求解非凸优化问题的同伦内点法研究进展

自Karmarkar内点法被解释成同伦算法之后,以内点同伦算法为代表的同伦路径跟踪算法的研究迅速发展起来。目前同伦内点算法用于求解非凸优化问题的理论与算法尚未完善,本文主要总结求解非凸优化问题的同伦内点法相关研究成果,并指出求解非凸优化的同伦内点算法有待于进一步深入研究的主要问题。     

组合同伦内点算法求解一类非凸无界优化问题

用组合同伦内点算法求解一类非凸无界优化问题, 在适当的条件下得到了同伦路径的存在性. 结果表明, 沿着此同伦路径跟踪, 即可得到非凸优化问题的K-K-T点.     

非凸优化问题的同伦方法

考虑带有不等式约束的非凸优化问题, 利用同伦方法通过构造一个新同伦方程, 证明了同伦路径的存在性、 有界性和收敛性, 获得了非凸优化问题K-K-T点的一个新充分条件, 并用数值例子验证了算法的可行性.     

无约束非凸优化问题同伦算法的一个收敛性定理

利用同伦方法求解无约束非凸优化问题, 对KT方程构造了不动点同伦, 并给出同伦路径的性质, 证明了选取合适的同伦方程, 该算法一定不收敛于极大值点.     

解非凸优化问题的一个同伦内点方法

用同伦内点算法求解带有非凸可行域的约束优化问题时,非凸可行域的边界刻画条件是算法收敛的重要条件之一.在弱伪锥条件下, 构造了新的组合同伦方程,证明了对可行域的某个子集中几乎所有的内点,同伦路径存在且收敛于问题的K-K-T点.     

凸非线性规划的一个预估-校正跟踪路径算法

提出一个预估-校正跟踪组合内点同伦路径算法,证明其全局收敛性,并用实数值算例验证其有效性.该算法由任意给定的一个内点,通过跟踪组合同伦路径得到凸非线性规划问题的解,并由β-锥邻域在可行域的内部确保迭代点是内点.该算法全局收敛,是一种求解凸非线性规划问题的有效算法.     

法锥条件下非凸规划的非内点同伦方法

利用不可行的内点同伦方法(CHIIP)求解非凸规划问题的KKT点. 证明了当非凸规划问题的可行域满足法锥条件时, 跟踪同伦方程产生的同伦曲线可得到非凸规划问题的KKT点, 且该算法具有全局收敛性.     

同伦方法求解无约束非凸优化问题的局部极小

利用同伦方法求解无约束非凸优化问题,证明了在同伦映射为正则映射的条件下,选取合适的同伦方程,当算法可以排除鞍点时,同伦方法一定收敛到局部极小解,而非极大解.     

多目标凸规划问题有效解集的求法

利用组合同伦内点法研究了多目标凸规划的求解问题,得到了多目标凸规划问题的有效解集,证明了同伦内点算法的全局收敛性.数值例子表明此算法是可行并且有效的.     

混合约束非凸规划拟锥条件下的同伦方法

使用同伦算法研究混合约束的非凸非线性规划问题. 当规划问题为混合约束（带有等式约束）时, 可行域变成一个边界区域, 并没有内点. 通过对可行域定义新的拟锥条件, 给出相应同伦方程, 并证明此同伦算法在此拟锥条件下具有全局收敛性.     

用同伦方法求解一类半无限规划问题

给出一种求解半无限规划问题的同伦内点方法,在适当的条件下,构造性地证明了连接X内部任意给定点与半无限规划的解同伦路径的存在性,从而构建了可数值实现的全局收敛性算法。     

解一类双层规划问题的组合同伦方法

通过构造组合同伦方程提出组合同伦方法解决一类双 层规划问题, 证明了组合同伦路径的存在性是平的, 并且同伦路径全局收敛到双层规划问题的KKT点.     

半内点同伦方法解均衡规划问题

通过给出求解含有等式和不等式约束条件均衡规划问题的半内点组合同伦方程, 在较弱的条件下证明了从n内任意一点出发同伦路径的存在性、 有界性和收敛性, 并利用数值算例验证了半内点组合同伦方法求解含有等式和不等式约束条件均衡规划问题的可行性与有效性.     

求解一般凸多目标规划最小弱有效解的组合同伦内点方法

构造求解一般凸多目标规划等价的单目标规划K-K-T点的同伦方程,在M-F约束规定及外法锥条件下,证明了几乎对多目标规划可行域的任一内点,同伦方程可产生一条光滑、有界的同伦路径,并证明了数值追踪同伦路径将得到一般凸多目标规划最小弱有效解。     

混合约束多目标优化问题的凝聚同伦内点方法

考虑用凝聚同伦内点法求解带有等式和不等式约束的凸多目标优化问题, 先用凝聚函数法将目标函数和约束条件进行光滑逼近, 再用组合同伦方法证明可行域内任一点在广义弱法锥条件下几乎处处收敛于混合多目标问题的弱有效解. 数值计算结果表明, 所给方法有效、 可行.     

同伦方法求解一类非凸规划问题的局部极小

利用组合同伦内点方法求解目标函数为凸的一类非凸规划问题, 证明了在同伦映射为正则映射的条件下, 同伦方法一定收敛到局部极小解, 并得到了当目标函数非凸时, 若非凸规划问题所有的K-K-T点均在可行域边界上, 则此同伦方法在同伦映射为正则映射的条件下, 也收敛于局部极小解.     

凸规划的动边界组合同伦方法及其收敛性

给出动边界组合同伦方法, 在Slater条件及一种强制条件下证明了同伦路径的存在性和收敛性. 与已有的组合同伦内点法相比, 去掉了初始点为可行集内点的限制条件. 数值例子表明, 此算法是有效的.