组合数和式的几种求解公式

得到了带组合数（^n k)的幂和∑^nk=1(^n k)k^m的几何求解公式。     

一组幂和的新公式

用组合学中的求和算子为主要工具 ,研究了幂和的公式 ,得到了一组用组合数表示的幂和公式。     

关于等幂迭乘和猜想的证明

等幂迭乘和Rm(n)=n↑∑↓k=1 k^mCn^k是一个有趣的问题，曾有许多人进行了研究．本文获得了等幂迭乘和公式的5种计算方法及其深刻性质，从而简洁地证明了赵建林猜想及王云葵猜想；并获得了等幂迭乘和与Stirling数密切关系式。     

一级幂和的新公式

用组合学中的求和算子为主要工具,研究了幂和的公式,得到了一组用组合数表示的幂和公式。     

关于等幂和的一个猜想

利用差分的技巧给出了陈景润关于等幂和的两个递推公式的简单证明。由此递推公式得到S1^1(n)|S2m 1(n)，S2(n)|S2m(n)，同时给出了Bernoulli数B2κ 1=0的又一证明。利用一对共轭式，给出陈景润关于等幂和的另一结论的简单证明。通过归纳，给出了等幂和的一个猜想。该猜想和Bernoulli数有着密切的联系。     

等幂和与Bernoulli数的通解公式

获得了等幂和组合表示与Ｍ－Ｎ表示的简洁计算公式，得到了Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数的几个新的通解公式。     

Bernoulli数的新定义

无须利用幂级数而仅用定义或等幂和的一个递推公式直接给出BemoIllli数新的初等定义，其与经典的Bemoulli数相等。该定义的目的性明确且更加符合Jacobi.Bemoulli原来的想法，即证明了∑k=0^n-1(k^n)Bk=0,B0=1←→Sp(n-1)=1/p 1∑k=0^p(k^P 1)Bkn^p 1-k。     

等幂和简洁表示对其循环积分法

获得了等幂和简洁表示及其循环积分公式，得到了Bernoulli数B0～B110及等幂和公式S1（n）～S111（n）的值。     

求等差数列前n项等幂和的若干公式

本文利用Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数，给出可以精确到任意阶的等差数列前ｎ项等幂和的表示公式，并导出了（ｎ为偶数）的不含常数项的ｎ的多项式表示式．     

一个幂和公式

以组合学中的求和算子为主要工具来研究幂和问 题,用新方法得到了李善兰幂和公式。     

不定方程解的差分表示及整数多项式求和

本文从计算机处理的角度来研究数论问题.首先给出不定方程x~2-Dy~2=C整数解的一种新的方法——差分方程表示;其次讨论了整数多项式的求和问题,给出了整数多项式求和的差分分式.     

Dirichlet L-函数倒数的2k次加权均值

利用三角和估计、特征和估计与解析方法，研究Dirichlet L-函数倒数的2k次加权均值.证明了当整数ｑ≥２，实数Ｑ＞１时，对任意的正整数ｋ和ｍ，且(ｍ，ｑ≤Ｑｑ）＝１，有加权均值公式ｑ≤Ｑ(Ａｋ（ｑ）)/(φ２（ｑ）)ｘｍｏｄ　ｑ(｜Ｇ（ｍ，ｑ）｜２)/(｜Ｌ（１，ｘ）｜２ｋ)＝（１５/π２）ｋＱ＋Ｏ（Ｑ1/2＋ε）．     

二次Waring-Goldbach问题

本文简述二次Waring-Goldbach问题的最新进展，具体内容包括：Waring-Goldbach问题，圆法，具有五个几乎相等变量的华罗庚定理，扩张主区间，四个素数平方之和的主区间，Dirichlet多项式的均值定理，四个素数平方之和的余区间与例外集，素变数三角和的新估计，四个素数平方之和与筛法，殆素数变量的Lagrange定理，Linnik-Gallagher问题，再论具有五个几乎相等变量的华罗庚定理，三个殆素数的平方和，Sarnak猜想与三元二次型.     

Lehmer型同余式在多重调和级数上的推广

证明了若a为正整数且满足2na≤p-4,则∑ 1≤ll〈…ln≤p-1/2 1/ll^2a…ln^2a≡（-1）n＋1 1/n（1-1/2^2na＋1）2^2na 2na/2na＋1 Bp-a-1p（mod p^2）其中a=2a1＋…＋2an.推广了Lehmer关于幂次和的一类同余式,同时给出更多关于调和级数的同余式．     

恰有7个部分的n-分拆的计数

设n是正整数,n-分拆是指将n表为一个或多个正整数的和的形式. 两个和式若仅有加数顺序的差异则视为相同的分拆. 称和式中的每个加数为这个n-分拆的一个部分.以Pr(n)表示部分数为r的n-分拆的个数.该文研究了部分数为7的n-分拆, 得到了P7(n)的简易计算公式.     

可逆整数的分布

设整数q≥3,集合Aq={a|1≤a≤q-1(,aq,)=1},在模q之下形成一个乘法群.运用Kloostermanns和计算了区间[0q,]的较小子区间内含有Aq的元素个数的渐近公式,得出了Aq在[0q,]内是依q渐近均匀分布的结果.     

关于广义Dedekind和与Lerch-zeta函数的混合均值

对于给定的正整数q,n和任意整数h,(h,q)=1,广义Dedekind和定义为S(h,n,q)=∑qa=1Bn(qa)Bn(hqa),其中Bn(x)是第n个周期Bernoulli多项式.利用DirichletL-函数L(s,χ)的均值性质研究广义Dedekind和与Lerch-zeta函数的混合均值分布性质,得到了一个有趣的渐进公式.     

关于二次Kloosterman和的四次均值公式

目的研究二次Kloosterman和的四次均值。方法主要利用二次剩余、二次非剩余及三角和的一些性质进行研究。结果引入二次Kloosterman和，并给出了它的四次均值的一个精确的计算公式。     

一个新数论函数的均值

数论函数的性质研究在数论中占有举足轻重的地位,很多函数的单个取值是没有规律的,但是其均值往往具有非常规则的渐近公式。美籍罗马尼亚著名数论专家F.Smarandache教授引入了简单数的概念。如果正整数n的所有真因子的乘积不超过n,称n为简单数。令A表示所有简单数集合,既有A={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15,17,19,21,…}.容易看出n有4种情形,即n=p,n=p2,n=p3,n=pq,其中p,q是不同的素数。关于简单数的性质及相关的均值问题已有不少学者进行了研究,也获得了一系列有意义的研究成果。文中研究了一个类似欧拉函数φ(n)的新的Smarandache可乘数论函数J(n),其中J(n)为模n所有原Dirichlet特征的个数,即J(n)=n∏p|n(p-1)2.利用初等数论的方法解决了J(n)可乘数论函数在简单数序列中的均值问题,并给出了一个有趣的渐近式,即对任意x∈R,x≥3,有渐近式Σn≤x,n∈A J(n)=Dx4+Ox4ln lnx ln()x,其中D为可计算的常数。从而丰富了数论函数的内容。为以后更多的学者研究数论函数在特殊序列上的性质提供了参考依据。但是,文中只研究了此函数在特殊数列上的性质,是否在其它数列上也有简单的渐近公式值得更多的学者去讨论和探究。     

一个类似于Dedekind和的1/3次均值公式

利用Dirichlet L-函数的均值定理以及Dedekind和的性质研究了一个类似于Dedekind和的1／3次均值问题，并给出了一个较精确的渐近公式。