欧拉、费尔马定理及应用

<正> 在82年11期数学通报“关于整除问题”一文中,我只给出费尔马定理的一个初等证明,对于欧拉定理未加证明直接引用,本文除再给出费尔马定理的一个初等证明外,也对欧拉定理给予证明,证明方法和一般数论书中不同,没有用到完全剩余系和简化剩余系的知识,对于那些具备数论知识不多的读者来说学习较为有利。     

特征为2的正交几何中一个定理的证明

利用矩阵方法给出特征为2的有限正交几何中一个重要定理的初等证明。     

关于简单闭曲线切线的旋转指标定理

给出平面简单闭曲线切线的旋转指标定量的一个证明,所用的方法是直观和初等的,并适用于研究一般情形下的类似几何对象。     

蝴蝶定理的二种高等几何证法

本文给出了蝴蝶定理的两种高等几何方法证明,剖析了初等几何与高等几何领域内有关变换及化归的数学思想、方法的联系与统一。     

蝴蝶定理的一个推广

蝴蝶定理是初等几何的一个著名定理,此定理自1815年问世以来,人们对它的兴趣不减,不断发现它的新的证明及推论.1973年一位叫Steven的中学教师,用面积法给出了蝴蝶定理的一个漂亮的初等证明,本文用Steven的方法给出蝴蝶定理的一个新的推广.     

加权平均值不等式的推广

给出了加权算术－几何平均值不等式的一个插值不等式,应用此不等式给出了两个重要不等式的初等证明,它们的特例是著名的Ｈｏ¨ｌｄｅｒ不等式和Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃ不等式．     

一道初等几何题的补充证明和加强

对一道证明不完整的初等几何题给出补充证明,并进一步加强,得出两个结论.     

Pascal定理的初等证明及初等推论

给出了高等几何中的Ｐａｓｃａｌ定理的初等证明及５个初等推论。     

几何—算术平均不等式的两种归纳证明

对几何—算术平均不等式给出两种初等的归纳证明。     

一个Erds问题的新证明及其在球面的猜想

著名的数学家P.Erds在给殷涌泉教授的一封信中曾经提到过一个几何概率问题,张景中、杨路、张伟年用初等几何方法证明了Erds的这个猜想[1]。本文利用线集测度理论给出一个更直接的新证明,并讨论在球面上的推广问题,它可形象地描述成如何用＂绷带＂均匀缠球的问题。     

仿射变换在初等几何中的应用

本文探讨了仿射变换在初等几何中的应用。提出了利用仿射变换解决初等几何问题的基本思路 ,并给出了它在四个方面的应用 ,目的在于提高中学数学教师从现代几何学的观点处理初等几何问题的能力     

高等几何与初等几何

欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何,使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑,有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别,以便从高观点下把握和处理中学教材,这无疑对中学几何教学有很大的指导作用.如何来认识这种指导作用,笔者认为至少应注意以下5个方面:1.用高等几何的方法给出初等几何命题的简洁证明,如利用笛沙格(Desargues)定理证明三角形的三条中线交于一点;利用交比证明有关圆的问题;利用完全四点形的调和性,可     

关于Euler定理及引理的一种证法

初等数论中著名的Euler定理:“设m是大于1的整数,(a,m)=1,则a≡1(modm)。”前人已给多种证明,本文给出另一种证法,并给合初等数学知识,给出两个引理,由浅入深,组成一个完整的命题体系,以馈初学数论的读者。     

重心坐标法证明几何定理

众所周知,在欧氏平面中,如取定一个标架后,可以用坐标的计算来做几何证明,类似地考虑,我们如取定一个三角形（它相当于一个标架）可以引入重心坐标。自然地可以用重心坐标来做几何。三角形是几何中最稳定的,而且很美。本文以重心坐标的方法来证明几道初等几何中的难题,以比较其与其它坐标的优缺点,并试图找出一个完善的理论,能解决所有的几何问题,这对机械化证明也许是有帮助的。     

最优二叉树的完备性证明

在最优二叉树的证明中，一般是从该树中通路长度最长的分枝点有两个孩子开始证明，但在前提中没有给出“在最优二叉树中通路长度最长的分枝点一定有两个孩子”的条件，本文就此问题展开研究，证明了最优二叉树的一个性质：最优二叉树一定是完全二叉树。     

外角平分线相等的三角形的讨论

1840年,斯坦纳等一个用纯几何方法证明世界名题“斯坦纳定理”:[1] 两内角平分线相等的三角形是等腰三角形。 以来,人们对定理研究的兴趣愈演愈烈。在本世纪的一般初等数学杂志上都可寻求到定理的踪迹,而且定理在数学竞赛中也非常活跃,至使成为1990年30届工MO预选题。 1980年,日本井上义夫先生将定理的内角平分绵扩充到外角平分经,出有名的“井上难题”:[2] 位于唯一最小(大)角对边的另两外角平分线相等的三角形是等腰三角形。 1989年,我国杨州师院蒋声老师构造出有趣的“蒋声问题”:[3] 位于角A对边的另两外角平分线相等的△ABC是非等腰三角形的条件是:其中     

笛沙格定理与对偶定理的证明及其应用

本文对高等几何中的笛沙格定理及对偶定理进行了证明,并通过两个实例说明了上述定理在初等几何中的一些具体应用。     

“等角对等边”的几种证法

等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)已知△ABC中,∠B=∠C求证:AB=AC这是一个证明两线段相等的问题.我们可从已有知识基础出发,从常规的、非常规的多角     

“一阶常微分方程的初等解法”研究

本文介绍了“一阶常微分方程的初等解法”教学中对 教材处理的几种方法和技巧,并给出了关于“积分因子”的两个定理。     

关于丢番图方程x~2-2py~2=1的初等解法

除开正整数解,(x,y)=(1,1),(13,239)外,无其他的正整数解.Ljunggnen这个结果的证明非常复杂且需较深的代数数论的知识,所以,上述关于方程(1)的定理的证明,不是一个初等的证明.这篇短文,将给出上述定理一个初等的证明.为引用方便,下面先给出二个仅仅用到初等方法的引理。引理1.丢番图方程