包含广义Euler函数φ3(n)和Smarandache函数S(n)的一方程的解

令φ_e(n)为广义Euler函数,S(n)为Smarandache函数,其中e为正整数。探讨包含广义Euler函数φ_3(n)和Smarandache函数S(n)的方程φ_3(n)=S(n~8)的可解性问题,利用这2个数论函数的有关性质,给出了这一方程在φ_3(n)=3~(-1)φ(n)条件下无正整数解的结论。     

数论函数方程kφ(Y)=φ2(Y)+S(Y 8)的解

该文讨论了包含φ(n)、φ_e(n)与S(n)3个数论函数的方程kφ(Y)=φ₂(Y)+S(Y ⁸)的可解性.利用这3个数论函数的性质,得到了该方程只在k=1、2、4、5、9、11时有正整数解,并给出了其具体的正整数解,其中函数φ(n)是Euler函数,函数φ_e(n)是广义Euler函数,函数S(n)是Smarandache函数.     

与广义Euler函数φ2(n)有关的两个方程

讨论了与广义Euler函数φ_2(n)有关的两个方程φ_2(x-φ_2(x))=2与φ_2(φ_2(x-φ_2(x)))=2的可解性,利用初等的方法给出了方程φ_2(x-φ_2(x))=2所有的5个整数解,方程φ_2(φ_2(x-φ_2(x)))=2所有的26个整数解.     

Euler函数φ(n)与广义Euler函数 φ2(n)混合的两个方程

令φ(n)为Euler函数,φ_e(n)为广义Euler函数.讨论了Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_2(n)混合的两个方程φ_2(φ(m-φ_2(m)))=2与φ(φ_2(m-φ2(m)))=2的正整数解,利用分类讨论的方式及初等方法,分别得到了这两个方程各自的所有正整数解.     

数论函数方程φ(ab)=11φ2(a)+13φ2(b)的可解性

令数论函数φ(n)为Euler函数,数论函数φ_e(n)为广义Euler函数,基于Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_e(n)混合的不定方程的可解性,提出了方程φ(ab)=11φ_2(a)+13φ_2(b)的整数解的求解问题,利用函数φ(n)与φ_2(n)的有关性质,采用分类分段的讨论方式,得到了该方程有21组正整数解.     

方程kφ(m)=S(mt)的正整数解的讨论

Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)是数论中的两个重要的数论函数.包含Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)的方程的可解性问题引起了众多数论爱好者的关注,并取得了丰富的研究成果.本文将考虑方程kφ(m)= S(m31)的可解性,基于Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)的性质以及初等的方法给出该方程只在k=1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,16,24,32,33时有正整数解,并给出了其全部的正整数解.     

有关Euler函数φ(n)的几个非线性方程

令φ(n)是Euler函数,它是数论中重要的数论函数之一.包含Euler函数φ(n)的线性方程整数解的研究成果极为丰富.本文考虑了当b取某些整数时的包含Euler函数φ(n)非线性方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)±b.对于奇数b,利用初等的方法证明了该方程有整数解时b,k1与k2的一些条件.并结合所给出的条件讨论了几个具体方程的整数解,给出了它们的各自的整数解.对于偶数b,讨论了一个具体形式的方程的整数解,利用初等的方法给出了其全部的整数解.     

方程SL(n)=φe(n)的正整数解

设n,e>1均为正整数，利用初等的方法和技巧，以及Smarandache LCM函数和广义Euler函数的基本性质，讨论e∈{2,3,4,6}或e|φ(n)时，数论函数方程SL(n)=φ_e(n)的可解性，并给出该方程全部的正整数解．     

一个与Euler函数φ（n）有关的方程的正整数解

设N为正整数,φ(N)为Euler函数.讨论了方程φ(xy)=7(φ(x)+φ(y))的可解性问题,利用初等方法给出了其全部的正整数解.     

关于Euler函数φ(n)的一个四元变系数混合方程的解

讨论了有关Euler函数φ(n)的四元变系数混合方程φ(xyzω)= 3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(ω)的正整数解,利用Euler函数φ(n)的计算公式以及初等方法,得到该方程有372组正整数解,并给出其满足x≤y,z≤ω的93组正整数解.     

若干包含Euler函数φ(n)的方程

设n为任意正整数, (n)是Euler函数, Ω(n)表示n的素因数个数. 利用数论中的理论和方法, 研究三类方程n-(n)=2^Ω(n), n-((n))=2^Ω(n)和(n-(n))=2^Ω(n)的可解性问题, 获得了这三类方程的所有正整数解.     

与Euler函数φ(n)有关的几个方程

研究了方程φ(x-φ_2(x))=2与φ_2(x-φ_2(x))=2的正整数解的问题,利用初等方法给出了这两个方程的所有正整数解,其中φ(n)是Euler函数,φ_2(n)是广义Euler函数.     

一类Euler函数方程的解的上界

设φ(n)为正整数n的Euler函数,讨论了Euler函数方程φ(x1…xn-1xn)=m(φ(x1)+…+φ(xn-1)+φ(xn))的求解问题,给出了该方程的所有正整数解的较为精确的上界.作为应用,对于一些给定的正整数m和n,求出了此时方程的全部正整数解.     

一类包含Smarandache函数方程φ（n）=S（n^10）

利用初等数论、组合分析以及C＋＋程序对方程φ（n）=S（n^10）进行讨论,证明了该方程仅有正整数解n=1,这里对于任意正整数n,φ（n）和S（n）分别表示关于n的Euler函数和Smaran-dache函数。     

一个包含勾股数及完全数的三元变系数Euler函数方程的可解性

利用初等方法、Euler函数的性质,探究了一个包含勾股数及完全数的三元变系数Euler函数方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-6的可解性,并证明了该方程有39组正整数解.     

欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的正整数解

研究了方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的可解性问题,φ(n)定义为欧拉函数。利用欧拉函数的性质和初等数论的方法,得到了该方程的所有正整数解。     

关于数论函数方程ωЧ（Ч（n））=2ω（n）的可解性问题研究

对任意的正整数n,函数Ч（n）为著名的Euler函数,即在序列1,2,．．．,n-1,n中与n互质的整数的个数;函数ω（n）表示任意正整数n的所有不同质因数的个数。文章利用初等方法研究了Ч（Ч（n））=2ω（n）方程的可解性,并给出了该方程的全部正整数解。