方程的精确解

本文考虑一类具有修正Riemann-Liouville分数阶导数的空时分数阶混合(1+1)维KdV方程.利用分数阶复变换,本文将非线性分数阶偏微分方程转化为非线性常微分方程,然后应用首次积分法和Maple软件得到了该方程的精确解.     

广义KdV方程的达布变换及精确解

孤立子理论的迅速发展,使得众多学者对其研究产生浓厚兴趣.研究孤立子理论中的一个重要问题,就是非线性偏微分方程的求解.本文主要讨论了利用达布变换解决偏微分方程的精确解问题,达布变换是求解非线性偏微分方程的一个有效方法.它通过寻找一种保持相应的Lax对不变的规范变换,最终找到方程解之间关系的变换.本文首先从广义KdV方程的AKNS系统的谱问题出发,经过一系列分类讨论,得到该方程的三类达布变换,并给出证明.然后适当的选取该方程的平凡解,进而求出该方程新的精确解.广义KdV方程在流体力学、等离子体物理、气体动力学领域有重要的实践和理论应用,因此对广义KdV方程的研究具有重大意义.     

一类分数阶Cattaneo方程Neumann边值问题的紧致差分格式

为了更好地描述非傅里叶热传导现象,从广义的Cattaneo模型出发,得到分数阶Cattaneo方程的数值解,考虑一类分数阶Cattaneo方程Neumann边值问题的数值模拟.采用Caputo分数阶导数L1插值逼近和空间离散的方法,对所研究的边值问题的方程建立时间具有3-α阶精度,空间具有4阶精度的紧致差分格式;数值算例验证了理论分析结果,证明了对分数阶Cattaneo方程Neumann边值问题所建立的离散格式的稳定性和有效性.