广义张量特征值的包含域

张量特征值问题是张量代数理论研究的主要课题,在许多科学领域中都具有重要应用.通过进一步研究正则张量对{A,B}的特征值{α,β}的一些性质,给出了广义张量特征值的新的包含域,并证明了所得到的区域比已有结果中的区域更小.数值例子说明了结果的有效性.     

张量广义特征值的新包含域

张量特征值问题在许多科学领域中都具有重要应用.通过进一步研究正则张量对{A,B}的特征值(α,β)的一些性质,给出张量广义特征值的新包含域,在理论上证明所得到的新包含区域比已有的结果更好,并用数值例子说明结果的有效性.     

四阶张量的Z-特征值包含集及其应用

针对四阶张量A的Z-特征值分布和Z-谱半径估计问题,首先利用Z-特征向量2范数为1的特性和不等式放缩技巧给出了A的Z-特征值包含集,随后通过构造张量Z-特征值排除集给出了A的一个更精确的包含集,最后由所得包含集给出了四阶弱对称非负张量Z-谱半径的一个新上界.     

张量Z-特征值的新包含域定理

张量Z-特征值问题在医学成像、判定多项式正定性等科学领域中都具有重要应用.给出张量Z-特征值的新包含域,并证明所得到的张量Z-特征值包含区域比文献(Wang G,Zhou G,Caccetta L. Discrete Contin Dyn Syst,2017,B22(1):187-198.)中定理3.4中得到的区域小.基于张量Z-特征值新包含域,得到非负张量Z-谱半径的新上界.数值例子说明结果的有效性.     

两个谱任意模式

设λ1,λ2,...,λn(可以相同)为实矩阵A的所有特征值,记为σ(A)=(λ1,λ2,...,λn).n阶符号模式矩阵S=(sij)是指元素取自{ ,-,0}的矩阵,S的定性矩阵类是指集合Q(S)={A=(aij)∈M\{n\}(R):对所有的i和j,sign(aij)=sij},记σ(S)={σ(A):A∈Q(S)}.设S为n阶符号模式矩阵,λ1,λ2,…,λn为n个任意复数,若λ1,λ2,…,λn中的虚数都与其共轭复数成对出现时,便存在A∈Q(S),使得σ(A)=(λ1,λ2,…,λn),则称S为谱任意模式.在本文中,我们得到两个谱任意模式.     

关于 Lucas序列的单调性

设A和B是不等于0的实数,Lucas序列{un}和{vn}满足递归关系：u0=0,u1=1,un 2=Aun 1-Bun(n∈N);v0=2,v1=A,vn 2=Avn 1-Bvn(n∈N）。本文确定了序列{un}和{vn}单调递增的充分必要条件,并用此结论得出了当m,n为非负整数,A,B为互素的非零整数且A^2≥4B时,um(A,B)│un(A,B),vm(A,B)│vn(A.B)的必要条件。     

非负矩形张量最大奇异值的S型上界

通过将集合N={1,2,…,n}划分为非空真子集S及其补集S,给出非负矩形张量A的最大奇异值λ_0的一个S型上界,改进了某些已有结果.最后,通过数值算例对理论结果进行验证,显示所得上界比现有估计精确且在某些情况下能达到真值.     

整数矩阵集上的Fermat方程

设A是m阶可逆整数矩阵,又设S(A)={Ak|k∈Z,k≥0}。设n是正整数。文中运用矩阵特征值的性质证明了:如果A有特征值α适合|α|21n或者n18m2(log6m)且A的特征值都不是单位根,则方程xn+yn=zn,x,y,z∈S(A)无解(x,y,z)。     

矩阵的特征值定位和非奇异性判定

通过将复方阵A分裂为A=sI-B(其中: s为任意复数; I为单位矩阵; B为复方阵), 利用矩阵非奇异性判定已有的方法, 得到了A的含有两个参数（s和正整数k）的特征值包含集和非奇异性的判定方法, 并证明所得特征值包含集和非奇异性判定方法比已有结果更精确、 更具一般性. 数值结果表明, 通过调节s和k, 可以对A的特征值进行更精确定位, 从而判定A的非奇异性.     

矩阵的特征值定位和非奇异性判定

通过将复方阵A分裂为A=sI-B(其中: s为任意复数; I为单位矩阵; B为复方阵), 利用矩阵非奇异性判定已有的方法, 得到了A的含有两个参数（s和正整数k）的特征值包含集和非奇异性的判定方法, 并证明所得特征值包含集和非奇异性判定方法比已有结果更精确、 更具一般性. 数值结果表明, 通过调节s和k, 可以对A的特征值进行更精确定位, 从而判定A的非奇异性.     

超图的谱研究

本文简要介绍超图的矩阵谱与张量谱理论的近期主要成果,给出了超图的各种矩阵表示,以及各种矩阵谱与超图参数之间的关系。介绍了张量的概念,以及用k阶张量表示k －一致超图的三种方式,定义张量的H －特征值和Z－特征值,用两种特征值描述超图的性质。     

张量与张量转置的特征值问题

研究了张量与张量转置的特征值问题,证明了张量的mode-p,特征对与张量p-转置的mode-i特征对是相同的,通过例子说明了张量与张量p-转置的mode-i特征值不一定相等,当mode-i特征值μ1和mode-j特征值μ1不相等时,对应的特征向量也不一定正交.从而说明了矩阵特征值的性质并不能完全推广到张量情形.此外,还给出了张量与张量p-转置的mode-i特征对相等时指标向量p需要满足的条件.     

矩阵特征值的估计

讨论了矩阵特征值的估计,得到了特征值分布的几个区域,在此基础之上给出了矩阵张量积特征值的分布区域.数值算例显示了所得结果的优越性.     

超图的子图特征值的研究

研究了偶一致超图的子图邻接张量的特征值,首先利用其最大特征值得到超图边割的下界,并证明这个界是紧的,指出当且仅当2个子图均为正则超图时下界成立,其次证明了k一致超图是正则超图的充要条件为全1向量是其邻接张量的H-特征向量,这是图谱理论中的相关性质在超图的推广.     

Ricci曲率平行的黎曼流形的刚性定理

该文研究Ｒｉｃｃｉ曲率平行的黎曼流形，将文（６），（７）中Ｅｉｎｓｔｅｉｎ流形的一些刚性定理推广到Ｒｉｃｃｉ曲率平行的黎曼流形上。     

地应力三维张量场的可视化技术研究

分析和研究地应力弹性二阶张量场的可视化技术。根据对地应力二阶张量的数学分析,得出了地应力场对应于二阶对称张量,导出了二阶对称张量在空间几何学中对应的二次曲面。结果表明,求取对称二阶张量问题可以归结为求取特征值与特征向量问题。解决了同时表示二阶对称张量场空间一点多个分量的难题和沿地应力某一主方向对称张量及二维对称张量的可视化问题。     

正规矩阵特征值分离度的下界

该文给出了正规矩阵和Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵特征值分离度的下界。它们改进了Ｌ．Ｍｉｒｓｋｙ的结果。     

求张量扩展特征值的幂法

针对与牛顿迭代相关的张量扩展特征值问题,在对已有张量特征值和幂法的研究基础上,提出了求解与牛顿迭代有关的张量扩展特征值和特征向量的幂法,分析了该幂法的收敛性。最后数值试验结果验证了该幂法的有效性。     

加权黎曼流形中超曲面的第一稳定特征值

加权黎曼流形(M~(n+1),g,e~(-f)dv)在黎曼流形(M~(n+1),g)上赋予一个加权体积dv_f=e~(-f)dv,其中f是M~(n+1)上的光滑实值函数, dv为M~(n+1)的体积元,记Σ~n为加权黎曼流形(M~(n+1),g,e~(-f)dv)中具有常加权平均曲率H_f的紧致无边超曲面,在截面曲率■的条件下,研究了超曲面上加权稳定算子J_f的第一特征值问题,运用了不等式■等号成立当且仅当■,其中任意的a,b∈R和k-1,得到了超曲面上第一稳定特征值的一个上界.当f为常数时,加权黎曼流形也就回到了通常的黎曼流形,此时也得到了稳定算子J的第一非零特征值的上界,进而从这个上界来讨论超曲面的稳定性.     

基于随机矩阵的特征值方差的频谱感知检测算法

传统的频谱感知能量检测易受噪声方差不确定性的影响,存在"信噪比墙"效应。频谱感知特征值检测跟能量检测一样,不需要信号任何先验信息,并且能在低信噪比下取得较好的检测性能。经典的特征值检测有最大最小特征值(maximum-minimum eigenvalues,MME)之比算法,最大最小特征值之差(maximum-minimum eigenvalues difference,DMM)算法等。这些算法只利用特征值的一阶统计量,不能充分反映全部特征值的统计特征。利用特征值二阶统计量提出一种基于特征值方差的频谱感知算法,选取能反映特征值整体波动的方差当作观测统计量,并利用矩阵迹的性质推导出该算法的理论门限。仿真证明:当噪声方差不确定性等于0 d B时,该算法的检测性始终优于MME算法。当噪声方差不确定性等于0. 2 d B时,能量检测(energy detection,ED)算法检测概率急剧下降,而特征值方差(eigenvalue variance,EV)算法检测概率仅下降10%左右,并且当信噪比(signal noise ratio,SNR)大于-17 d B时,EV算法的检测概率优于ED算法和MME算法。