实数连续性的等价命题

Dedekind分划基本定理、确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、聚点定理、Cauchy收敛准则、有限复盖定理等七个实数连续性的等价命题是数学分析的理论基础,也是现代数学的重要工具。它们的等价性一般都是循环证明的。为了加深对这些命题的理解,掌握应用这些命题证题的规律,进行仿射证明是非常有益的。在文献[1——8]中已给出     

单调有界定理的另证

单调有界定理是证明数列极限存在的一个重要定理,它是实数完备性定理之一,与确界存在定理、区间套定理、致密定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西准则都是等价的.他们之间的等价证明到处可见.如下主要就构造法、二分法两种方法来证明单调有界定理。     

实数系基本定理的等价性

实数系7个基本定理是描述实数系连续性的不同数学表达形式,又是以后函数连续性质证明的理论基础。从有限覆盖定理出发,按有限覆盖定理 聚点定理 致密性定理 柯西收敛准则 确界定理 单调有界定理 闭区间套定理 有限覆盖定理的顺序,证明了他们之间的等价性,从而给出等价性证明的一种新方法。     

实数系基本定理的等价性

实数系7个基本定理是描述实数系连续性的不同数学表达形式,又是以后函数连续性质证明的理论基础.从有限覆盖定理出发,按有限覆盖定理(→)聚点定理(→)致密性定理(→)柯西收敛准则(→)确界定理(→)单调有界定理(→)闭区间套定理(→)有限覆盖定理的顺序,证明了他们之间的等价性,从而给出等价性证明的一种新方法.     

R_ρ积分与Riemann积分

引言本文引入了函数f(x)在[a,b]上R_φ积分概念,研究R_φ积分的性质以及R_φ积分与Riemann积分的关系,并得出函数f(x)在[a,b]上Riemann积分的几个等价定义。在本文中,[a,b]是实数轴上的有界闭区间;f(x)是定义在[a,b]上的实值函数;I是实常数,[a,b]上的分法T是有限点集T={x_0,x_1,…,x_n:a=x_0相似文献   

关于函数的黎曼可积性

讨论有界函数是否在有限闭区间上（常义）黎曼可积时,文献[1]的可积准则为“,即文献[2]的可积准则为某个分割T,使得由于所用可积准则不同,在证明下述两个基本定理：定理1若函数f（x）在闭区间[a,b]有界,且有有限个间断点,则函数f（x）在[a,b]可积．定理2若函数f（x）在区间[a,c]与[c,b]可积,则函数f（x）在[a,b]也可积．时所采用的证明方法也就不同,而文献[2]的证明显得简单明了．本文不同于文献[2]的方法,将介绍一个振幅和不等式在证明函数黎曼可积方面的应用（下文所用符号的含义及可积准则与[1]相同）．一个振幅和不等式…     

实数系完备性定理的等价性

说明了柯西收敛准则、确界原理、有限复盖定理、区间套定理、单调有界定理、聚点定理以不同的方式从不同的侧面反映了实数集的一种特性——完备性。并以数列的柯西收敛准则作为公理。证明了这六个定理相互之间是等价的     

罗尔定理的推广形式

将罗尔定理要求f(x)在(a，b)可导推广到f(x)在(a，b)内除有限个点处存在 ∞或-∞的导数时均有有限导数存在的情况，及将f(x)在[a，b]连续推广到f(x)在(a，b)有界或无界，并对f(x)在(a，b)可导的情况给予了证明．     

代数注记两则

1973年R.Gilmer~1得到如下定理: 定理:任意一个无限(结合)环必有无限多个真子环。 现在给出下面的一个简单证明。 证明:命原给无限环为A。在A内任取一个元a≠0。以一切形如n_1a n_22a~2 …(项数有限,诸n_i为整数)为生成元作环,将这环记为Z[a] (Z为整数环)。 若Z[a]为有限环,再在集A-Z[a]内任取一个元b,作Z[b]若Z[b]又为有限环,则在集     

黎曼——斯蒂阶积分存在的一个充要条件

实函中证明了[a b]上的有界函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)不连续点所成之集的勒贝格测度为零。关于黎曼——斯蒂阶积分也有类似定理:f(x)在[a,b]上有界,α(x)为[a,b]上的有界变差函数,则f(x)在[a,b]上关于a(x)黎曼——斯蒂阶可积的充要条件是α(x)在f(x)不连续点所成之集上的全变差为零。本文就是给出这个定理的一个证明。     

关于半紧1—集压缩的几个结果

设 X 是一赋范空间,M 是 X 中的有界子集,M 的非紧致度量,记为 r(M),是由下式定义的一个数(非负实数)r(M)=inf{δ>0|M 可以被有限个直径小于或等于δ的集所复盖}映射 T:X→X 叫做α-集压缩,如果 T 连续,且对于每个有界集 M■X 有     

无穷时滞RFDE解的存在性及其对初始函数的可微性

本文建立了无穷时滞RFDE解的存在性定理,改进了文[2]之定理1,并建立了无穷时滞RFDE解对初始函数的可微性定理,完善了无穷时滞RFDE解的基本理论。同时,有界时滞RFDE作为无穷时滞RFDE之特殊情形,本文的结果改进了文[3]关于有界时滞RFDE解的存在性定理(p37),并对文[3]关于有界时滞RFDE解对初始函数可微性定理(pp46-47)给出一严密证明,纠正了文[3]中一个易忽视的证明错误。     

关于“中间点”的渐近性的一个注记

第一积分中值定理设f(x)在[a,b)上连续,g(x)在[a,b)上可积且不变号,则存在ξ∈(a,b)使得(1)文[1]讨论了(1)中的“中闻点”ξ当b→a~+时的渐近性,即下述下理1.定理1 若f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且g(x)在(a,b)上不变号,f+(a)(f+(a)表示f在a点的右导数,下同)存在且不等于零,g(a)≠0,则对于(1)中的ξ有     

关于第二积分中值定理“中间点”的渐近性

本文给出并证明了第二积分中值定理的波勒形式和维尔斯特拉斯形式中,当区间[a,x]中的x→a时,“中间点”ξ→x,即 lim ξ—a/x—a=1;当[x,b]中的x→b时,“中间点”ξ→x,即lim b—ξ/b—x=1 1985年李文荣研究了当区间长度趋于零时柯西中值定理和推广的积分中值定理“中间点”的渐近性。在这之前,1982年的美国数学月刊上已有两篇文章,研究了当区间长度趋于零时,积分中值定理和泰勒定理“中间点”的渐近性。本文给出并证明了第二积分中值定理的波勒(O.Bonnet)形式和维尔斯特拉斯(Weierstrass)形式“中间点”的渐近性有关定理。     

关于积分中值定理的一个注记

本文给出并论证了积分中值定理中的ξ,当 b→a~+时,将趋于(a,b)的中点,即·第一,二积分中值定理中的ξ分别有积分中值定理若函数 f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得     

关于有限余复盖性质的Tychonoff定理

本文证明了拓扑分子格的有限余复盖性质与每个分子网都有聚点是等价的,推广了关于有限余复盖性质的Alexandroff子基定理,证明了有限余复盖性质是任意可乘的。     

抽象二级绝对连续函数的一点注记

李国祯在[1]中,分别给出了抽象二级弱有界变差函数和抽象二级弱绝对连续函数的充分条件,我们将证明这两个定理中所给的条件分别是抽象二级弱有界变差函数和抽象二级弱绝对连续函数的必要条件。为了证明这一事实,我们引入下列定义[1]。定义1:设F是Banach空间,x(t)是[a、b]到E的抽象函数,对[a、b]作分割△:     

二级绝对连续函数和二级斯堤吉积分

§1.引言。闵嗣鹤教授曾经定义了二级斯堤吉积分,同时将它应用于广义调和分析论。接着董怀允教授将他的定义略加修改,给出二级有界变差函数的定义,证明了二级斯堤吉积分的一个存在定理,并推出它的一些基本性质。之后,郭大钧对二级斯堤吉积分和二级有界变差函数的其他性质作了讨论。在本文中,我们得到二级斯堤吉积分的一个存在定理,减弱了董怀允存在定理的条件;引入二级绝对连续函数的定义,并证明一个充要条件。这样,就将二级斯堤吉积分的计算化为靸贝格积分的计算等。§2.设E是含于(a,b)的一个有限点集(可能是空集)或可数点集,如果(?)(x)满足条件:(i)(?)(x)是确定并连续于[a,b]-E.(ii)对于E的任一点x_o,均存在有穷的极限(?)(x_o-0)=(?)(?)(x),     

有界无穷维Hamilton算子的局部谱性质

研究了有界无穷维Hamilton算子的局部谱性质,包括(ω)性质,(aω)性质,(b)性质,(ab)性质.此外,还证明了有界无穷维Hamilton算子及其共轭之间的谱关系和Weyl型定理.文章最后得到了有界无穷维Hamilton算子的若干个等价条件.     

有限集几种重要等价类数目的计算

集合的元素间等价关系和集合的分类是现代数学中的基本概念。这两个概念既抽象又重要,初学者往往感到困难 ,而对等价类数目的计算,更难以掌握。计算等价类数目一般除了应用等价的定义、定理,性质以外无一定的规律可循,碰到具体问题要具体分析。本文举例讨论有限集几种重要等价类数目的计算。它在数学和实际中都有重要的应用。 　　设 R是集合 A上的等价关系,对于任一个 a∈ A可以构作一个 A的子集 [a]R,叫做 a对于 R的等价类,即〖 a]R={b|b∈ A且 a R b}。显然 [a]R是 A内所有与 a有等价关系 R的元素所构成的集合,这些 A的子…