特殊平面图的线性二荫度

线性k-森林是指一个图G，它的每个连通分支是长至多为k的路．图G的线性k-荫度是指使得G可以边划分成m个线性k-森林的最小整数m，用lak（G）表示．本文探讨特殊平面图的线性二荫度，得到的结论有：1）每个3-圈不重边的平面图G，有la2（G）≤[△（G）／2]＋10；2）每个3-圈不重点的平面图G，有la2（G）≤[△（G）／2]＋7；3）每点至多关联[△（G）／2]个3-面的平面图G，有la2（G）≤[△（G）／2]＋10．     

关于Catlin—猜想的一个定理

文献[3]给出了判定超欧拉图的一个定理：设G是一个2－边值通的不含K3－子图的简单图，n=|V(G)|≥31。如果δ（G）≥n/10，并且G不能被收缩成K2，3则G有一个欧拉生成子图。证明了在上述条件下，G有一个欧拉生成子图H使得|E(H)|≥2／3|(E(G)|,或者G－E（H）有平凡分支。     

关于一个猜想的简单证明

图Ｇ的一个（正常）路着色是一映射φ：Ｖ（Ｇ）→Ｃ,使得Ｃ中任一元素的原象的导出子图是路的不交并,使Ｇ有正常路着色所需要的Ｃ的最小基数｜Ｃ｜,称为Ｇ的路色数,用ｘ（Ｇ;Ｐ∞）表示。Ｊ．Ａｋｉｙａｍａ和Ｅｒａ［３］提出如下问题：是否存在平面图Ｇ使得ｘ（Ｇ;Ｐ∞）＝４？关于这一问题,已有人证明［３,５］;对于任意平面图Ｇ,都有ｘ（Ｇ;Ｐ∞）≤３,这里我们从路色数的角度给出该问题的一个更简单的证明     

高度平面图的列表L（p，g）-标号

如果平面图G的最大度△（G）=｜V（G）｜-k,k=1,2,…,则称G为一个hk-图,k=1,2的hk-图称为高度平面图．研究了高度平面图G的列表L（p,q）-标号问题,给出了高度平面图G的列表L（p,q）-标号数λl（G;p,q）的上界,并对hi-图证明了λl（G;p,q）≤（2q-1）△＋6（p—q）;对h2-图有λl（G;p,q）≤（2q-1）△＋8p-6q-1．     

Series-Parallel图的全选择数与全色数

对2-连通Series-Parallel图G，证明了当△（G）≥4时，其全选择数等于△（G） 1；在△（G）≥3时，其全色数等于△（G） 1；对△（G）≠时，其边选择数等于其边色数（即列表染色猜想）。由于外平面图是特殊的Series-Parallel图，本文包含了外平面图的相应染色结论。     

二部图 K(m,n)-A(|A|≥2)的色唯一性

设G是简单图，用P（G,λ）表示图G的色多项式，若对任意简单图H使P（H，λ）＝P（G，λ），都有H与G同构，则称G是色唯一图，用K（m,n）－A表示从K（m,n）中删去边子集A所得的二部图，令L2^-s(m,n）＝｛K(m,n)-A||A|=s｝，研究一般形式的K（m,n）－A的色唯一性问题，通过引进色正规图类的概念，使用比较两个色等价图的色划分数的方法，得出G∈L2^-s(m,n）的色等价图仍然是属于L2^-s(m,n）的一般形式数值条件，进一步得出G∈L2^-s(m,n)(2≤s≤4)为色唯一图的一般形式数值条件，所得结果完全覆盖并推广了1997年以前该研究方向的相关结果。     

K2s,2t-设计的存在性

Kν是ν点完全图，G为不带孤立点的简单图。Kν的G－设计常记为（ν，G，1）－GD，是指一个对子（X，B），其中X为Kν的点集，B为Kν的一些子图（亦称为区组）构成的集合，使得任一区组均与图G同构，且Kν的任意2个不同点组成的边恰在B的一个区组中出现。采用统一的方法构造了K2^s,2^t-设计，并给出其存在谱如下：存在（ν，K2^s,2^t,1)-GD当且仅当ν≡1(mod 2^s t 1),s,t≥0。     

几类7点7边图的图设计与最优填充

设λKv是λ重ν点完全图，G是无孤立点的有限简单图。将G－设计（G－填充）记作（ν，G，λ）－GD（（ν，G，λ）－PD）是指一个序偶（X，B），其中X是完全图Kν的顶点集，B是Kν中间构于G的子图（区组）的集合，使得Kν中每条边恰好（至多）出现在B的λ个区组中。讨论了3类7点7边图Gi(i=1,2,3)的图设计及最优填充问题，并给出了（ν，Gi,1)-GD及（ν，Gi,1)-OPD(i=1,2,3)存在的谱。     

平面图的4—着色的简单布尔方程表示

如果一个无环平面图G至多有一个非三角形的面,则称G为准极大平面图（near-trian-gulation)本给出了极大平面图和准极大平面图4－着色的一类布尔方程表示式,该布尔方程所含变元较少,结构简单,具有良好的递归性质,为利用计算机寻找给定平面图的4－着色提供了很好的算法。     

外平面图的L(d,1)-标号

研究外平面图G的L（d，1）-标号问题，证明了外平面图的L（d，1）-标号数满足：Ad≤△＋2（2d—1）。对于L（d，1）-标号问题有一著名猜想：对最大度为△的任意图有A（G）≤△^2，本论文证明了此猜想对外平面图是正确的。     

完全三部图K(n-4,n,n)的色唯一性

设G是简单图,用P（G,λ）表示图G的色多项式．若对任意图H使P（H,λ）＝P（G,λ）,都有H与G同构,则称G是色唯一图．用K（m,n,r）表示完全三部图,证明了当K＝4时,如下猜想[1]成立：对非负整数n,k,当n≥k＋2时,K（n－k,n,n）是色唯一图．即当n≥6时,K（n－4,n,n）是色唯一图．     

平面图线性2-荫度的一个上界

设图G为最大度为Δ的平面图。图G的线性2-荫度是将图G的边集合分解成k个线性森林的最小整数k,其中每个分支树为长至多为2的路,记为la2（G）。得到了平面图线性2-荫度的上界：若Δ≡0,3（mod 4）,则la2（G）≤「Δ/2棢＋8;若Δ≡1,2（mod 4）,则la2（G）≤「Δ/2棢＋7。     

不含3圈的平面图的无圈边染色

图的无圈边染色是图的染色理论中的一个重要问题,2001年,Alon等猜想任意简单图G的无圈边色数都不超过△（G）＋2,其中△（G）为图G的最大顶点度。为了研究该猜想对平面图是否成立,利用差值转移方法,证明了不包含三角形的平面图G的无圈边色数不超过△（G）＋3．     

k_(1,s)─free图的局部Hamiltion连通性(英)

设G是K(1,s)－free图,如果对每一个顶点v∈V（G）,有：K（G［N（V）］）≥s—2,（s≥3）,那么每一局部导出子图均包含一个Hamiltion路。     

图的路色数

设G=(V,E)是一个简单图.称V 的一个划分{V_1,V_2,…,V_φ}是一个路着色,如果对任意的i∈{1,2,…,k},〈V_i〉的每个分支都是路.G 的路着色中所需的最少颜色数叫G 的路色数.本文给出了路色数的一个下界;并讨论了两个图的笛卡儿积的路色数,最后,还推广了文[1]的一个定理的结论.     

二部图K（m,m＋4）—A（A=2）的色唯一性

设P（G,λ）表示简单图G的色多项式,若对任意简单图H使P（H,λ）=P(G,λ）,都有H与G的同构,则称G是色唯一图,令K（m,n)－A表示从完全二部图K（m,n)中删去边子集A所得的二部图,证明：当m≥3,K（m,m 4)-A,A=2,是色唯一图。     

关于SPS-图的一个充分条件

如果图中的一条路不是其他任何路的子路,则称这条路为该图的一条极大路。图G的路谱指的是G中所有极大路的长度构成的集合,记为ps（G）。对于一个阶为n的图G,如果存在一个正整数s（G）使得ps（G）={s（G）,s（G）＋1,…,n-1},则称G为一个SPS-图。本研究证明了对于任意的2-连通图G,如果G中任何导出子图都不与K1,3或P5同构,则G是一个SPS-图或者是一类路谱特殊的图。     

一类极大临界h连通图的性质

设G是h连通图，图G的顶点υ称为临办点，G－υ不再h连通，如果G的每个顶点都是临界的，则称G为临界h边连通图。对于G中任意两个相邻的项点x与y，G＋xy不再临界h连通，则称G为极大临界h连通图。引入图的粘合的概念，讨论了δ（G）＝3h／2－1的极大临界h连通图的性质，得到了这类图有关原子，最小点割和分支的重要性质，这有利于进一步研究这类图的结构。     

围长至少为5的平面图的L（P，q）-标号

令Ap,q（G）为图G的L（p,g）-标号数,其中P和q是两个正整数且p≥q。证明了若G是围长g（G）≥5的平面图,则Ap,q（G）≤（2q-1）△（G）＋6p＋10q-8。由此导得对于g（G）≥5且△（G）≥16的平面图G,Wegner的猜想成立。     

满足g+(G)-g-(G)≥2图的刻划

通过对图的测地谱的研究，采用构造的方法给出了g^＋（G）-g^-（G）≥2的图的刻划，同时得到了g^＋（G）=g^-（G）＋1充要条件是G≈K1，n-1或者G≈K3．