数学推理规则及其应用

§1.概说一数学系统的原始概念、公理、定义和定理等都需表述为命题的形式。建立命题与命题之间的关系,即定理的证明,需以逻辑推理作工具。命题演算是数理逻辑的一个基础分支,它的功用之一是研究数学中使用的演绎推理的性质,并建立判定推理有效性的准则。在命题演算中采用五种逻辑联结诃     

数理经济学中的公理化方法

<正> 数理经济学就是数学概念和数学方法在经济学,特别是经济理论中的各种应用.[1]公理化方法是现代数学的主要方法。本文拟介绍经济学中应用公理化方法的现状、困难和意义.一、公理化方法公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用,它对各门现代数学都有极其深刻的影响。所谓公理化方法(或公理方法),就是从尽可能少的无定义的原始概念(或基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发,利用纯逻辑推理法则,把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。     

罗素悖论及其意义

悖论,按A·A·Fraenkel与y·Bar—Hillel的说法,如果某一理论的公理和推论原则上看上去是合理的,但在这个理论中却推出了两个相互矛盾的命题,或者证明了这样一个复合命题,它表现为两个互相矛盾的命题的等价式,那么我们就说这个理论包含了一个悖论。     

关于数学公理化方法的教学问题

数学中的公理实际上即是关于基本概念的隐定义 ,从逻辑方法上来讲 ,所谓基本概念即是在本系统中不可定义的概念。在公理化方法的教学中 ,不仅要让学生受到数学美的薰陶 ,而且要相信学生也可以自己动手去构建公理系统     

命题

(一)命题的真假性 所谓命题是指一个有意义的判断语句。例如几何中的定义、公理、定理等都是命题。又如:好极了！你去昆明吗?你在干什么?请不要抽烟！等等语句都不是判断语句,所以它们都不是命题。总之,命题必定是直陈句(陈述句),而感叹句,祈愿句,疑问句以及命令句等都不是命题。     

试论数学中的“规定性”

数学是关于空间形式和数量关系的科学,数学是关于模式和秩序的科学,数学区分于其它学科有三个明显特点:第一是它的抽象性,第二是它的精确性,第三是它的应用的极端广泛性,数学的抽象性在中学数学的学习过程中人们就可以体会到,数本身是一个抽象的概念,几何中的直线也是一个抽象概念,全部数学的概念都具有这一特征.数学的抽象性,突出表现于其中的一系列规定,数学中的所有定义是规定的,一切公理也是规定的,是"数学用来作为出发点的一系列规定";一切数学符号都是人们制定的,约定俗成的,也可以说是前人规定的.据调查这些规定是学生感到数学抽象枯燥的主要原因之一,也是学生厌恶数学的主要原因之一.因此,正确认识数学中的规定是树立正确的数学观的基础,对搞好基础教育,实现新一轮课改的理念都是有必要的.     

关于道德定义争论的数学思维

道德定义是我国伦理学界长期争论而至今仍未解决的问题。对此本文进行了数学方面的思辨。认为要寻求一个统一的道德的定义,首先就必须要证明是否存在这样一个统一的道德定义。并针对伦理学中对概念下定义的不准确之处,从数学中采用“等价命题”给概念下定义的方法,提出了伦理学引入数学思想、方法的必要性。     

量子力学的公理化

我们提出的量子力学唯一公理是：普朗克能量等于爱因斯坦能量：h·v=E=m·c2用纯文字来表达就是：频率与能量等价——因为大自然并不理会单位制的选择。广义相对论并没有把选用何种数学工具列入公理,本文也然。公理化方案的优点是：既然公理是可信和可理解的,那么公理的一切推论也都是可信和可理解的,最终的判决是实验。大道至简。我们遵守“奥卡姆剃刀”原则。在量子力学的语境中每一个物理量都必须而且能够重新定义,即使仍然使用同样的词。量子化替换是公理化的推论。历来的讲法是：量子力学的数学基础是Hilbert空间理论。而我们认为量子力学的数学基础是Hilbert空间的群表示论。区别在于,实验物理学家生活在4度时空,而群表示论是4度时空与Hilbert空间之间的桥梁。     

公理与假说异同论——兼论数学科学与教育的特殊性

以历史上经典案例为证，阐述公理与假说在定义与应用中的异同，指出它们虽然都是科学发展的理论基础，起着对不同学科理论创建的奠基作用，但在初期二者命题设立的基础、内容接受的对象和理论发展的方式上有本质差异，并由此导致数学科学与数学教育有别于其他学科分支特殊性的表现，以及公理作为科学数学化趋势标志的原因．     

直觉模糊粗糙集的公理化

直觉模糊粗糙集的公理系统是直觉模糊粗糙集理论与应用的基础,文章定义了直觉模糊集的2种运算,基于这些运算和直觉模糊粗糙集公理化模型,给出直觉模糊粗糙集新的公理系统;该系统用一条简洁的公理描述了直觉模糊粗糙集,为直觉模糊粗糙集理论研究的深入和完善提供了有益的帮助。     

一种不一致本体的可废止推理系统

利用可废止逻辑的非单调知识表示和推理能力、线性的计算复杂性和易于实现等优点,整合描述逻辑和可废止逻辑,提出了一种不一致本体的可废止推理系统（简称为DeRS）.DeRS使用描述逻辑定义的本体和可废止理论对领域问题进行混合建模,将TBox划分为最大的一致公理集和最小的不一致公理集,并进行初始化;然后利用转换算法,将一致公理集的公理和不一致公理集的公理分别映射为硬性规则和可废止规则,并添加到可废止理论中;最后利用新定义的可废止推理规则进行非单调可废止推理,由此解决了不一致本体的推理问题,弥补了描述逻辑在非单调性方面的不足.结果表明DeRS具有协调性、易处理性、可判定性、可靠性等基本性质.     

哥德尔不完全定理与数学认知的局限性——基于递归论解读哥德尔不完全定理

哥德尔不完全定理揭示了数学认知的局限性,任何一个含有初等数论及一阶谓词逻辑的形式证明系统中,都存在这样的命题,在此(封闭)系统中,依靠系统中的公理及一阶逻辑演算方法,既不能证明该命题为真,也不能证明它为假。哥德尔在定理的证明中开启可计算理论(递归论)之门,用现在成熟递归论的结果重新认识哥德尔不完全定理,使其变得更容易接受。近年来,机器学习取得突破性成果,由此引发有关人工智能是否可以完全代替人的思维能力等热点问题讨论。针对这一问题,如果承认"人工智能"是在一个交互计算系统中完成的,那么哥德尔不完全定理给出的是否定回答。     

对极限理论的一点认识

人们从事自然科学工作,同进行别的工作一样,都离不开一定的世界观和方法论。旧极限论作为旧数学分析体系的庞大基础,突出地反映了资产阶级唯心主义形而上学的世界观。它完全脱离三大革命实践的要求,宣扬数学就是根据人们事先约定的几个公理,通过形式逻辑推演而得出一切结论。认为推动数学发展的不是生产实践,而是靠数学内部自己提出问题,解决问题。一切没有“严格”推证过的命题都认为是不可信的。不承认经验的实在性。不承认矛盾的对立统一法则是事物发展的根本规律。学生学了这套东西,就觉得其它学科的理论不严格,靠实验得出的定律不经逻辑证明是不能承认的。     

关于公理集合论的一些注记

一般人们把Bernays-G(?)de1(BG)系统中的类和Zerme1o-Fraenke1(ZF)系统中的集合相对应,从而认为前者既恢复了素朴概括公理又只使用有限条公理,远比后者优越.其实BG系统对集合的定义不大符合直觉,又使用两种变元,相当复杂,值得改进.而且BG中的类相当于ZF中的公式,BG中的集合才相当于ZF中的集合,因此所谓BG恢复了素朴概括公理的说法是不对的.如果我们把ZF集合论建基于二级谓词演算之上,那末ZF系统也只使用有限条公理.本文将说明建基于二级谓词演算的ZF系统,无论从概念(意义)上或形式推导上都优于BG系统.     

代数结构与几何基础Ⅳ——仿射几何的公理体系

在公理化方法定义的几何中引进“平行”关系,然后把结合公理I;改成“平行公理”,我们就得到一种新的几何——仿射几何．本文将证明这种几何同构于某一体(域)上的n维仿射几何,若添加牍序公理,则这种几何同构于某一有序体(域)上的n维仿射几何,最后我们指出：三维仿射几何的结合公理、平行公理和顺序公理就是Hilben公理体系中的结合公理、平行公理和顺序公理。     

反例在微积分教学中的作用

在数学中,通常要说明某一命题A成立,则需论证这一命题A是正确的,要说明某一命题B不成立,则只需举出一个反例即可。因此,提出证明和给出反例同样是重要的。在微积分教学中,反例对于明确概念,掌握定理,弄懂基本理论,搞清同类问题的联系和区别,培养学生的创造精神,都是十分重要的。特别是当问题由特殊上升到一般的时候,譬如,由     

不分明化拓扑中的S-分离公理

文 [2 ]中将一般拓扑学中的分离性公理引入到不分明化拓扑空间中去 ,[3 ]给出了不分明化拓扑中半开集概念 .本文在不分明化拓扑空间中 ,利用半开集、半邻域和半闭包等概念导入了 S0 - ,S1 - ,S2 - ,S3- ,S4- 分离公理 ,并且给出这五个分离公理的等价命题 .     

从《几何原本》到《方法论》

几何学起源于观天测地这一类实践活动。公元前三百年，希腊几何学家欧几里得（Euclid，B．C．330-B．C．275）总结前人的经验写成《几何原本》。他把人们公认的一些概念和命题列为定义和公理，在此基础上用演绎法叙述几何命题，证明几何定理。《几何原本》是数学中公理体系和演绎推理的典范。它有许多版本（十三卷或十五卷），被译成各种文字在世界范围内广泛流传。最初它的公理体系是不完整的，后来由德国数学家希尔伯特（D．Hilbert）重新整理和完善，至今为止的中学平面几何和立体几何的内容仍属于欧几里得几何。《几何原本》的中文译…     

论形式系统的多样性

形式系统在类型上包括公理系统和自然推理系统,在构成要件上包括的形式语言和演绎装置.构造者的哲学背景、构造形式系统的理论对象和目的不同,所采用的形式语言和演绎装置就可能不同,因而,构造出来的形式系统就多种多样,在不同的系统内证明同一个定理也表现为不同的公式系列.形式系统的形式语言和演绎装置为我们界定了形式证明的工具、出发点和依据,同时语义也包含了构造者构造形式系统的理论对象和目的,离开具体的形式系统去谈论或者证明一个定理,将会导致逻辑的失范.     

"线性空间"公理系统的等价性

本在利用群的第一定义和群的第二定义的等价性得出关于“线性空间”的一个简化定义的基础上．给出线性空间另外两个等价的公理系统。同时，对这些公理系统的独立性问题予以探讨。