与Euler函数φ(n)有关的几个方程

研究了方程φ(x-φ_2(x))=2与φ_2(x-φ_2(x))=2的正整数解的问题,利用初等方法给出了这两个方程的所有正整数解,其中φ(n)是Euler函数,φ_2(n)是广义Euler函数.     

有关方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整数解

设φ(m)为Euler函数.本文探讨了方程φ(ab)=8(φ(a)+φ(b))的正整数解,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.根据方程φ(ab)=8(φ(a)+φ(b))正整数解的结论和已被讨论的相类似方程的正整数解的结论,证明了以下2个结论:对于任意正整数k,(a,b)=(2k,2k)是方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的1个整数解;对任意的正整数k,(a,b)=(~(2k+1),2~k×3)和(2~k×3,2~(k+1))是方程φ(ab)=2~k(φ(a)+φ(b))的2个正整数解.     

与广义Euler函数φ2(n)有关的两个方程

讨论了与广义Euler函数φ_2(n)有关的两个方程φ_2(x-φ_2(x))=2与φ_2(φ_2(x-φ_2(x)))=2的可解性,利用初等的方法给出了方程φ_2(x-φ_2(x))=2所有的5个整数解,方程φ_2(φ_2(x-φ_2(x)))=2所有的26个整数解.     

方程φ(φ(φ(x)))=2的正整数解

讨论了方程φ(φ(φ(x)))=2的正整数解问题,利用初等方法给出了方程的全部17个正整数解,其中φ(x)为Euler函数.     

一个包含Euler函数的方程

目的研究方程φ(φ(n))=2ω(n)的可解性。方法利用初等方法以及Euler函数的性质。结果给出了方程φ(φ(n))=2ω(n)的所有正整数解。结论确定该方程共有20个正整数解。     

关于欧拉方程φ(ab)=2~k(φ((a)+φ(b))的正整数解

设φ(m)为欧拉函数,探讨了方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整数解问题.当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.进而,对任意正整数k,给出了方程的5个正整数解:(a,b)=(3×2k-1,3×2k),(2k+1,5×2k-1),(2k+1,3×2k),(5×2k-1,3×2k),(2k+1,2k+1).对任意正整数k≥2,给出了方程的2个正整数解:(a,b)=(7×2k-2,13×2k-2),(9×2k-2,13×2k-2).     

一个带有复合Euler函数方程的正整数解

设φ(n)为Euler函数,探讨了带有复合欧拉函数的方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2正整数解的问题,利用初等方法给出了其所有的正整数解.     

混合型欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+8φ(c)的正整数解

利用初等数论方法及欧拉函数有关性质,研究三元变系数混合型欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+8φ(c)正整数解的问题.结果得出了该方程共计95组正整数解.     

关于欧拉方程φ(ab)=2~k(φ((a)+φ(b))的正整数解简

设φ(m)为欧拉函数,探讨了方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整数解问题.当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.进而,对任意正整数k,给出了方程的5个正整数解:(a,b)=(3×2k-1,3×2k),(2k+1,5×2k-1),(2k+1,3×2k),(5×2k-1,3×2k),(2k+1,2k+1).对任意正整数k≥2,给出了方程的2个正整数解:(a,b)=(7×2k-2,13×2k-2),(9×2k-2,13×2k-2).     

二元变系数欧拉函数方程φ(ab)=15φ(a)+17φ(b)的正整数解

目的研究欧拉函数方程φ(ab)=15φ(a)+17φ(b)正整数解的问题,其中a,b为不小于2的正整数。方法利用初等数论方法和欧拉函数的性质。结果与结论得到该方程所有80组正整数解,并解决了张四保等在文献中(张四保,席小忠.有关方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整数解[J].南京师大学报(自然科学版),2016,39(1):41-47.)所提出的一个数学问题。     

Euler函数φ(n)与广义Euler函数 φ2(n)混合的两个方程

令φ(n)为Euler函数,φ_e(n)为广义Euler函数.讨论了Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_2(n)混合的两个方程φ_2(φ(m-φ_2(m)))=2与φ(φ_2(m-φ2(m)))=2的正整数解,利用分类讨论的方式及初等方法,分别得到了这两个方程各自的所有正整数解.     

欧拉函数方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))的正整数解

讨论了欧拉函数方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b)),其中a,b为不小于2的正整数.利用初等数论方法,得到该方程所有234组正整数解.     

关于两类数论函数方程解的讨论

目的 研究方程S(SL(n^3))=φ(n)和S(SL(n^3))=φ_2(n)的可解性。方法 对于任意正整数 n , S(n),SL(n),φ(n)分别是Smarandache函数、Smarandache LCM函数和Euler函数,利用S(n),SL(n),φ(n)的基本性质结合初等的方法,推广了方程S(SL(n^3))=φ(n)。结果 给出并证明了上述方程的所有正整数解。结论 方程S(SL(n^3))=φ(n)有且仅有正整数解n=1,20,32,48,49,98。方程S(SL(n^3))=φ_2(n)有且仅有正整数解n=56,60,72,80,81,147,169,196,294。     

一类Euler函数方程的解的上界

设φ(n)为正整数n的Euler函数,讨论了Euler函数方程φ(x1…xn-1xn)=m(φ(x1)+…+φ(xn-1)+φ(xn))的求解问题,给出了该方程的所有正整数解的较为精确的上界.作为应用,对于一些给定的正整数m和n,求出了此时方程的全部正整数解.     

关于欧拉方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整数解

基于φ(n)为Euler函数,探讨了不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整数解的问题,并利用初等解法给出了该方程满足m≤n的所有正整数解。     

方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z)的正整数解

讨论了方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z)的可解性,并给出了此方程的所有正整数解.     

关于Euler函数φ(n)的一个四元变系数混合方程的解

讨论了有关Euler函数φ(n)的四元变系数混合方程φ(xyzω)= 3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(ω)的正整数解,利用Euler函数φ(n)的计算公式以及初等方法,得到该方程有372组正整数解,并给出其满足x≤y,z≤ω的93组正整数解.     

三元欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+3(b)+5φ(c)的正整数解

研究了欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+3(b)+5φ(c)的正整数解,φ(n)是欧拉函数。通过初等数论中的相关知识、方法与技巧,得到了该方程的19组正整数解。     

包含完全数的等系数三元欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)+φ(y)+φ(z)+6的正整数解

研究了包含完全数的等系数三元欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)+φ(y)+φ(z)+6的正整数解,φ(n)是欧拉函数,通过应用初等数论中的相关知识方法与技巧,得到了该方程的正整数解.     

四元欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+φ(b)+2[φ(c)+φ(d)]的正整数解

利用初等数论的方法,研究了四元欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+φ(b)+2[φ(c)+φ(d)]的正整数解问题,并得到其全部16组解。