仅含有限个极小子环的环的特性

结合环R 仅含n个(n<0) 极小子环,且R 的每一真子环必含有极小子环,则R 称为M-环;若M-环R 中仪含一个极小子环,则R 称为M_1-环.本文目的是给出M-环(M_1-环)结构,从而基本上解决F.A.Szasz 提出的问题80:“怎样的环有唯一的极小子环”.     

GCN环的一些性质

给出GCN环的定义,研究GCN环的一些性质.主要证明了如下结果:GCN环是直接有限环;GCN环是左极小Abel环;设R为GCN环,若x∈R是exchange元,则x是clean元;R是约化环当且仅当R是半素的GCN环.     

NIFP环

给出NIFP环的定义,研究NIFP环的一些性质.主要证明了如下结果:①NIFP环是直接有限环;②NIFP环是左极小Abel环;③设R为NIFP环,若x∈R是exchange元,则x是clean元;④设R为NIFP环,x∈R,n∈Z+,若xn是clean元,则x也是clean元;⑤NIFP的左WGC2环是左GC2环.     

导子与环的交换性

讨论了带有非零导子的结合环的交换性,证明了:定理1 R是特征非2的素环,f,g为R的两个非零导子,若有自然数n使得x~nfg(y)-fg(y)x~n∈Z(R) (?)x,y∈R则R可换.定理3 R为无零因子环,d为R的非零导子,若(?)x∈R,d~n_x∈Z(R)且R的特征不是(n+1)1的因子,则R可换.定理5 若素环R的特征不为2,U为R的非零Lie理想,且(?)u∈U有udu+duu∈Z(R),则u~2∈Z(R)且当u~2∈U时,U(?)Z(R).     

Krull型整环与几类特殊整环

设R是有单位元的整环.本文用通常的星型算子来刻画Krull型整环与其它几类特殊整环之间的关系.本文证明了若dim(R)≥2,则R的每个素w-理想的高度为1当且仅当任给R的素理想P,若htP≥2,那么P是强w-可逆理想.另外,若R是Krull型整环,dim(R)≥2,w-dim(R)=1,且为H整环,那么,对任给R的素w-理想M,则M是w-可逆理想,当且仅当M不是强w-理想,当且仅当RM是离散赋值环,当且仅当RM是赋值环.同时,我们给出了有限特征的GCD整环与Krull型整环的一些等价条件.最后,我们论证了若R是Prufer整环,又是Krull型整环,任给非零非单位a∈R,则有R是阿基米德整环当且仅当a含在R的某个极小素理想中.     

弱角环

设尺为一个环,e2=e∈R.若对于左R-模Re的每个子模N,有ReN=N,则称R的子环eRe为弱角环,e是弱角幂等元.证明了如下结果:①若R为左MC2环,则弱角环eRe也是左MC2环;②若R为左min-abel环,则弱角环eRe也是左min-abel环;③若R为左mininjective环,则弱角环eRe也是左minin jective环;④若R为左universally mininjective环,则弱角环eRe也是左universally mininjective环.     

左极小Abel环

证明了如下结果：①设R为左极小Abel环,e^2=e∈R满足ReR=R,则角环eRe也是左极小Abel环;②设I是R的不含幂等元的理想,且R/I是左极小Abel环,则R为左极小Abel环;③ R为左极小Abel环←→投射单左R-模的零化子是极大左理想.     

环的交换性定理

本文证明了如下定理:定理1 环R有左单位元,N为R的幂零集元合,(?)x,y∈R,若x≡y((?)od N)就导致x,y与N中元可换或x~k=y~k,x~(k+1)=y~(k+1),其中k=k(x,y)>2,则N为R的理想;且当R/N的每一子环都幂等时,R为交换环.定理2 环R有左单位元且为2-扭自由,N为R的暴零元集合.若V~x,y∈R,x≡y(mod N)就导致x,y与N中元可换或x~k=y~k,x~(k+1)=y~(k+1),k=k(x,y)>2;或x~2=y~2,则N为R的理想,且当R/N的每一子环幂等时,R为交换环.     

QMUP-内射环

引入左QMUP-内射(模)环的概念并研究其相关性质,得到如下结果:1)R为左泛极小内射环当且仅当每个单左R-模是QMUP-内射模;2)设R是左QMUP-内射环,则J(R)Zl(R)且R/Zl(R)是π-正则环;3)左QMUP-内射环是左极小内射环;4)设R为一个环,包含一个内射的极大左理想,则R是左自内射环当且仅当R是左QMUP-内射环.     

DS环的Morita invariant性

证明了关于左DS环的几个结果：1）若对R的中心幂等元e，有eRe和（1－e)R(1-e)都是左DS环，则R是左DS环；2）R是左DS环当且仅当全矩阵环Mn(R))是左DS环；3）左DS环是Morita invariant;4)R是左DS环当且仅当R是左MC2环且极小内射左R－模的同态像是极小内射左R－模。     

关于PMM环

定义了PMM环．环R称为PMM环，若对任何Morita相似于R的环S，存在m，n∈N，使得Mm(S)同构于Mn(R)．证明了如下结果：环R是PMM环当且仅当任给R的投射生成元P，存在m，n∈N，以及R上的Picard投射生成元Q，使得Pm同构于Qn．具有VBN性质的PMM环是T2-环；具有IBN性质的PM环是T1-环．若交换环R是PMM环，则R是不可分解的且R的Picard群是幂可除的．特别地，Dedekind整环R是PMM环当且仅当R的Picard群是幂可除的．     

互极大的极小素理想和零化子

本文在有单位元的交换环R中,给出了R的一个元对于R的一个理想的相对零化子的概念及相对零化子的一些性质,并得到了关于环R的素理想的几个命题。最后,通过相对零化子给出了R的一些极小素理想互极大的条件。     

关于商MPI-环的一点注记

有单位元的交换环R称为MPI-环,如果dimR=0,本文刻划了MPI-环并且推广和改进了文[1]中的部分结果.     

关于拟赋值环

一个无零因子的交换环Ｒ称为拟值环,如果Ｒ中有一个非零元素ｂ具有下列性质：Ｒ的任意非零元整除ｂ的幂。本文给出了几类拟赋值环及其有关性质。     

环Z2+uZ2+u2Z2上的斜循环码

文章研究的是环R=Z2 +uZ2 +u2Z2上一类广义的循环码——斜循环码;首先利用环R构造了一个非交换的多项式环R[x,θ],然后讨论了R上斜循环码与Rn=R[X,θ]/(Xn-1)左理想的关系,给出了斜循环码的生成多项式,以及环R上斜循环码是可逆码的充要条件,并考虑了斜循环码的对偶码.     

相对于幺半群的拟-MCCOY环

引入了M-拟-McCoy环并研究了其性质。对u.p.幺半群M,证明了reversible环是M-拟-McCoy环。对于包含无限循环子幺半群的交换可消幺半群M及u.p.幺半群N,若R是交换的M-拟-McCoy环,则R[N]是M-拟-Mc-Coy环及R是M×N-拟-McCoy环。对幺半群M,R是M-拟-McCoy环当且仅当上三角矩阵环Tn(R)是M-拟-Mc-Coy环及直积∏i∈IRi是M-拟-McCoy环当且仅当每个Ri(i∈I)是M-拟-McCoy环。     

广义周期环

给出了广义周期环的一些刻划，证明了半质的广义周期环或是交换环或是诣零环和P2-环的直和，并给出了一些特殊的广义周期环的刻划．     

结合环上链条件向子环的传递

本文综合讨论了环的升链和降链条件向子环传递的条件。当环R是Noether或Artin环时,子环S在以下三种情形下也是Noether或Artin的:即R是在S上中心地有限生成的;S是交换的,R在S上的有限生成与链条件是同侧的;S是交换的,R在S上的有限生成与链条件是异侧的。     

交换环的素谱空间的连通性

本文中的环均指有单位元的交换环。本文在一定条件下对于J.R.Silvester提出的关于环的素谱空间连通与道路连通关系的问题给出了肯定的回答,并给出了极大理想或极小素理想个数有限的环的结构定理。     

单大环与单小环的结构

本文给出了单大环与单小环的结构。