关于Erds-Ginzburg-Ziv定理的一个注记(英文)

设G为n阶加法Abe1群 ,S ={ai} 2n- 1 i=1 是G中元序列 ,对a∈G用r(S ,a)表示a写成S中n项之和的方法数 .196 1年Erd s ,Ginzburg与Ziv证明了n为素数时r(S ,0 )≥ 1.1996年高维东指出n是素数 p时 r(S ,0 )≡ 1(mod p) .证明了下述结果 :假定有特征为素数 p的域使G为其加法子群 ,则r(S ,0 )≡ 1(modp) ,且对a∈G \{ 0 }有r(S ,a)≡ 0 (mod p) .这推广了高维东的工作 .     

一类具有零因子的环的结构

设R为有限环，其左零因子集为D，D≠R，D^2=0，则R的特征为素数或素数的平方．进一步，当charR=p为素数且任意d∈D-l(R)有dR=Rd时，则存在非负整数r，非负整数n≥r及自然数s，使得R≌Ar,n,s.其中Ar,n,s={(αo，α1，…，αr，αr 1，…，αn)|αi∈K}，K=GF(p^s)(α0，α1，…，αr，αr 1，…，αn) (b0，b1，…，br，br 1，…，bn)△(α0 b0，α1 b1，…，αr br，αr 1 br 1，…，αn bn)(α0，α1，…，αr，αr 1，…，αn)(b0，b1，…，br，br 1，…，bn)△(α0b0，α0b1，…，α0br，α0br 1 αr 1b0^pnr 1,…，α0bn αnb0^prn)ti∈{0，1，2，…，s-1}，r 1≤i≤n。     

一类上可嵌入图

本文主要证明了如下结果 :设G为 3-连通图 ,若G的顶点集存在一个C一划分 {V1,V2 ,… ,Vn} ,使得对每个 1≤i≤n ,|Vi|≡ 0 (mod 2 ) ,且对任意的v∈V(G) ,dG=(v)≡ 1(mod 2 ) ,则G是上可嵌入的 .     

一类上可嵌入图

本文主要证明了如下结果：设C为3－连通图，若G的顶点集存在一个C－划分{V1,V2,…，Vn},使得对每个1≤i≤n，|Vi|≡0(mod 2)，且对任意的ν∈V(G),dG=(ν)≡1(mod 2),则G是上可嵌入的。     

杨辉三角与素数的关系

设p为素数,s,t∈N,a=t∑i=0 aip^i,r=s∑i=0 rip^i,这里ai,ri∈N,0≤ai≤p-1,0≤i≤t,0≤ri≤p-1,0≤i≤s,证明了Ca^r=Ca0^r0…Cas^rs（mod p）和Ca＋r^r≡Ca0＋r0^r0 Ca1＋r1^r1…Cat＋rt^rt（mod p）两个同余式．据此导出了杨辉三角的第a行以及第0行至第a行的二项系数中,使Ca^r≡0（mod p）的个数和使Ca^r≡0（mod p）的个数,推出了斜列{Ca＋r^r：r=0,1,…}中使Ca＋r^r≠0（mod p）的个数和使Ca＋r^r≡0（mod p）的个数．     

关于不定方程x~3+5~3=2Ry~2

设R=p1 p2 Q,Q=r i(n∈Z),ri-1(mod6)(1≤i≤n)为互异的奇素数,p1≡p2≡1(mod 6)为奇素数。运用初等方法得出了不定方程x 3+53=2Ry 2无正整数解的一个充分条件。     

关于不定方程x~3±1=6pqDy~2的整数解

设Q=6p_1…p_sr_1…r_n(s,n∈Z_+),其中p_j≡1(mod 6)(j=1,2,…,s)为奇素数,r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数.关于不定方程x3±1=Qy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、Legendre符号的性质、递归序列、Pell方程解的性质证明了:当D=r_1…r_n(n∈Z+),r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数,p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1时,不定方程x~3±1=6pqDy~2仅有平凡解的两个充分条件.     

半群T_(n,r)的极大(正则)子半群的完全分类

设S_n和T_n分别是X_n={1, 2,…,n}上的对称群和全变换半群.对1≤r≤n,令T(n,r)={α∈T_n:|im(α)|≤r},则T(n,r)是全变换半群T_n的双边理想.对1≤r≤n-1,考虑半群T_(n,r)=T(n,r)∪S_n,得到了半群T_(n,r)的极大子半群S有且仅有两类:S=T_(n,r)\[τ_i](1≤i≤p=p_r(n))和S=T(n,r)∪G,其中G是群S_n的极大子半群.同时,证明了半群T_(n,r)的极大子半群和极大正则子半群是一致的.所得结果推广了已有的结果.     

Bπ′-特征标的单项性

设G为一个有限π-可分群,其中π为一个素数集合(其中2∈π)。在这篇文章中,我们证明了:设χ∈Bπ′(G),χ对应的表示为T且T是由n-维G-空间V产生的G的不可约表示,则T是单项的当且仅当V有基{v1,v2,…,vn},使得vix=αi(x)vσx(i),i=1,2,…,n,x∈G,其中x→σx为同态,而σx是{1,2,…,n}的置换,且αi(x)≠0是复数。     

关于整数的非负最小剩余与Fermat商的差

设p为素数,整数n与p互素。Fermat商qp(n)的定义为qp(n)≡np-1-1/p(mod p),0≤qp(n)≤p-1。此外还规定qp(kp)=0,k∈Z。研究整数n的非负最小剩余rp(n)与Fermat商qp(n)的差的均值分布,并给出了恒等式。     

涉及距离的n-因子-临界图的一个充分条件

证明了如下结论：设G是p阶连通图，其中p≡n（mod2）且n＜p，如果对满足条件d（u,v）＝2的任意点集{u,v}包含于V（G），有d(u) d(v)≥p n-1，则G是n－因子－临界图。     

关于四次剩余码及其推广

设p,q是两个不同的素数且p≡1(mod4),qp-14≡1(modp),β是Fp中的一个本原元素,α是Fq的某个扩域中的一个本原p次单位根.令R0={β4i(modp)|1≤i≤p-14},g0(x)=∏j∈R0(x-αj).Fq上长度为p,由g0(x)生成的循环码称为四次剩余码,证明了这样码的极小距离d≥4p,并且将本结论推广到任意自然数n(n≥5).     

截断和的极限定理

设{X_n,n≥1}i、i、d,X_(n,1)≤X_(n,2)≤…≤X_(n,n)是X_1,X_2,…,X_n的次序统计量。r是固定的非负整数。令是正实数列。本文证明了在一定的条件下 p(Sα(r)>α_(n),i,0)=p(X_(n,n-r)>α_n,i,0)     

Diophantine方程x~3+1=3Qy~2的整数解

设Q=p∏ni=1ri(n∈Z+),ri≡-1(mod 6)(i=1,2,…,n)为互异的奇素数,p≡1(mod 6)为奇素数.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等证明了Diophantine方程x~3+1=3Qy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

一个数论问题的证明

证明了如下数论问题:设κ为任一正整数,若有n个互不相等的整数αi,均满足口αi=(mod κ).若这n个数中有一个为素数p,则有:maxi,jα(αi,αj)≥κ(n-1)+1.     

过特定顶点集的S-圈与S-路

证明了下面两个结论 :(1)设G是k-连通的n阶图 ,k≥ 2 ,S V(G) .若对G[S]的任意 (k 1) -独立集X ,有 k 1i=1k i- 1k si(X)>n- 1,则G中有含S的全部顶点的圈 ;(2 )设G是 (k 1) -连通的n阶图 ,k ≥ 2 ,S V(G) .若对G[S]的任意 (k 1) -独立集X ,有 k 1i=1k i - 1k si(X) >n ,则对任意的 {u ,v}≤V(G) ,G中有含S的全部顶点的 (u ,v) 路 .其中 ,G是有限无向简单图 .X为G的 (k 1) -独立集 ,Si(X) ={v∈V(G) N(v) ∩X =i} ,si(X)=si(x) ,i∈ { 0 ,1,2 ,… ,k 1} .     

有关LUCAS序列的几个充要条件

Lucas序列Un(u)和Vn(u)定义为:U0=0,V0=2,U1=1,V1=u,Un=uUn-1-Un-2,Vn=uVn-1-Vn-2,n≥2.本文分别给出了同余式组 UN r(u)≡0 mod NVN r(u)(≠)2 mod N,UN r(u)(≠)0 mod NVN r(u)≡2 mod N和UN r(u)(≠)0 mod NVN r(u)(≠)2 mod N成立的几个充要条件,并对满足同余式组的u的个数进行估计,其中N=pq是两个奇素数之积,q=k(p 1) r,|r|＜(p 1)/(2),k≥7,((u2-4)/(p))=-1且gcd(u,N)=gcd(u2-4,N)=1.     

丢番图方程x~3±1=2pDy~2的整数解

设D=∏r+i(n∈Z),ri≡5 mod 6(1≤i≤n)为彼此不相同的奇素数,p≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=2pDy2的初等解法至今仍未解决.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=2pDy2的整数解的情况.     

关于半正规的几类群

利用子群的半正规性讨论了几类有限群的结构,得到如下主要结果:(l)极大子群超可解的有限群当其极大子群的极小子群半正规时,它不是超可解群就是如下三种群之一:(I)p~αq~β阶内-Abel群,p(?)q-1;(Ⅱ)p~(α+β)r(?)阶群,α≥2,β≥0,p~β=│φ(G)│,p~(α-1)||r—1,α~((?)~α+β)=c_1~(?)=c_2~(?)=…=c_(?)~(?)=1,c_ic_j=c_jc_i,i,j=1,2,…,p,c_(?)~(?)=c_(i+1),i=1,2,…,p-1,c_(?)~(?)=c_1~(?),t(mod r)指数p~(α-1);(Ⅲ)D_(2_q)型群;(2)极大子群可解的非Abel有限单群当其二次极大子群的极小子群半正规时,G恰为A_5.     

同阶子群个数之集为{1,3,p+1}的有限群

设G是有限群，n(G)表示同阶子群个数组成的集合.本文刻画了n(G)={1, 3,p+1}时有限群G的结构，其中p为奇素数.