small-内射模的某些研究

主要研究small-内射模及其内射包络的一些性质.证明了:(1)设 R 是LPID环,且左 R- 模序列 0→A→B→C→0 是正合的,若 A 是左small-内射模,则 B 是左small-内射模当且仅当 C 是左small-内射模;(2) R 是左(右) S-V-环当且仅当 R 是半本原环.     

DS环的Morita invariant性

证明了关于左DS环的几个结果：1）若对R的中心幂等元e，有eRe和（1－e)R(1-e)都是左DS环，则R是左DS环；2）R是左DS环当且仅当全矩阵环Mn(R))是左DS环；3）左DS环是Morita invariant;4)R是左DS环当且仅当R是左MC2环且极小内射左R－模的同态像是极小内射左R－模。     

极小平坦模

给出极小平坦模和泛极小内射环的定义．指出一个环R是左泛极小内射环当且仅当每个右R-模是极小平坦模←→R的每个极小有限生成左理想是R的直和项．同时指出，右R-模M是极小平坦模当且仅当M^*=Homz(M，Q／Z)是极小内射左R-模，从而推广了正则环及平坦模的相关结果。     

WGC2环

证明了如下结果:①R是左WGC2环当且仅当每个左正则元是右可逆元;②R是左WGC2环当且仅当对每个左R-模M,每个a∈W(R),总有M=aM;③设R是左WGC2环,则Zl(R)■J(R);④R是co-Hopfian环当且仅当R是左WGC2环和直接有限环;⑤设R是左WGC2环和quasi-normal环,则R是co-Hopfian环;⑥R是除环当且仅当R是无零因子环和左WGC2环.     

关于GNPP环的n-正则性

设R是环.本文中,我们主要证明以下陈述等价:(1) R是n-正则环;(2) 每一个左(右)R-模是Wnil-内射的;(3) 每一个循环左(右)R-模是Wnil-内射环;(4) R是左(右)GNPP,左(右)Wnil-内射环.     

FI-gr-内射模

本文引入了FI-gr-内射模及强FI-gr-内射模的概念,并说明它们与分次内射模之间的相互关系。证明了分次环R是分次QF环当且仅当每个分次模是强FI-gr-内射模;设R为左分次凝聚环,则l.FP-gr-dim(R)≤1当且仅当每个FI-gr-内射模是分次内射模。此外,还证明了l.gr-fiD(R)=sup{gr-pd(L)|L为FP-gr-内射模}。     

FCG-内射模、FCGP-内射模与某些环

定义了左FCG－内射模和左FCGP－内射模，研究了它们的一些性质，用左FCG－内射模刻画了左V－环。称一个环R为左FCG－遗传环，如果投射左R－模的有限余生成了模是投射的。给出了环R为左FCG－遗传环的一些等价条件和左FCG－遗传环为半单环的条件。当R为左余Noether环时，R为左FCG－遗传环当且仅当R的每个有限余生成左理想是投射的。左FCG－遗传环是Morita不变的。     

CN-环

研究CN-环的一些性质,主要证明了如下结果:①设R为CN-环和左SF-环,则R为强正则环;②R为约化环当且仅当R是左NPP环和CN-环;③CN-环的次直积也是CN-环;④设R为CN-环,则R为弱reversible环,反之未必;⑤设R为CN-环,每个单奇异左R-模Wnil-内射,则R为约化环;⑥设R为CN-环,每个单奇异左R-模YJ-内射,则R为约化的弱正则环.     

Von Neumann正则环(Ⅰ)

本文证明了如下主要结果: (1)环R是正则的当且仅当R的每个本质左理想均是左P—内射的; (2)约化环R是强正则的当且仅当R的每个极大本质左理想均是左P—内射的; (3)设R是左P—内射环,且R的每个闭左理想均由幂等元生成,那么R是正则的当且仅当对于R的任意本质左理想L,R/L是左P—内射模。 (4)环R是强正则的当且仅当Z(R)=0且R的任意主左理想是左理想的左零化子。     

关于fann-内射模

讨论了fann-内射模的等价刻画和基本性质,证明了○i∈ΛMi是fann-内射左R-模当且仅当每一Mi是fann-内射左R-模;若环R的每个有限生成闭左理想都是投射左R-模,则fann-内射左R-模的商模是fann-内射左R-模.同时讨论了一类特殊的fann-内射模--fann-自内射环的等价刻画及特性,证明了在左fann-自内射环里若左零化子理想l(I)是有限生成的,则δR/I是满射.最后讨论了fann-自内射环的零化子条件以及理想的自反性,证明了左fann-自内射环的有限生成理想l(I)是自反模.     

分次单内射模及其刻画

本文引入了分次单内射模的概念。设R是分次环,分次R-模N称为分次单内射模,是指对任何分次单R-模S,有EXT1R(S,N)=0。也给出了分次单内射模的系列等价刻画,证明了若R是左分次Artin环,或R是分次Krull维数不超过1的分次Noether环,则分次模E是分次内射模当且仅当E是分次单内射模。     

群环的代数结构

设R 是有单位元的环,G 是一个群.本文主要证明了:(1)群环RG 是左fp一自内射环当且仅当R 是左fp 一自内射环且G 是局部有限群;(2)RG 是左IF 环当且仅当R 是左IF 环且G 是局部有限群:(3)刻化了凝聚群环和半遗传群环的特征.     

P—内射环的几个新结果

本文中,我们证明了如下主要结果: 1 如果R是左P-内射环,R又是半素的,且L是R中的极大左零化子,那末L是R的极大左理想,且存在e=e~2∈R使L=Re。2 如果R是左P-内射素环,且有极大左零化子,那末R是左、右本原环。3 设R是左自内射环,那末R是正则环当且仅当对任意本质左理想L,R/L是左P-内射模。4 如果R是强左P-内射环,那末R/Z是正则环。     

上平坦模刻划的环

利用FP内射模、上平坦模对半遗传环、pp环、正则环、IF环进行若干有意义的刻划：1）R是右pp环当且仅当p-内射模的同态像是p-内射模;2）R是右半遗传环当且仅当任一右R－模的两个上平坦子模的上平坦;3）R是右IF环当且仅当R是左凝聚环和左上平坦环;4）R是正则环当且仅当R是右IF环、右pp环,且对每个右p-内射模M,RM平坦。     

AP-内射环与连续环

主要研究了AP-内射环成为连续环的条件.在AP-内射环满足C2条件的基础上,结合Baer环、duo环、半完全环、MI环等,探索了何时AP-内射环也满足C1条件,从而成为连续环,得到了一些相关结果:(1)设R是左AP-内射、左duo环,若R又是局部Baer环,则R是左连续环;(2)设R=i∈IRi是左AP-内射环,其中Ri是一致左理想,若R是Baer环且左duo,则R是左连续环;(3)设R是左AP-内射、左duo环,若R又是半完全的Baer环,则R是左连续环;(4)设R是左AP-内射环,RR是弱内射的,则R是左连续环;(5)设R是左AP-内射、左MI环,则R是左连续环.     

非奇异环的同调刻画

引入ZP-平坦右模来刻画左非奇异环.设R是环,右R-模N称为ZP-平坦模,是指对任意a∈Z(RR),有TorR1(N,R/Ra)=0;左R-模M称为ZP-内射模,是指对任意a∈Z(RR),有Ext1R(R/Ra,M)=0.证明了关于ZP-平坦模的Lambek准则,即右R-模N是ZP-平坦模当且仅当其特征模N+是ZP-内射模.还证明了R是左非奇异环当且仅当任意右R-模是ZP-平坦模当且仅当内射左R-模的商模是ZP-内射模.     

关于内射模的几个注记(Ⅱ)

借助于内射模的性质,证明如下主要结果:1) 若内射R-模的每个子模内射,则R是遗传环;2) 若环R的每个循环左R-模投射,则R是半单环;3) 遗传环上平坦模的子模平坦.     

n-凝聚环的若干刻划

通过引入FPn-内射右模与FPn-平坦左模来刻划右n-凝聚环，证明了R是右n-凝聚环当且仅当FPn-内射右R-模组成的模类是上分解的(n≥1)，当且仅当FPn-平坦左R-模组成的模类是分解的(n≥2)．     

关于拟WGP-内射模

定义了拟WGP-内射模,给出了拟WGP-内射模的一些刻画及性质。设R为环,M是右R-模,S=End(M),证明了MR是一个右拟WGP-内射模当且仅当对于任意的0≠a∈S,存在0≠c∈S,使得ac≠0且lS(ker(ac))=Sac;设M是右拟WGP-内射的自生成子,S半素,则S的每个极大核是M的直和项;设MR是右拟WGP-内射模,对于S的任意右一致元u,Au={s∈S|kers∩u(M)≠0}是包含ls(u(M))的一个极大左理想,从而推广了WGP-内射环的一些结果。     

模具有CS性质的环

给出了模具有CS性质的环成为QF环、自内射环和连续环的一个充分条件:定理设R是左Kasch环,对于任意集A,若(R(A)是CS右R模,则R是QF环;(R(2)是CS右R模,则R是右自内射环;(R是CS右R模,则R是右连续环;如果每个CS右R模是X1ΣCS模,那么环R具有有限长度.