一类高阶非线性微分方程解的稳定性

本文对高阶非线性微分方程组x=f_1(x,y,x,y,x,y)…y=f_2(x,y,x,y,x,y)的某些特殊类型,研究了平凡解的全局渐近稳定性[1],用类比法[2]构造李雅普诺夫函数,得到了全局渐近稳定性的一些充分条件。主要结果为定理2、定理3和定理4。文中具体研究了如下三种类型的方程:和x a_1x a_2y a_3x a_4y f(x)=0…y b_1x b_2y b_3x b_4y g(y)=0x a_1x a_2y f(x) a_4y a_3x=0…y b_1x b_2y b_3x g(y) b_6y=0x f(x) a_2y a_3x a_4y a_5x=0…y b_1x g(y) b_3x b_4y b_6y=0其中ai,bi(i=1.2.…,6)均为常数,f和g具有保证解对初值唯一性的条件。     

论系统(?)的V.I.Arnold问题

系统{dx=a_1x~2+b_1xy+a_2x+b_2y+c_2dt{dydt=a_1xy+b_1y~2+a_3x+b_3y+c_3是一种特殊的二次微分系统.系统(1)的V.I.Arnold问题是该问题中n=2的一种特殊情况.关于V.I.Arnold问题当n=2时的一般情况均已完全解决.(请参阅[1][2][3][4]).本文想从系统(1)右端多项式的系数中构造一个矩阵A,进而通过矩阵A的若唐(C.Jordan)法式.把系统(1)分类,从而由矩阵A的特征根、特征向量来直接确定奋点及其稳定性.     

关于微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)的解法

讨论了微分方程dy/dx=a_1x b_1y c_1/a_2x b_2y c_2的一般解法,并给出了该微分方程的另一种解法。     

关于一类不等式的再次推广

1引言 文[2]对文[1]的结论作了推广和引伸,得到了如下的定理. 定理1 设a_1,a_2,b_1,b_2∈(a,b) a_1+a_2=b_1+b_2,且a_1≤b_1≤b2≤a2 若在(a,b)上f″(x)>0,则 f(b_1)+f(b_2)≤f(a_1)+f(a_2) (1)若f″(x)<0,则 f(b_1)+f(b_2)≥f(a_1)+f(a_2) (2) 本文首先指出,定理1的条件f″(x)>(<)0可放宽为f″(x)≥(≤)0,事实上,     

续论方程ax+by+cz=n

设a,b,c为正整数,(a,b,c)=1,x,y,z为非负整数,(a,b)=d,a=a_1d,b=b_1d,u,v为非负整数,当a_1u+b_1v能够表出c时,(1) ax+by+cz所不能表出的最大整数为M=(ab)/(a,b)+c(a,b)-a-b-c. [1]在a_1u+b_1v不能表出c时,c可以表成c=a_1r-b_1s或c=b_1s-a_1r,其中 a_1r+b_1s相似文献   

两点边值问题的双向迭加法

考虑二阶线性常微分方程的两点边值问题: Lu=f(x),a≤x≤b (1) (I){ a_1u′(a)+a_2u(a)=α,b_1u′(b)+b_2u(b)=β (2) (a_1~2+a_2~2≠0,b_1~2+b_2~2≠0)不失一般性,算子L可看作 Lu=u″(x)-q(x)u(x) (3) 众所周知,方程(1)的通解具有如下迭加结构: u(x)=c_1u_1(x)+c_2u_2(x)+u_f(x) (4)其中u_1,u_2为对应(1)的齐次方程     

关于环的特征与交换性

本文主要讨论了含单位元的无零因子环内特征与交换的关系,得到如下主要结果: 定理1 设R是一个含单位元且无零因子的环,|R|≥p,且~a∈R,(a+e)~p=a~p+e,则charR=p。 定理2 设R是一个含单位元且无零因子的环,存在质数p>1,p≠CharR,使得~a∈R,(a+e)~p=a~p+e,则R为一个有限域。 定理3 假设1)R是一个特征为零的、含单位元、无零因子的环; 2)~x,y∈R,存在整数a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3使得:a_1xy~2+a_2yxy+a_3x~2y+b_1xyx+b_2yx~2+b_3y~2x=0则当R为可换时,(a_1+2b_3)(2a_1+a_2)(b_2+2a_3)(2b_1+b_2)≠0 反之,当此式左端任一因子不为零时,R为一个交换环。     

二元二次方程组的一般解法

中学课本里,对二元二次方程组只介绍了几种特殊解法。有些二元二次方程组,应用特殊方法求解,是比较困难的。因此,有必要对二元二次方程组的一般解法作一研究。对于二元二次方程组:[a_1x~2+b_1xy+c_1y~2+d_1x+e_1y+f_1=0 (1) a_2x~2+b_2xy+c_2y~2+d_2x+e_2y+f_2=0 (2) ](A)我们在复数体内研究它的一般解法。     

关于两个自变量的二阶线性偏微分方程经过可逆变换后类型不变的一个证明

对于弦振动方程、热传导方程及位势方程的定解问题,带有不同的定解条件,其解的性质也不相同,并反映了不同的物理现象,在数学上归结为对方程的分类进行研究。考虑二阶线性偏微分方程: a_(11)u_(xx) 2a_(12) u_(xy) a_(22)u_(yy) b_1 u_x b_2u_y cu=f……………………………………(*) 其中系数a_(11),a_(12),a_(22),b_1,b_2,c及f均为x,y的已知函数。为了对方程(*)进行分类研究,首先要进行方程的简化工作。即:对方程(*)施行可逆的自变量变换:     

Fuzzy 群的几个等价定义

本文将要用到〔3〕中引入的若干概念,为叙述方便,简列于后。集X 到〔0,1〕的一个函数A 称为X 的一个fuzzy 子集;X_1={x∈X|A(x)>0)称为A 的承集。x_λ称为X 上的fuzzy 点;若x_λ(a)={λ当a=x 0 当a≠x a∈X;点x 叫它的承点。x_λ∈A 即0<λ≤A(x);x_λ=y_μ即x=y 且λ=μ;x_λ(?)y_μ即x=y 且λ≤μ。“(?)”是fuzzy 子集A 上的运算:(?)a_λ,b_μ∈A,存在唯一c、∈A,记作a_λ(?)b_μ=c_(?),使当a_(λ′)(?)a_λ,b_(μ′)(?)b_μ时,a_(λ′)(?)b_(μ′)(?)a_λ(?)b_μ,称“(?)”为A 的广义积。当v=min(λ,μ)时,记a_λ(?)b_μ=c_ν为a_λb_μ=c_ν,称为A 的狭隘积,以下仅讨论这种狭隘积。     

二次系统不存在极限环的条件

本文讨论平面二次动力系统dx/dt=P_2(x,y)、dy/dt=Q_2(x,y) (E_2)的积限环问题,其中P_2(x,y)Q_2(x,y)都是x,y的二次多项式,由叶彦谦[1]第12节可知,除去一些不存在极限环的情形外,系统(E_2)可分为下列三类:     

二阶非线性变系数微分方程组的全局稳定性

考虑系统 x=-a_1(t)f(x)+a_2(t)ф(y) y=a_3(t)x-a_4(t)y,f(0)=0,ф(0)=0 (1)定理1 假设成立条件(假定本文所考虑的函数均连续可微): 1)x·f(x)>0,(x≠0),且|f(x)|≥|x|; 2)对于一切t≥t_0,有a_1(t)≥a_1(>0);a_2(t)≤a_2(>0),a_3(t)≤a_3(0),a_4(t)≥a_4(0),(a_2+a_3)/(a_1~(1/2)·a_4~(1/4))<2 3)|φ(y)|≤|y|; 4)lim |x|→integral from n=0 to x (f(x)dx=+∞)则非线性系统(1)的零解是全局渐近稳定的。     

实系数二元二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f(a2+b2+c2≠0)可分解因式的条件及其分解方法

本文利用初等数学知识,以及高等数学中的线性代数知识,结合具体的例题,详尽地论述了实数范围内二元二次多项式ax2 bxy cy2 dx ey f(a2 b2 c2≠0)可分解因式的条件及其分解方法——具体给出实数范围内二元二次多项式ax2 bxy cy2 dx ey f(a2 b2 c2≠0)可分解因式的三个充要条件和一个必要条件,以及六种分解方法。文中同一例题在不同分解方法中的使用,更增添了各种分解方法之间的可比性。     

一类多元多项式可分解因式的一个充要条件

在高等代数上给出了二元二次多项式在复数域上可分解因式的充要条件。本文拟将这类多项式推广,并给出它们在任意数域上可分解因式的一个充要条件。     

二次曲线弦中点轨迹的求法

二次曲线弦的中点轨迹,按定义来求比较复杂.现在我们给出一种求法,它可以使这个问题简单化、公式化.二次曲线的一般形式为:F(x,y)=a_(11)x~2+2a_(12)xy+a_(22)y~2+2a_1x+2a_2 y+a_(32)=0.构造一函数:定义:已知一点 P(x,y),如果此点与某一焦点在二次曲线的同测.则称此点 P(x,y)为二次曲线的内点,如果此点与焦点在二次曲线的异侧则称为外点。     

线性空间分解的一个充分必要条件

章利用最小多项式来讨论线性空间的分解，给出线性空间是值域与核的直和(即y=AV○ A^-1(0)的一个充分必要条件：x是A的最小多项式m(x)的不超过一次的因式；并将此结果作了推广。     

非正规边值条件下的二阶非自伴边值问题

(一)常型的二阶边值问题(E)y″ q(x)y=-λy U_1y=a_(11)y(0) a_(12)y′(0) a_(13)y(1) a_(14)y′(1)=0 U_2y=a_(21)y(0) a_(22)y′(0) a_(23)y(1) a_(24)y′(1)=0 q(x)∈c[0,1]常分为自伴与非自伴二类,在自伴情形(即当 q(x)为实值函数且 U_1y、U_2y 为自伴边值条件时),系一古典问题,此时(E)恒有可数个实的单重特征值,且其特征展开式的收敛性质与它的富氏展开式是同等的。至于(E)在非自伴情形(即当 q(x)是复值函数,U_1y、U_2y 系一般边值条件时),其特征值分布状况及其特征展开式的性质,亦已有所讨论(关于更高阶的一     

捕食与被捕食种群具有常数收获(存放)率的二维Volterra模型的全局分析

文[1,231-232]、[2]、[3,279-280]提出具有常数收获(存放)率的二维 Volterra 模型:(dx)/(dt)=x(a_(10) a_(11)x a_(12)y)-h=P(x,y)(E)(dy)/(dt)=y(a_(20) a_(21)x a_(22)y)-h=Q(x,y)文[1,29-231)(a_(22)=0)、[4](k=0,h>0)、[5],[6]、[7]等讨论了(E)为不同情况时的定性性质.本文讨论了(E)为捕食与被捕食关系(h,k≠0)时的全局性质,得到了如下的结果:系统(E)具有常数收获率时,当h<(a_(10))/(4a_(11)),(g_1~2-4a_(22)k)~(1/2)0,k_1,k_2分别为平衡点处等倾线P(x,y)=0,Q(x,y)=0的斜率,((2k_2-k_1)k_2)>0)时,四个平衡点(若存在的话)中两个相对的平衡点是鞍点,另两个平衡点一个是稳定结点,另一个不稳定的结点,此时不存在极限环,渐近稳定的区域为趋向于鞍点的两个相对鞍点的分界线所夹的角域。系统(E)具有常数存放率时唯一的正平衡点是全面渐近稳定的。并通过无限远点的分析相应的作出了轨线的全面结构图。     

n元实二次多项式因式分解的矩阵判别法

用矩阵方法给出了一个判别实ｎ元二次非齐次多项式可分解为二个一次因式的乘积的方法，解决了这类多项式的因式分解问题。     

一类二维VOLTERRA模型的全局定性分析

考虑二维Volterra模型:dx/dt=x(a_(10)-a_(11)x a_(12)y) h=xf(x,y) h(E)dy/dt=x(a_(20) a_(21)x-a_(22)Y) k=yg(x,y) k的全局性质,其中(x,y)R={(x,y)|x>0,y>0},a_(ij)>0(i=1,2;j=0,1,2),h>0,k>0.得到了系统(E)能够作出全局相图的充分条件:△=a_(11)a_(22)-a_(12)a_(21)>0