α-调和函数在边界点的λ-细极限

R.A.Hunt和R.L.Wheeden在[1]中证明:Euclid空间R~P(P≥2)里一个Lipschitz域G上的非负调和函数f(x),若在一点x_0∈G有细极限,则必有相等的不相切极限。当P=2时,作者曾把这一结果推广到一般区域上的一般调和函数。本文将[1]的上述成果推广到非负α调和函数(0<α≤2,当α=2时,即为调和函数),同时去掉G是Lipschitz域的限制。 另一方面,[1]中证明。若Lipschitz域G上的函数f(x),在EG上每一点有有限的不相切极限,则在E上关于调和测度ε_y~1。几乎处处有细极限。本文把这一结果推广到对于     

复合函数求导数法则的证明的改进

设y=f(u),u=φ(x),u在x_0可微分;u_0=φ(x_0),y在u_0可微分,则复合函数y=f(φ(x))在x_0可微分,而且(1) dy/dx|_(x=x_0)=f′(u_0)·φ′(x_0)。这个复合函数求导数法则的证明,在通常的数学分析教科书上,有如下两种: 〔证法一〕给x从x_0起取增量△x(≠0),则相应地函数u从u_0起得增量△u,y从f(φ(x_0))起得增量△y。因为f′(u_0)存在,所以当△u≠0时,令α=△y/△u-f′(u_0),就有limα=0,而且 △u→0     

链式法则的一个证明

复合函数求导的链武法则是:设函数 u=(?)(x)在点 x_0处可导,y=f(u)在点 u_0(u_0=(?)(x_0))可导,则复合函数 f_0(?)(x)在点 x_0可导,且(f_0(?))′(x_0)=f′(u_0)(?)′(x_0)。对于这个法则,我们给出一个新的证明。为此先引入两个引理。定义设 E(?)R。f在 E 上有定义,x_0。∈(?)((?)是 E 的闭包),如果存在常数 l,对于任给ε>0,存在δ>0,当x∈(x_0-δ,x_0+δ)∩E-{x_0}时,恒有 f(x)∈(l-ε,l+ε),则称 f 在x_0关于 E 有极限 l。记作 l=(?)f(x)。     

迭代序列x_(n+1)=(α+βx_(n-k))/(1+sum from i=1 to k x_(n-i+1)~γ)的全局性质

通过函数f(x)=(α+βx)/(1+kxγ)在[0,+∞)上的单调性,并利用上下极限方法得到了非线性差分方程x_(n+1)=(α+βx_(n-k))/(1+sum from i=1 to k x_(n-i+1)~γ)正平衡点的全局吸引性,同时还得到正振动解的半循环分布.其中α>0,0<β<1,0<γ≤1,k∈N,x-k…x0是任意非负实数.     

一类混合型拟线性双曲抛物型方程的非线性边界问题

本讨论了以下两个问题：1．提出形式为α[a(v)αv(x,t)/αx]/αt＝0，αu(x,t)/αt－b(u)α^eu(x,t)/αt^2＝0的混合主程的非线性边界条件问题并将证明已知系数a(v),b(u）和解函数v(x,t),u(x,t)有其它们的各阶偏导数的iiiayдep和ГyДep型定（Aпpиopbbй aceHκa）。     

β+1＜p＜α+2＜p+p(β+1)/n时解的全局存在性

证明了当max(β+1,p)＜α+2＜p+p(β+1)/n时,且当初值属于某一类稳定集时,问题d/(at)(|u|β-1u)-Div(|▽u|p-2▽u)=▽·B(u)+|u|au;x∈Ω,t∈(0,T]u(x,t)=0; x∈(a)Ω,t∈(0,T]u(x,0)=u0(x); x∈Ω的全局解存在.     

电子注聚焦理论中所出现的非线性微分方程(Ⅱ)

作为文[1]的继续,本文利用方程(1),(2)的周期解u(x)的级数展开式(4)来研究此解的稳定性。所得结果与文[3]中借助于实验而得到的结果十分一致(见图1)。就是说,当0<α<0.4或0.658<α<1,u(x)是稳定周期解,而当0.4<α<0.658,u(x)是不稳定的。我们已在[1]中看到,在曲线u=u~*(x_0,α)(文[1]中简记为u=u~*(x_0),它表示(1),(2)的解族的第一个极小值点与极大值点的轨迹)的几何性质与(1),(2)的周期解的存在性与个数之间有着极为密切的关系。本文借助于数值计算进一步发现当α=0.4时,曲线u=u~*(x_0,α)的形状产生突变。就是说,当α增大而通过0.4时,u=u~*(x_0,α)由图2中的曲线Ⅱ变为曲线Ⅲ。所有这些现象以及前段所说的稳定性性质都有待于人们从理论上给以严格的证明。最后,本文从数学观点给几个熟知的实验结果(见[4],第三章,106页)以新的解释,它和工程师们所给的解释不一样。     

用极限精确定义证明极限的思想和方法

1 函数极限证明的基本思想 要证明x→x_0(或x→∞)时函数f(x)的极限是A,当ε>0后,如果我们能找到以x_0为中心的δ邻域(x_0-δ,x_0+δ)(或N>0),当x取这邻域中异于x_0的一切值(或|x|>N)时,不等式 | f(x)-A|<ε 恒能得到满足,则就证明了x→x_0(或x→∞)时,f(x)的极限是A。 问题在于怎样找到上述要求的点x_0的δ邻域(和N)? 从函数极限的精确定义中,我们知道,如果x→x_0时,f(x)的极限是A,则点x_0的δ邻域     

一类非线性椭圆型方程弱解的—C~(bα)正则性

研究了非线性椭圆型方程—div A( x, u) f( x) =B( x,u, u) ,在可控增长条件| B( x,z,h) |≤∧1| h| p( 1- 1/p* ) | z| p* - 1 g( x) 下 ,得到弱解的 C1,α正则性 ,其中 1 相似文献   

导数定义公式的一个推广及其应用研究

将导数在某一点的定义f(x0)=lim(h→0)f(x0+h)-f(x0)/h推广为f(x0)=limf[x0+α(x)]-f[x0+β(x)]/α(x)-β(x)(α(x)→0,β(x)→0),从而简化了有关导数定义一类问题的求解.     

各向异性非线性Schrdinger方程的整体可解性

研究了各向异性的Schrdinger方程iut Δu aux1x1x1x1 bux1x1x1x1x1x1 |u|αu=0的初值问题的整体可解性,其中a,b都是实常数,α是正常数。选取合适的p=2(α|2)/αs 2,利用非线性项|u|αu的估计和各向异性的Schrdinger算子S(t)的Lp'-Lp估计,以及利用Banach不动点定理,获得了整体(几乎整体)解在Es(ETs0)中的存在性。     

非线性椭圆型方程的非局部边值问题

考虑下面非线性椭圆型方程非局部边值问题。(1)Lu=- / x_2(a_(ij)(x)( u/ x_2)=f(x,u(x),Du(x),x∈Ω),u|_( Ω)=C(待定常数),- integral from n=( Ω) a_(ij)(x)( u/ x)cos(n,x_i)ds=0,在 f 的某些假设下,本文证明了解的存在性.     

带非齐次项和Sobolev-Hardy临界指数的奇异椭圆方程的多解

设2*=2(N α)(N-2 β),N≥3,是极限Sobolev指数,ΩRN是RN中的开子集.在f(x)∈Hβ-1满足合适的条件且f(x)≠0下,讨论了一个带非齐次项和Sobolev-Hardy临界指数的含权的椭圆型问题:{-div(|x|β▽u)=|x|αup*-1 εf(x),x∈Ω,u>0,x∈Ω,u=0,x∈Ω,,存在两个解u和-u在H01,,βp(Ω)中,且有u≥0,u-≥0对所有的f(x)≥0.值得注意的是,当f(x)=0时一般不成立.     

一类带有Neumann边界的奇异拟线性椭圆方程解的存在性

应用变分方法中的极值理论来研究Neumann边界问题{ -div(｜x｜α｜▽u｜p-2▽u)=｜x｜βup(α,β)-1-λ｜x｜γup-1+｜x｜μq-1,u(x)＞0,x∈Ω｜▽u｜p-2?u/?u=0, x∈?Ω其中Ω是RN(N≥3)中具有C2光滑边界的有界区域,0 ∈Ω,n表示(e)Ω的单位外法向向量,且1＜p＜N,α＜0,β＜0,使得p(α,β)(△)p(N+β)/N-p+α＞P,γ＞α-p,P＜q＜p(α,μ).对于参数α,β,γ及μ的不同范围,建立上述方程解的存在性结果.其中对参数不同范围的讨论对解的存在性所起到的至关重要的作用.     

关于指数計算

设X,Y为(B)型空间,研究非线性完全连续作用于X带参数y的方程Ф_yx=x—F(x,y)=0设Ф_y0=0(有时φ_y0=0)。若F对x在x=0可微,则Ф_yx=x-F′(0,y)x T(x,y)=0 表Ω为正则值集合,Π为奇异值集合,则i[Ф_y,0]当y在Ω的连通区域D时为常数。设A=F′(0,y_0),y_0∈ΠX_1真为相应于固有值1的固有子空间,由完全连续线性算子理论,有X=X_1 X_2,相应一对投影P_1P_2且存在有逆线性算子R使R(I—A)x=x_2。本文得到如下结论,若y_0∈Πh=y-y_0。足够小F′(0,y)=A—S(h)。 y∈Ω充要条件为Ю_y=P_1RS(h)P_1—P_1RS(h)P_2[P_2 P_2RS(h)P_2]~(-1)P_2RS(h)P_1在X_1中有逆,此时i[Ф_y,0]=i[R,0]i[Ю_y,0]_(X_1)。 x=0是Ф_(y_0)x的孤立零点之充要条件为x_1=0是L_(x_1)=P_1RT(x_1 f(x_1,y_0)y_0)=0的孤立零点,其中x_2=f(x_1,y_0)是P_2x P_2RT(x_1 x_2,y_0)之解。此时i[Ф_(y_0),0]=i[R,0]i[L,0]X_1。最后,我们应用上述结果到非线性方程的分枝解问題。     

一类带吸附项双重退化奇异扩散方程的解

研究带有吸附项双重退化奇异扩散方程αφ(u)/at=div(dα|▽u|p-2▽u)-uq,(x,t)∈QT=Ω×(0,T),其中Ω是RN中边界αΩ充分光滑的有界区域,p1,α0,φ∈C2,d(x)=dist(x,αΩ).运用抛物正则化方法验证了当0αp-1时,方程存在与初值条件及边值条件有关的唯一解.当α≥p-1时,方程存在仅与初值条件有关且唯一的解.     

一类二阶有理型差分方程二周期解的局部稳定性

应用稳定流形定理研究了二阶有理型非线性差分方程x_(n+1)=α+x_(n-1)/x_n,n=0,1,…二周期正解的局部稳定性,这里α=1且初始条件x-1和x0为任意正实数,证明了在一定条件下方程的最小二周期解是稳定的.     

一类双重退化的奇异扩散方程

根据YIN和WANG的方法,结合Fichera-Oleinik理论,研究奇异扩散方程:φ(u)/t=div(ρα︱up-2︱u),(x,t)∈QT=Ω×(0,T),其中Ω是RN中的有界区域,边界Ω充分光滑,ρ(x)=dist(x,Ω),p1,α0,φ满足:φ∈C2,且存在δ0使得φ'(s)δ0.证明了α≥p-1时,不需要任何边值条件,方程最多有一个满足初值条件的解;而0αp-1时,方程存在唯一满足初边值条件弱解.     

薛定锷方程解的规则性及其边界性质

本文主要讨论Schrodinger方程: (△/2+q)u(x)=0的规则解的性质,在边界点上的极限行为,以及逆随机Dirichlet问题规则解的存在性。得到了一系列新结果。     

无穷小量的阶与一道极限题的初等解法

关于同阶无穷小量的概念,在数学分析教材中通常出现两种不同的定义。第一种定义是:设x→x_0时,f(x)与g(x)均为无穷小量,如果存在正数K与L,使得在x_0的某空心邻域内,有K≤|f(x)/g(x)|≤L,则称当x→x_0时,f(x)与g(x)同阶无穷小。例如华师大数学系