一维Heisenberg格子磁性链:代数Bethe-Ansatz方程

本文研究一维Heisenberg格子磁性链的量子完全可积性.通过求解杨-Baxter方程,得到了量子R矩阵,进而构造了此模型的代数Bethe-Ansatz方程.     

三阶超对称非线性Schr?dinger方程的延拓结构

超对称的Heisenberg铁磁连模型是一类非常重要的可积系统,它与固体物理中的电子强关联Hubbard模型有着紧密的联系.文章主要利用超对称延拓结构理论的方法,分析高阶超对称非线性Schr?dinger方程,进行研究得到了该方程延拓代数对应的Lax对.     

一个离散MKdV方程的可积性检验

延拓结构理论是求非线性演化方程拉克斯对、贝克隆变换、守恒量等的一种重要方法,由该方程的拉克斯对可以检验其可积性.基于非交换外微分,这一理论最近被推广到微分差分方程中去了.在本文中,利用半离散的延拓结构理论讨论了形变KdV(MKdV)方程的一个离散模型,得到了其延拓结构和拉克斯对,由此检验了这一方程的可积性.     

Minkowski空间中的常负曲率类空曲面的形变

利用可积系统的思想,借助三维Minkowski空间L3的矩阵模型,我们研究了L3中常负曲率的类空曲面的形变及其可积性.     

一类非线性次椭圆拉普拉斯方程解的对称性

De Giorgi猜想起源于Bernstain提出的一个著名的几何问题:在小于8维的全空间中,方程△u-u+u~3=0的单调解是否退化成一维方程的解,这就是所谓的解的一维对称性问题.Birindelli关于Heisenberg群上次Laplace方程解的一维对称性做了大量工作.利用Heisenberg型群的左平移不变性构造平移参数族,用平移的方法将欧氏空间半线性椭圆方程解的一维对称性结果推广到了Heisenberg型群上.     

一类Riccati方程可积性条件的推广

利用变量变换的方法,得到了Riccati 方程的一个新的可积性条件及其在这些条件下的通积分.此结果推广Riccati 方程的可积性条件,并且包含了已有文献中有关Riccati 方程可积性的一大批结论.     

Dirac方程族的可积系及其可积耦合

利用 Loop代数 A1的一个子代数 ,建立了一个等谱问题 ,导出了 Dirac可积方程族 .又构造了 Loop代数 A2 的一个子代数 ,设计了一个等谱问题 ,应用屠格式求出了 Dirac方程族的可积耦合 .该方法也适合其他方程族 .     

一类NLS-MKDV可积方程族及其可积耦合

由loop代数的一个子代数出发,建立一个新的等谱问题,利用屠格式导出了一类可积方程族,可约化为NLS-MKDV方程族.再利用迹恒等式建立其Hamilton结构,再进一步求出可积耦合系统.     

一个格子KdV方程的拉克斯对（英文）

微分几何和微分形式在数学物理中起着十分重要的作用,它们可以作为工具用来讨论许多重要的微分方程,讨论方程的可积性、求微分方程的不变量和对称子等.非线性演化方程的可积性检验是可积系统理论中的一个重要课题,有着许多方法,其中延拓结构理论是迄今为止求非线性演化方程拉克斯对或者检验方程拉克斯可积性的一种重要方法.该理论主要利用连续微积分和微分形式,在非交换微分和非交换微分形式的基础上,给出了一种求离散非线性演化方程的线性特征值或者拉克斯对的类似方法.由此检验了该差分方程的拉克斯可积性.另外,还利用这一理论讨论了KdV方程的一个离散模型,并且求得了其拉克斯对.     

常微分方程几个新的可积类及其范畴

以极平凡的方法得到了一个二阶线性微分方程以及相应Riccati方程的新可积类,指出了这类二阶线性可积方程的范畴.并由此推出几个新的可积型、同时也指出相应前人的结果是其特例.     

Boussinesq方程的贝克隆变换和拉克斯对（英文）

Hirota双线性法是构造可积系统孤子解的一种十分有效方法.利用该方法,非线性方程能够转化为线性方程,并且可由扰动法解出.我们讨论了双线性Boussinesq方程,并求得了其双线性贝克隆变换.由该变换出发,求得了方程的拉克斯对、检验了方程的可积性.     

一个扩展的可积Broer-Kaup方程族

寻找新的可积系统是孤立子理论的一项重要任务。本文建立了一个4×4的矩阵圈代数,利用此圈代数建立了一个含有四个位势的等谱问题,通过零曲率方程得到了一个非线性可积演化方程族,此方程族为可积Broer-Kaup方程族的可积扩展模型。     

一个新可积方程的精确解

利用变量替换和坐标变换方法,建立了一个新三阶可积孤子方程与著名的KdV方程之间的联系.应用KdV方程的非零解和变换关系,获得了新三阶可积孤子方程的孤立波解、周期波解和有理解.     

一族新的离散可积系的广义Hamilton系统及其可积耦合

基于一个新的离散等谱特征值问题,利用屠格式导出非线性微分-差分方程族,建立其Hamilton结构,证明方程族的Liouville可积,并给出其可积耦合.     

一族可积系的可积耦合

在由一个线性等谱问题导出的一族可积系的基础上,通过构造一个新的Loop代数,应用郭福奎和张玉峰提出的一种构造某些方程族可积耦合的方法,建立了一族可积系的可积耦合.     

关于一类Riccati方程可积性条件的注记

基于Riccati方程的双参数特解,利用变量变换的思想,把一类与Riccati方程特解有关的可积性结果统一起来,并加以推广,得到了Riccati 方程的一个更广泛的可积条件及其在该条件下的通积分.     

一个演化方程族的可积耦合

给出了直接求可积耦合的一种方法.通过构造loop代数,得到了一个新的谱系的可积耦合.这种方法也适用于其他演化方程族.     

Heisenberg代数的范畴化和MacMahon函数

作为一类基本的无限维李代数结构,Heisenberg代数在场论中扮演了很重要的角色.在经典理论中,它是利用自由谐振子生成的.这样的自由谐振子在表示论中可以看作是升箅子和降箅子.在范畴论中,它们是范畴之间的函子,满足一些特珠的性质,因此看起来像相对应的代数箅子.本文从一维向量空间出发,把Cautis和Licata的方法推广到单个形变Heisenberg代数,'H_(Z([t,t~(-1)]))的情况,给出了它的范畴化'H.在这样的构造中,'H为一个2-范畴,它的1-态射构成的集合包含了Heisenberg代数中自由谐振子的范畴化,它的所有2-态射组成了一个分次向量空间.在这个范畴中,2-态射决定了1-态射的同构类,即范畴的Grothendieck环.2-态射上的分次导致了Heisenberg代数的一个形变参数,并且也因此使本文证明了,'H的Grothendieck环为,'H_(Z([t,t~(-1)])).本文同时给出了范畴,'H的一个Fock表示.从'H的Fock表示中可以看到,2-态射上的分次可以由与对称群相关的表示导出范畴中的上同调次数平移来实现.作为Heisenberg代数范畴化的应用,本文还讨论了与三维Young图的MacMahon函数相关的配分函数.这篇文章的结果期望有更进一步的应用.     

一族Liouville可积系及其双Hamilton结构

利用Loop代数 A2的一个子代数,设计了一个等谱问题.应用屠格式,导出了一族新的可积系,具有双Hamilton结构,并且是Liouville可积的.另外,它可约化为著名的热传导方程.     

关于相容方程的一点注记

本文引用数学中的可积条件,严格地推导Saint-Venant积分方程和VoIterra积分方程,建立了既适用于单连域问题又适用于复域问题的完整相容方程,使"相容"的概念名符其实,即当任一点形变满足完整相容方程后,所求得的位移是相容的,有唯一的确定值而不存在所谓位移多值项.文章从两个数学命题入手,导出了一些问题的完整相容方程,並对弹性理论中的一些问题提出新的见解.