几种递推数列通项公式的求法

<正>数列是高中代数的重点内容之一,也是高考考查的重点,从近几年的高考试题看。递推数列为考查热点,通常题目条件中给出a_n,a_(n-1),a_(n-2)及S_n的关系,然后要求解决一些有关数列通项、求和等问题。本文就几种递推数列的通项求法做一些讨论。1递推数列a_(n+1)=pa_n+q型(p,q为常数)通项的求法例1求满足a_1=3,a_(n+1)=1/2a_n+3(n∈N)的数列{a_n}的通项。     

矩形网格中Hamilton圈个数的计算

讨论了n×m阶矩形网格(其中n和m中至少有一个为偶数)中 Hamilton圈个数F(n,m),获得下列结果:F(n,3)=2~(n/2-1),对任何偶数n;F(n,4)=2[F(n-1,4)+F(n-2,4)-F(n-3,4)+F(n-4,4),对n≥6;F(n,5)=11F(n-2,5)+2F(n-6,5),对≥8的偶数n;其中F(2,4)=1,F(3,4)=2,F(4,4)=6,F(5,4)=14,F(2,5)=l,F(4,5)=14,F(6,5)=154。 本文也指出n×m阶矩形网格的两点间的平均距离等于(n+m)/3,且对于k维空间推广了这个结果。     

代数多项式的友矩阵及其应用

该文以友矩阵的特征值为基础,讨论了形如“Pn(x)=xn-a1xn-1-a2xn-2-…-an-1x-an”的代数多项式的友矩阵的一些简单性质,并给出了组合恒等式的几个通项公式以及形如“S(n)=a.S(n-1)+b.S(n-2)+c.S(n-3)”的递归数列的通项公式.     

标准基解矩阵的通项公式

1 概念与引理设M_n(F)代表数域F上的全体n阶方阵的集合。引理1 任意 A∈M_k(F),则A必定满足一个r阶常系数线性齐次差分方程。 f(n)=a_1f(n-1)+a_2f(n-2)+……+a_(r-1)f(n-r+1)+a_rf(n-r)(1)其中 1≤r≤k,f(i)=A~i,且A的n次方幂的通项公式为:     

关于Fibonacci多项式通项的证明

Fibonacci多项式是以递推方式定义:F0(x)=1,F1(x)=x,F n+2(x)=x F n+1(x)+F n(x).利用代数知识,给出Fibonacci多项式通项的行列式形式和矩阵、向量乘积形式的通项公式证明.     

利用函数解决等差数列问题

等差数列,等比数列在中学数学中占有重要地位,很多较为复杂的数列在求其通项的过程中,往往化归为等差、等比数列才得以解决,而级数又是高等数学的重要组成部分.因此对等差、等比数列的学习及对其本质的探讨是十分重要的.等差数列通项公式为a_n=a_1 (n-1)d,前n项和公式是S_n=(a_1 a_n)/2n=na_1 n(n-1)/2d,数列本身又是一类整标函数,由此可以联想到其通项a_n是n的一次函数,S_n     

几种特殊图的填充数

应用图的最优填充分解定理和局部最优填充定理,得到了书本图Bm、方型网图F(m;n)(m=1,2,3)和蛛网图W(m,n)(m=1;n=3)的填充数表达式分别为:F(Bm)=m,F(F(1;n))=n,F(F(2;n))=4n-3,F(F(3;n))=({]3,n=1,9,n=2,14,n=3.)F(W(1,n))=n-3,F(W(m,3))=3(m-1).     

几种收敛速率较高的迭代求解程序

为求解方程f(x)=0,我们提出了下列二种迭代程序:x_n~(1)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_(n-1)~(m)),x_n~(2)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_m~(1)),x_n~(3)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_n~(2),x_n~(m)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_n~((m-1))),(?)n∈N_0和z_(n 1)=ω(x_n,y_n,x_n),y_(n 1)=ω(x_n,z_(n 1),z_(n 1)),x_(n 1)=ω(x_n,z_(n 1),y_(n 1)),其中ω(x,y,z)=z-f(z)/f(x,y),f(x,y)=f(x)-f(y)/(x-y),它们的收敛阶分别为m (m~2 4)~(1/2)/2和2 3~(1/2)。本文分别建立了程序(I_m)和程序(Ⅱ)的收敛性定理,并就两个定理作了六点注记。文中还给出了一个数值例子     

Fibonacci数的若干性质（Ⅲ）

本文用组合分析和数学归纳法推导出Fibonacci数的以下一些性质: 此外,类似地还得出了Lucas数列及序列{V(n)=V(n-1)+V(n-2)+1},(V(0)=1,V(1)=2)的若干性质。     

两类广义Fibonacci数列的关系

本文将研究广义Fibonacci数列｛un=un-1 un-2｝和数列｛αn=αn-1 αn-3 αn-4｝的内在关系，得到：设αn=1，α2=(m↑∑↑i=1ui s)^2,α4=(m 1↑∑↑i=2ui s)^2,α6=(m 2↑∑、i=3ui s)^2且αn=αn-1 αn-3 αn-4，则（1）α2n=(m n-1↑∑↑i=nui s)^2,α2n 1 α2n-2 α2n-3=2(m n-2↑∑↑i=n-1ui s)(m n-1↑∑↑i=nui s)(2)α2n 1=(m n-1↑∑↑i=nui s)(m n↑∑↑i=n 1ui s) (-1)^n 1X(m,s)，其中X（m,s)=(um s 1-us 1)(um s 2-us 2)-1。     

等差数列的两个充要条件

我们知道,如果{a_n}为等差数列(以下简记为A·P),那么它的通项和前n项和分别是: a_n=a_1 (n-1)d ① S_n=na_1 n(n-1)d/2 ② 整理,得 a_n=d_n (a_1-d) ③ S_n=d/2n~2 (a_1-d/2)n ④ ③、④二式表明:当d≠0时,A·P的a_n是n的一次式,S_n是n的二次式;当d=0时,A·P的a_n是常数,S_n是n的一次式。 现在的问题是:如果一个数列的通项a_n=kn b(k,b为常数),那么这个数列是否是A·P?如果前n项和S_n=pn~2 q~n r,这个数列是否是A·P?下面的两个定理分别解决了这个问题。 定理1 数列{a_n}为A·P的充要条件是:a_n=kn b(其中k,b是常数)。     

一类包含Fibonacci数与Lucas数的恒等式

利用二阶线性递归数列{Un}的通项表示及其性质，引进了一个新的数列{Vn(m，k)}，其定义为：Vn(m，k)=Umn k，其中m≥2,n≥0，k=1，2，…m．通过对其母函数的研究，得到了一类包含Fibonacci数与Lucas数的新恒等式．     

Fibonacci序列及其应用

Fibonacci序列是一个整数递增数列,F_0=F_1=1,F_i=F_(n-1)+F_(n-2)(n≥2)本文介绍F_n的通项公式的几种推导论证的过程,并着重严格阐明在优选法上予以应用时的理论依据作用。     

广义Fibonacci数列的通项

著名的Fibonacci数列|Fn|，其中F0=F1=1，Fn 1=Fn-1，(n=1，2，…)，在许多实际问题中都有着极其广泛的应用．Fibonacci数列通项的得出方法多种多样．在文献[2]用生成函数的方法得出了Fibonacci数列通项的基础上，将Fibonacci数列由各项取自然数推广至各项取任意实数，得到广义Fibonacci数列，其中R0=a，R1=b，Rn 1=uRn-1(n=1，2，…)．其中a，b，u，v∈R．并用生成函数的方法得出推广后的广义Fibonacci数列的通项．希望这种方法可应用在求有关递推数列的通项中．     

无界区域Rn上GBBM方程解的存在唯一性问题

研究GBBM方程ut-aΔut-bΔu F(u) γu=h(x),其中F(u)=(F1(u),…,Fn(u)), F / xiFi,Fi(0)=0,Fi是R1上二阶导数连续的函数,fi(s)=d/dsFi(s),fi满足fi(0)=0,｜fi(s)｜相似文献   

含有全部K元排列的短数列

设n,k都是正整数,k≤n。设函数F(n,k)具有下述性质:存在一个长度为F(n,k)的数列S_(n,k,)对每一个i,1≤i≤k,它的前F(n,i)项以1,2,…,n的全部i元排列为其子数列,并且任何长度小于F(n,k)的数列不再满足这一条件。本文证明了下面的, 定理设1≤k≤n-1,F(n,k)的定义如上所述,则 F(n,k)≤k(n-1) 1-[k/6]-[(k 2)/6]这里[x]表示实数x的整数部分。     

蕴含扇图的可图序列的最小度和

设Fr是r个顶点的扇图,则对每一个n项可图序列π=(d1,d2,…,dn),蕴含扇图F5的可图序列的最小度和σ(F5,n)=4n-4,n≥5.     

互不相食的强王后的最大个数

所谓强王后指是在 n×n 国际象棋棋盘上不仅可以沿横行,竖列行走,还可以沿棋盘的两条对角线(没有折断和折断了的)方向行走的棋子,本文解决了当 n 是奇数时,n×n 国际象棋盘上可以放置的互不相食强王后的最大个数(记为 Q(n))。当旦仅当 n=1及 n=6m±1时,Q(n)=n;当n=6m-3时,Q(n)=n-2,当 n=12m±2时,Q(n)=n-1。这里 m 是任意自然数。     

一个递推数列及勾股连续数

由递推式a_(n+1)=2a_n+a_(n-1) a_0=l,a_1=2,n∈N(l)给出的数列十分有趣,由它可得到勾股为连续自然数的全部基本的勾股数组.     

构造随机试验解代数问题

巧妙地构造随机变量解代数问题,不但使一些复杂的公式命题具体化,而且使枯燥的数学公式命题趣味横生.本文将通过数例分析概率论在解决代数问题中的一些应用.1 在排列组合方面的应用例1 求证 C_(n-1)~(n-1) C_n~(n-1) C_(n 1)~(n-1) … C_(n-1 m)~(n-1)=C_(m n)~n(=C_(m n)~m).证明原式可变形为C_(n-1)~0 C_n~1 C_(n 1)~2 … C_(n-1 m)~m=C_(n m)~m,即 sum form r=0 to m C_(n-1 r)~r/C_(n m)~m=1.构造概率模型如下:在 n 1个可分辨的盒中放