无限维向量空间

线性代数中只介绍了域F上的有限维向量空间V。在一般情况下,如果F不是一个域,而只是一个环R,那么一个环R上的向量空间要比域上的向量空间更为广泛,结构也更为复杂,这时称V为一个环R上的模。摸是一类重要的代数结构。如果是一个除环D上的向量空间,则它与域上的向量空间大体上相仿,只不过有左与右之分。另外一个除环D上的(左或右)向量空间的维数如不是有限的,即无限维,它是环R—模的特殊情况,是有限维空间的推广。本文就是在有限维向量空间的某础上介绍除环D上无限维向量空间的结构——基与维数等问题。     

数域空间

本文试图通过向量空间的定义,按照普通数的加法与乘法定义出数域空间,进而讨论构成数域空间的充分必要条件及其维数。 1 向量空间与数域空间的概念定义1 令V是一个非空集合,F是一个数域,当它满足下列条件时,称V是数域F上的一个向量空间(或线性空间)。其中V中的元素称为向量,F中的元素称为数(或纯量)。     

除环上的左向量空间的一些特性

本文给出一类除环上左向量空间等于有限个真子空间的集合并的一些性质。在高等代数中有这样一个性质:数域F上的向量空间V的任意有限个真子空间之并不等于V。本文进一步讨论其性质并推广到除环上去。     

向量空间基数的研究

利用集合基数的基本知识和无限数的运算性质 ,研究了数域 F上向量空间 V的基数与 F的基数的关系 ,得出了非零向量空间 V(F,n)和可数维向量空间 V(F)都与数域 F有相同基数的结论 .     

表类辛平延为辛平延之积——《局部环上辛变换分解长度定理》续

在<局部环上辛变换分解长度定理>一文中给出:σ∈SP_n(V,q),都可表成若干个辛平延和一个类辛平延之积.这种分解的因子最少个数叫做辛变换σ的分解长度,记为l(σ).则当σ是非双曲时,有l(σ)=resσ;当σ是双曲时,l(σ)=resσ+1.类辛平延是这样定义的:设τ∈SP_n(V,q),如果)是域 F=R/M上辛空间中的一个非平凡的辛平延,则称τ为环 R 上辛空间(V,q)中的     

向量空间L(V)的一个基

给出了数域 F 上 n~2维向量空间 L(V)的一个基.     

关于n—维矩阵群的注记

本文证明了域 F 上的 n 阶2m—维矩阵环 M_(2,n)(F)同构于域 F 上的 n~m 阶全矩阵环F~(n~m×n~m),以及域 F 上的 m-维矩阵空间 M_(m,n)(F)同构于域 F 上的 n~m-维向量空间F~(n~m).     

f-基的判定和线性变换下的f-线性关系

V是数域F上的一个向量空间，α1，α2，…，αn-1为V的一个f-基，本文给出了V的一个向量组β1，β2，…，βn-1是V的f-基的充分必要条件，并讨论了线性变换下模糊线性无关的向量组的变化规律。     

局部环 R 上一般线性群的生成元定理

本文主要是将域 F 上一般线性群 GL_n(F)的生成元定理,推广到局部环 R 上的一般线性群 GL_n(R).因为对 n 维 R——空间 V 及 GL_n(R)中元素σ,Q=(σ-1)V 及M={x∈V|σx=x}一般只是空间 V 的 R——子模,未必是 V 的 R——子空间,故 O.T.O'Meara 所定义的剩余空间的概念,不能直接引用。但不难指出,对空间 V 的任意子模,均存在依赖于该子模的不变量。据此,可对 GL_n(R)的元素,引进剩余数的概念,并在此基础上得到本文的结果。     

有限域上的一类线性空间的注记

本文从线性代数的理论出发讨论有限域上的一类向量空间。首先得出,有限域F上的血量空间V上的任何线性变换在其F的一个代数扩域（非代数闭域）上都存在特征值;其次给出．有限域F上的一类域空间上的一类线性交换的表示;最后讨论了特征p≠2的有限域F上的内积空间的一些性质。     

多项式环上酉群的一类极大子群

设F是域,R=F[λ]是域F上的一元多项式环,m是一个正整数。本文利用矩阵论方法得到了多项式环上酉群的一类极大子群。     

有关实Hamel基的不可测集

任意除环D上的一个向量空间V必有一个基,称为Hamel基。这可用有限特性子集集或Zorn引理证明。一般的Hamel基是实Hamel基的推广,本文只论后者,所谓实Hamel基是指:以Q及R表示有理数域与实数域,将及看作是Q上的一个向量空间,则存在着R的一个子集B(不具唯一性),使得: (A):B的每个有限子集都是Q上的线性无关组。 (B):R的每个元都可唯一地(但不计加项的先后及0项)表成B的元的有限线性组合,系数在Q内,即任意实数x=∑riba,其中r_i∈Q,b_a∈B,{a_i}是B的标集,∑表示有限和,表示式是唯一的。     

关于可对角化线性算子的一点注记(英文)

域F上有限维向量空间V的线性算子τ∈L(V)可对角化当且仅当它的极小多项式mτ(x)是F上互异一次因式之积.文章将利用线性算子τ的特征值的初等对称多项式给出此结果的一个新证明.     

局部环R上POn(V)的自同构

设R表示局部环,M是R的极大理想,V是R上N维对称内积空间,假设n≥5.V的双曲秩≥1,2,3,5是R中的单位.本文利用域上正交群射影自同构中区分对合的结果,证明了局部环R上POn(V)的自同构把1对合变为1对合,从而得出了在本文所设条件之下,局部环上POn(V)的自同构具有标准形式.     

行列式理论的外代数方法

外代数理论在近代数学中有许多重要应用,本文用外代数的方法统一处理行列式理论,它比起线性代数中传统的处理方法,则要更加简洁、明了。一、外代数的定义与基本性质定义1 设F是域,A是一个环,同时又是域F上的向量空间,且适合:     

欧几里得环上有限生成模的分解

本文主要介绍欧几里得环R上模M的基本理论,并且得出欧几里得环R上的任意有限生成模M都可以分解成有限个循环模的直和,最后将此理论应用到线性空间的线性变换从而得到域F上的n阶矩阵的一个广义Jordan标准型。本文分两个部份。     

有限伪反射群的二维不变式

设F是特征数为0的域,V是F上的n维向量空间,G是作用在n维向量空间V上的有限伪反射群,F[V*]G是由n个代数无关的齐次不变式f1,f2,…,fn在F上生成的多项式代数.在有限伪反射群的一般不变式理论的基础上,求出了G的二维不变式环F[2V*]G的一组基本不变式,f1(x1,x2,…,xn),f2(x1,x2,…,xn),…,fn(x1,x2,…,xn),f1(y1,y2,…,yn),f2(y1,y2,…,yn),…,fn(y1,y2,…,yn),这里F[2V*]=F[x1,x2,…,xn;y1,y2,…yn].并给出了F[2V*]G的基本不变式和有限伪反射群G之间的关系.     

正交化的矩阵方法

设V是特征数2的除环△上的n维向量空间,g(x,y)是V上的一个Hermite纯量积。本文给出了用矩阵的初等变换得到V的正交基的构造性证明。当V是实数域上的有限维向量空间,g(x,y)是正定对称纯量积时,本文给出了用矩阵的初等变换得到笛卡尔基的方法。这一方法推广了Schmidt正交化方法。作为推论,我们可以利用矩阵的初等变换把一个正定矩阵分解为两个三角矩阵的积,把一个非奇异实矩阵分解为一个正交矩阵与一个上三角矩降的乘积。     

标准算子代数上的中心化子

设X是实数域或复数域F上的Banach空间,R是X上的一个标准算子代数,I是R的单位元．证明了以下结论：如果存在正整数n≥1,使得可加映射Ф：R→（X）满足2Ф（A^n＋1）-Ф（A）A^n-A^nФ中（A）EFI对任意A∈R成立,则存在A∈F,使得对所有的A∈R,有Ф（A）=λA成立．     

多项式环R[x,x-1]里的因子分解

设R是一个整环 ,F是R[x]的商域 ,则R[x ,x- 1 ]是F的子环 .本文证明 :若R是域 ,则R[x,x- 1 ]是欧氏环 .若R是一个唯一分解环 ,则R[x ,x- 1 ]是唯一分解环 .