华罗庚不等式的上界与下界的研究

在多复变分析的研究中,华罗庚发现并证明了行列式不等式det(I-AAH)det(I-BBH)≤|det(I-ABH)|2,其中n×n复矩阵A,B满足I-AAH,I-BBH都是Hermitian正定矩阵.本文从一个矩阵恒等式的应用出发,给出了较为精细的华罗庚不等式的新的上界和下界:det(I-AAH)det(I-BBH) |det(A-B)|2 (2n-2)|det(A-B)|[det(I-AAH)det(I-BBH)]21≤|det(I-ABH)|2≤det(I AAH)det(I BBH) (22n-1-2n 1 1)|det(A B)|2-(2n-2)|det(A B)[(22(n-1)-2n)|det(A B)|2 det(I AAH)det(I BBH)]21.     

矩阵方幂韵秩的一个恒等式及应用

应用分块矩阵的初等变换的方法，得到矩阵方幂的秩的一个恒等式，由此给出了矩阵为m幂等矩阵与m对合矩阵的充分必要条件，推广改进了已有的相关结论．     

矩阵特殊乘积之间关系

给出了矩阵的Tracy-Singh乘积是置换等价于Kronecker乘积的简单的初等证明,得到了一个分块矩阵的Khatri-Rao乘积与Tracy-Singh乘积之间的显示关系。     

关于正定自共轭矩阵的Kronecker乘积与Hadamard乘积的行列式的界限

给出了正交自共轭矩阵的Kronecker乘积与Hadamard乘积的行列式的界限,推广、改进了相关文献的结论。     

广义二次矩阵和与积线性组合的秩与零度

应用广义二次矩阵与幂等矩阵互为确定的关系, 证明了在某种条件下广义二次矩阵和与积的线性组合的秩与其组合系数选择无关.     

(m,l)秩幂等矩阵和(m,l)幂等矩阵的特性研究

如果存在自然数m,l(m>l)使r(Am)=r(Al),称A为(m,l)秩幂等矩阵;当Am=Al时,称A为(m,l)幂等矩阵.依据矩阵的幂等性与秩幂等性不随数域的改变而改变这一基本事实,应用Jordan标准形的性质,得到了这两类既有区别又有密切联系的矩阵类的特性刻画.     

关于幂等矩阵秩的讨论与Cochran定理的注记

注意到最近的幂等矩阵秩的讨论,指出了相关文献之间的联系和不足,简化了其证明过程,并说明这些讨论与在概率统计和矩阵理论中都有重要价值的Cochran定理有着密切的关系.     

广义二次矩阵与其幂等矩阵线性组合幂等性的非平凡解

首先, 用广义二次矩阵的基本性质, 研究表示为A²=αA+βP的广义二次矩阵A与幂等矩阵P的线性组合ρA+σP为幂等的非平凡解(ρ,σ)的存在性,  结果表明, 当η²=4β+α²≠0时, ρA+σP有且仅有两个非平凡解,A可唯一地表示为这两个非平凡解生成的幂等矩阵的线性组合; 其次, 讨论当η²=4β+α²=0时ρA+σP非平凡解的情况.     

关于Oppenheim型不等式的讨论

进一步推广了两个Hermite正定矩阵的Hadamard乘积的Oppenheim型不等式,这些结果优于RA Hom和CR Johnson编著的“Matrix analysis”中的相应结论．