围长为4的平面图是4-可选色的

1994年，ThomassenC证明了每一个平面图是5-可选色的，于1995年，ThomassenC又证明了每一围长至少为5的平面图是3-可选色的．现用递推归纳法证明每一围长为4的平面图是个可选色的．甚至当确定图中任一个4圈的着色时，该结论也是成立的．     

平面图的（4，1）＊—可选性

图G称为（k,d)＊－可选的,如果对满足条件│L(v)│＝k(v∈V（G））的任意指派L,存在G的一个L着色使得G的每一个顶点至多有d个邻点与之着同色,本文证明了每个无4－圈的平面图是（4,1）*-可选的。     

含不相邻3圈的平面图的3选色

证明了dis(c3,c3)≥3,且不含4,5,6圈的平面图是3可选色的,同时还证明了dis(c3,c3)≥2,且不含4,5,7圈的平面图是3可选色的.     

平面图的(4,1)*-可选性

图G称为 (k ,d) 可选的 ,如果对满足条件L(v) =k(v∈V(G) )的任意指派L ,存在G的一个L着色使得G的每一个顶点至多有d个邻点与之着同色 .本文证明了每个无 4 圈的平面图是 (4 ,1) 可选的 .     

平面图正常4—着色数的一个计算公式

四色定理等价于任何准极大平面图（near-triangulation）至少有一个正常4－着色。给出了对任意给定的准极大平面图都能准确求出其正常4－着色数的计算公式,该公式的复杂性揭示了四色定理本身所蕴涵的难度。为研究四色定理提供了一条与以往不同的途径。     

关于图的路色数的一些结果

本文研究图的路色数，首无得到图的路色数的一些基本性质，其次给出了G满足X（G；P2）小于等于2的一个充分必要条件，该条件可以有效地应用于极大平面图和2－连通极大外平面图，最后证明了图的K－路色数问题NP-完全性（K≥3）。     

可2^n——色图的充要条件

给出了可２＾ｎ－色图的一个充要条件，根据文（１）这是尚未可知的。     

L－酪氨酸高氯酸盐的晶体结构

在水溶液中制备了标题化合物Ｌ－酪氨酸ＨＣｌＯ４，并用Ｘ射线单晶衍射仪测定了其晶体结构。晶体属单斜晶系，Ｐ２１空间群。晶胞参数：ａ＝０．５３３５（１）ｎｍ，ｂ＝０．９８１７（２）ｎｍ，ｃ＝１．２０００（３）ｎｍ，β＝９４．７９（２）°，Ｖ＝０．６２６３（３）ｎｍ３，Ｚ＝２，Ｄｃ＝１．４９４ｇ／ｃｍ３     

平面图G有X(G)=3的充要条件

染色问题是图论的一个重要领域，在四色定理得到证明［１］之后，仍然存在“什么样的平面图 可以３－染色？”这样的难题［２］．目前已有结果：“欧拉极大平面图Ｇ有ｘ（Ｇ）＝３”［３］、［４］，本 文在研究０－１循环排列的基础上给出了平面图Ｇ有Ｘ（Ｇ）＝３的充要条件．     

图的连通Domination数与若干不变量的联系

研究了图的连通控制数与全控制数、无赘数、点色数、点荫度等不变量之间的关系．将 文［２］中的一个结果ｒｃ（Ｇ）≤４ｉｒ（Ｇ）－２改进为ｒｃ（Ｇ）≤３ｉｒ（Ｇ）－２，且上界可达。     

无3-，6-，9-和10-圈的平面图的3-可选择性

证明了每个围长至少是4且不含6-圈，9-圈和10-圈的平面图是3-可选择的.     

无相邻三角形平面图的(4,1)~*-可选性

若对任一顶点给定k种颜色的列表,染色时每个顶点的颜色只能从自身的颜色列表中选择且每个顶点至多有d个邻点染相同的颜色,总存在图G的一个顶点的正常着色,则图G称为(k,d)*-可选色的.文章证明了每个无相邻三角形的平面图是(4,1)*-可选色的.     

可平面图3可选择的一个充分条件

给G=(V,E)的每个顶点分配一个色列表L={L(v)|v∈V},若G有一个正常顶点染色φ,使得对每个顶点v∈V,都有φ(v)∈L(v),则称G是L可染的。若对G的每一个满足|L(v)|≥k,v∈V的L,G都是L可染的,则称G是k可选择的。本文通过权转移方法证明了每个不含4,6,8,10圈的可平面图是3可选择的。     

没有某些圈的平面图的3可选择性

设G=(V,E)是一个图,对G的每一点v给一颜色集L(v).G称为L列表可染的,如果存在G的点染色f满足:f(u)≠f(v),(u,v)∈E(G),且f(u)∈L(u),u∈V(G).G称为k可选择的,对于任何列表L(v)(这里每一个L(v)恰有k个元素)G都是L列表可染的.本文研究了没有某些圈的平面图的可选择性,证明了没有4,5,7,10圈的平面图是3可选择的.     

围长不小于11且最大度为3的平面图的无圈列表边染色

若图G为最大度为3且围长不小于11的平面图,证明了它的无圈边色数a′list （ G）＝3。     

平面图的无圈边染色

利用差值转移的方法证明了,如果g（G）≥4则有X′a≤Δ（G）＋4.图G=（V,E）是简单图,映射C：E→[k],被称作是图G的一个无圈k边染色.如果任意相邻的两个边染有不同的颜色,以及图G中不含有2-色圈,换句话说即图G中任何染两种颜色的边的导出子图是一棵森林.     

超环面图上的约束数

非空图G的约束数b(G)是指使得图G的控制数γ(G)增大而删除的最少的边数.[Fischermann M, Rautenbach D, Volkmann L. Remarks on the bondage number of planar graphs. Discrete Math,2003,260:57-67\]已经证明,对于一个围长为g(G)的平面图G,如果g(G)≥4则b(G)≤6,如果g(G)≥5则b(G)≤5,如果g(G)≥6则b(G)≤4,如果g(G)≥8则b(G)≤3.我们把这个结果推广到连通的超环面图中.     

围长≥7最大度≥5的平面图的无圈列表边染色

对图G的一个正常边染色,如果图G的任何一个圈至少染3种颜色,则称这个染色为无圈边染色.若L为图G的一个边列表,对图G的一个无圈边染色φ,如果对任意e∈E(G),都有φ(e)∈L(e),则称φ为无圈L-边染色.用a′_(list)(G)表示图G的无圈列表边色数.论文证明:若图G是一个平面图,且它的最大度Δ≥5,围长g(G)≥7,则a′_(list)(G)=Δ.     

关于欧拉公式在(3，1)*-列表着色中应用的一个注记

如果对于图G的每个满足|L(v)|=k(其中v为G的任意顶点)的列表分配L,G都存在一个L-着色,使得G的每个顶点至多有d个邻居与其自己着有相同的颜色,则称图G是(k,d)*-可选的。在只用欧拉公式和图的结构性质研究2-连通平面图的(3,1)*-列表着色的基础上,研究欧拉公式在平面图的(3,1)*-列表着色中的应用,证明欧拉公式在研究有割点的平面图的(3,1)*-列表着色时也是有效的。