一类非线性Schr?dinger方程的变号解

研究了下述非线性Schr?dinger方程非径向对称的变号解的存在性.其中2＜p＜,β是一个参数,V(y)＞0为满足指数衰减的权函数.当β→－∞(或0－)时,对任意正整数k＞1,构造了上述方程恰好有k个极大值点和k个极小值点的非径向对称的变号解.     

一类非线性Choquard方程解的存在性

研究了一类非线性Choquard方程-Δu(x)+V(x)u(x)=a(x)∫R3a(y)|u(y)|p|x-y|μdy|u(x)|p-2u(x)解的存在性.其中,0μ3,6-μ3p6-μ.在位势函数V(x)及函数a(x),a(y)满足适当条件下,运用变分方法证明了方程非平凡弱解的存在性.     

含有非局部项抛物型方程整体解的不存在性

本文研究一类含有非线性局部顶的抛物型m-Laplacian方程的柯西初值问题{ut=div(|▽u|m-2▽u) ∫RNK(x,y)up(y,t)dy x ∈RN,t》0/u(x,0)=u0(x),x∈RN,u(x,t)≥0(x,t)∈RN×R (0.1)的非负整体解的不存在性问题.从两个角度出发,研究参数p,β,m和初始条件u0(x)在无穷远处的渐近行为对问题(0.1)解的不存在性的影响.采用的方法是"试验函数法".该方法是由Mitidieri和Pohozaev在研究一类椭圆型不等式时首先提出.为了使该方法能够用于问题(0.1),需要作些修正.主要结果的证明是通过对解的先验估计,然后应用反证法提出.通过选择适当的试验函数以及变量伸缩,得到解的一个渐近估计和一个上界估计.这些估计依赖于参数T和ρ.最后让ρ→∞和对上界极小化,得出问题(0.1)的非负解的不存在性.作如下假设:(H1)存在 a0∈(0,1/2),使得当α∈(-α0,0),成立u0(x)≥0,u0 ∈L1 a loc(RN); (H2)存在K0》0,0《β《N使得K(x,y)=K(y,x)≥K0|x-y|β-N,x,y∈RN;(H3)存在K0》0,γ≥0 使得 K(x)≥K0(1 |x|2)-γ,x∈RN.主要结果是:定理1 假设2≤m《N,p》m-1和条件(H1),(H2)成立.进一步,如果下列条件之一满足:(H4)P《m-2 N m/N-β;(H5)存在依赖参数m,p,β的β0》0,使得lim inf|x|→∞(u0(x)|x|m β/p 1-m-α)≥β0;那么初值问题(0.1)不存在整体的非负解.当K(x,y)只是一个变量y的函数时,有定理2 假设2≤m《N,p》m-1和条件(H1),(H3)成立.进一步,如果下列条件之一满足:(H6)0≤γ《(N m)/2;(H7)存在依赖参数的m,p,γ的β2》0,使得lim inf|x|→∞(u0(x)|x|m N-2γ/P 1-m-a)≥β2;那么问题{ut=div(|▽u|m-2▽u) ∫RN K(y)up(y,t)dy x∈RN,t》0/u(x,0)=u0(x),x∈RN不存在整体有界的非负解.     

一类奇异椭圆方程无穷多解的存在性

研究了有界区域ΩRN上奇异椭圆方程-Δu-μu|x|2=|u|2*(s)-2u|x|s fλ(x,u)无穷多解的存在性.在f满足非二次条件的情况下,运用对偶喷泉定理证明了存在λ*>0,使得,当λ∈(0,λ*)时,该方程有无穷多个弱解{uk}满足I(uk)<0,并且I(uk)→0,k→ ∞.     

一个带位势半线性方程爆破解的渐近行为

主要研究半线性抛物方程ut=Δu+V(x)|u|p-1u爆破解的渐近行为.在本文中,假设N≥3并且1pN+2/N-2,初始值是有界的,V(x)∈C1(RN),且对任意x∈RN存在常数c和C使得c≤V(x)≤C成立.则当t→T时,对RN中的任意点a,(T-t)p1-1u(a+y(T-t)～(1/2),t)趋向于0或者±V(βa)β,(β=p-11).     

R~N中带冲突非线性项的拟线性椭圆方程的多解性

考虑 RN中含正参数 μ的拟线性椭圆方程- div(| u| p -2 u) + | u| p-2 u=q(x) | u| α-2 u-μr(x) | u| β-2 u,u∈ W1,p(RN) ,其中 :10 ,r∈ L∞ (RN) ,r(x)≥ d>0 .证明了当 μ充分大时该方程无非零解 ,而当μ充分小时该方程有足够多的分别具有正能量与负能量的解 .     

外区域上非线性椭圆问题非负径向解的存在性

对非线性椭圆方程-Δu=f(‖x‖,u)的外边值问题,利用Leray-Schauder度理论讨论非负径向解的存在性问题,其中非负项f是变号函数.作为应用,可以对方程-Δu=r-β(up-u)得出相应的结论,其中p>1,β>2.     

关于非线性多调和方程的整体解的存在性

本文主要研究形如:Δ ((Δnu)pp-1) f(|x|, u,(△) (u)x∈R2的非线性多调和方程的整体解,此处n是自然数,p>1是实常数,f:(- 3)R×R 是一个连续函数,ξa*:=|ξa*=|ξa-1ξ,ξ∈R,a>0,证明了该方程不存在径向对称的正整体解, 并给出存在无穷多个最终为负值且其渐进阶(当n→∞时,|u| 作为无穷大量的阶)不低于 |x|2nlog|x| 的整体解u的充分条件及渐进阶正好是 |x|2nlog|x| 的充分必要条件.     

一类带权的椭圆方程变号解的存在性问题

描述了一类带权的有狄里克雷边界条件的椭圆方程:-div(|x|~(-2a)▽u)-μ/|x|~(2(a+1))u=|x|~(-bp)|u|~(p-2)u+λu在零点附近变号解的存在性问题,其中0∈Ω是R~N(N≥3)中具有光滑边界的有界区域,并在临界的加权Sobolev-Hardy指数情况下得到其变号解.     

一类广义Kirchhoff方程基态变号解的存在性

研究了一类广义Kirchhoff方程■其中a,b>0是常数.由于在方程中出现了非局部项■,所以，方程的变分泛函与b=0时方程的变分泛函具有不同的性质.与相关文献相比，g不需要满足单调性条件，并且非线性项g包含g(t)=|t|^p-2t(2r-2u和另一个非局部扰动.对于扰动问题，通过改进的AR条件和下降流不变集下的极大极小参数得到了扰动问题的变号解，进而得到了原方程的变号解.最后，证明了该变号解是原方程的基态变号解.     

一类p(x)-Laplace方程正解的存在性

考虑方程{-△p(x)u=f(u),u-0 x∈Ω,x∈aΩ正解的存在性,这里-△p(x)u=-div(|△u|p(x)-2△u),p(x)∈C1(RN)是径向对称的,Ω=B(0,R)∩ RN是有界径向对称区域,其中R是充分大的正数.当u→ ∞lim f(u)up--1=0时,证明了方程正解的存在性,而且未对f(0)的符号做任何限制.     

一类非线性Schrdinger-Kirchhoff系统非平凡解的存在性

本文主要研究了带有位势V(x)及非线性项g的Schrdinger-Kirchhoff型方程{(a+b∫[|u|2+V(x)u2]dx[-Δu+V(x)u]+λh(x)u=g(x,u)x∈R3-Δ=λh(x)u2x∈R3(λ≥0)非平凡解的存在性,利用近代变分学中山路定理得到其至少存在一个非平凡解.     

R^N中带冲突非线性项的拟线性椭圆方程的多解性

考虑R^N中含正参数μ的拟线性椭圆方程-div(|↓△u|^p-2↓△u) |u|^p-2u=q(x)|u|^α-2u-μr(x)|u|^β-2u,u∈W^1,p(R^N),其中P：1＜p＜α＜β＜p^*,q∈L^∞（R^N)∩L^β/β-α（R^N),q(x)＞0,r∈L∞(R^N),r(x)≥d＞o。证明了当μ充分大时该方程无非零解,而当μ充分小时该方程有足够多的分别具有正能量与负能量的解。     

积分方程组解的正则性与对称性

将讨论下列含贝塞尔核积分方程组正解的对称性,即:u(x)=∫RNGα(x-y)vq(y)/|x|β|y|τdy,v(x)=∫RN Gα(x-y)up(y)/|x|τ|y|βdy(1)其中x∈RN,Gα(x)是带α-指标的贝塞尔势能核,0≤β,τ,β+ταN,1p,qN-β/β,并且,1/p+1+1/q+1N-α+β+τ/N(2)设(u,v)∈Lp+1(RN)×Lq+1(RN)为式(1)的正解,则式(1)解是径向对称的。     

一类不定的拟线性方程在R上正解的存在性

用变分方法证明一类拟线性椭圆方程-u″=λV(x)u+k(u2)″u+a(x)|u|p-2u, x∈R,其中a(x)在R上是变号时,这个椭圆方程在R上正解的存在性.     

R^N上一个p-Laplacian问题的无穷多个变号解（英文）

考虑下面这个p-Laplacian问题多重变号解的存在性：-△pu＋｜u｜（p-2）u=f（x,u）in RN,其中u∈W1,p（RN）（p≠2）.我们结合对称临界性原理,不变集的方法和极小极大的方法,在f（x,u）关于u是奇的和其它的假设条件下,获得了上述问题的一个无界的径向对称的变号解序列.在N=4或N=6时,通过选择一个非径向对称子空间使得它包含的所有非零函数都是变号的,运用对称山路引理和对称临界性原理,获得了上述问题的一个无界的非径向对称的变号解序列。     

一个非散度形式的退化扩散方程解的存在性和L∞估计

本文考虑一个非散度形的退化扩散方程u1＝｜u｜k△u+ B(u)+F(u)并带有零边界条件的初边值问题整体解的存在性和解在t＝0,∞处的L∞模估计．证明了当f(u)≡0和y0∈Lq(Ω)时,整体解u(t)满足估计‖u(t)‖∞≤C(1+y-1/k,t＜0,当｜f(u)｜≤k1｜u｜1+α and α＞k,时,也得到了类似的估计.     

一类非线性波动方程的柯西问题

文章主要考察一类非线性波动方程uu+uxxxx+λu=σ(ux)x,λ>0的柯西问题解的存在性和唯一性.当σ(ux)x=-β(|ux|pux)x,β>0,p>0时,通过构造稳定集(位势井)W={u∈H2(R)|‖uxx‖2+λ‖u‖2<2(p+2)/pd}和不稳定集V={u∈H2(R)|‖uxx‖2+λ‖u‖2>2(p+2)/d},得到了W和V在上述方程的流下是不变的,并证明了如果初始能量E(0)≤d,那么当初值u0∈(-W)时,问题存在惟一整体解u∈C1([0,∞);H2);当初值u0∈V时,问题的解在有限时刻T1∈(t1,t1+4φ(t1)/pφ'(t1))发生爆破.     

一类含Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的奇异椭圆型方程极小解的存在性

研究了一类带奇异项及临界指数的椭圆型方程-div(|x|-2a▽u)-μu/(|x|2(1+a))=(|u|p-2u)/(|x|bp)+λ(|u|q-2u)/(|x|dD),利用Ekeland变分原理证明了存在常数Λ>0,使得当λ∈(0,Λ)时,方程存在极小能量解.     

一类非线性Schrdinger-Kirchhoff系统非平凡解的存在性

文章主要讨论带有位势V(x)的非线性Schrdinger-Kirchhoff型方程﹛(a+b∫[|▽u|~2+V(x)u~2])[-Δu+V(x)u]+λh(x)φu=g(x,u),x∈R3,-Δφ=λh(x)u~2,x∈R~3.(1)(λ≥0)非平凡解的存在性,利用山路定理得到其至少存在一个非平凡解.