飞越北极数学建模方案Ⅰ

对“飞机从北京出发,飞越北极直达底特律所需时间可比原航线节省多少”的问题进行讨论,并将航线的选择归结为寻求曲面上的最短弧,应用“曲面上最短弧为测地线”的事实,分两种情况展开讨论：模型一：假设地球是球体,则测地线恰好是大圆,而球面上两点间的最短弧,就是其所在大圆对应的劣弧,我们可通过单位向量的点乘与夹角的关系加以解决;模型二：假设地球是旋转椭球体．我们利用微分几何学中测地线方程及曲线的弧长公式,并且把球面的纬度转化为旋转椭球面纬度,对于4组较特殊的点,纬度几乎相等或相近,或者两者之间的经度差过大,用测地线计算比较困难,我们用椭圆弧长代替测地线,结合数学软件Mathematica可求得测地线长．     

飞越北极模型

本采用过球面上两点与球心的平面和球体的交线作为飞行航线。模型一计算球体上大圆的劣弧长度得到了与问题结论相一致的结果，模型二计算椭球体上一椭圆的一段弧长得到了与问题结论较一致的结果。     

变分在初等几何中的应用两例

变分在初等几何中的应用两例王清华（西南民族学院预科部）在初等几何中，有两个以公理形式给出的结论：结论１，在所有连结两点的线中，线段最短；结论２，在球面上，两点之间最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度。这里用变分学的知识给予严格的...     

球面上两点的最短距离的证明

教科书上对此问题只提出结论：“在球面上两点的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点之间的劣孤的长度．”《数学教学通讯》1983年2期上有文章给予了证明，简述如下；如图，M1M2为球面上两点，设则微分可以证明，y与R成减函数关系．所以当R最大等于球的半径时，MIMZ长有最小值，因此大圆劣孤M1M2长是M1到M2的球面最短距离．以上证明有两个问题：一是使用微分已超出高中数学范围；二是此种证法先人为主地规定了，M1到M2的最短路线是一道圆孤，只是去找最小的圆孤．为什么？没有论证．笔者提出一种证明方法，可以避免上述两个问题．…     

用多距离特征识别三维物体的表面形状

本文讨论一种识别物体的方法。三维空间中的物体表面可以由部分球面、柱面和平面来近似,并且这些面是能够被识别的。处理方法是通过分割图象成为区域(Region)且并行处理这些区域来实现。文内叙述一种技术。这种技术应用具有激光扫描器的摄象机系统获取图象。测量三维物体相应表面点的座标。然后用相应区域中的三点决定一个参考平面,进而计算区域中的特征点到参考平面的距离。这些多距离特征可被用来识别相应区域中的物体表面是球面、柱面还是平面。这些面的方向,可用具有两个斜角的表面法线方向来描述。这种技术在自动装配线上和工业监视检验中是很有用的。可用其找出另件在三维空间中的位置和方向,计算检验另件表面形状外形尺寸等等。     

关于复射影空间上两点间的距离公式?

基于单位球面在Jion结构下两点间的距离公式,给出了赋有经典度量的复射影空间上两点间的类似距离公式.     

关于最短距离的三种问题

求最短距离是同学们比较薄弱的问题，这里列举三种，希望对同学们有所帮助 例1：如图，A、B两村在运河边CD的同侧，A、B两村到运河CD的距离分别为1km和3km，且C、D之间的距离为3km， 现要在河边建一自来水厂，铺设水管。请你在运河CD上选择水厂的位置P，使铺设水管的费     

平面曲线间Hausdorff距离计算

为克服传统的针对平面曲线间Hausdorff距离4种情况需分别求解不同非线性方程组的缺点,分两个步骤计算平面曲线间的Hausdorff距离.首先将曲线A进行离散化处理,并计算各离散点到曲线B的最小距离,从中选择若干个距离较大,且满足曲线A上相邻点到曲线B的距离呈"小大小"的点对作为近似解;然后根据各点对处曲线的特点,判断该点附近可能存在4种类型点的哪一种,建立相应的优化模型并进行局部寻优,选择优化结果中最大的距离值作为两平面曲线间的单向Hausdorff距离.该法将平面曲线间Hausdorff距离的计算转化为点到曲线的最小距离计算,计算过程简单有效.两个数值算例验证了该方法的正确性.     

套代数上的三重Jordan映射

设A是某个套代数的标准子代数，B是有理数域上的结合代数，r是非零的有理数.本证明了若双射φ：A→B满足 φr(ABC CBA)=r（φ(A)φ(B)φ(C) φ(C)φ(B)φ(A))，A，B，C∈A，则φ是可加的。     

利用点到直线的距离公式求两类三角函数的极值

解析几何求一点P(x_0,y_0)到定直线l:Ax By C=0(A、B不同时为O)的距离可由公式:d=(?)给出,利用此公式可以求出两类三角函数的极值。     

巧用平移抛物线妙解二次函数题

二次函数类题是初三数学的重要内容，常在中考试题中出现。它往往涉及到一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系、解方程或不等式等知识，计算繁琐，但其中某些问题可利用平移抛物线的方法巧妙求解。解这类问题的依据是：把抛物线左右平移，它的顶点纵坐标不变，它在X轴上截得的线段长不变；把抛物线上下平移，它的对称轴不变。现举例如下：例1已知抛物线y＝x2＋2（m－1）x＋2m－3（1）如果抛物线与X轴的负半轴有两个不同的交点，求m的取值范围；（2）设（1）题中的抛物线与X轴的两点交点为A、B，顶点为C，如果经过A、B、C三点的圆的…     

我们的脚下是什么地方?

我们都知道地球是个椭圆形球体,因而很自然地会发问:在我们脚下的地球那一边是什么地方呢? 地球两头相对的两点,地理学上叫做“对跖点”,要知道我们脚下是什么地方,可以用求对跖点的公式求出。求对跖点的公式是:假若甲地的纬度是x°,经度是y°;它的对跖点乙地的纬度也是x°,经度是180°-y°。甲地若是北纬,乙地就是南纬;甲地若在东经,乙地就在西经,两地遥遥相对。为了便于记忆,我们可以编成两句歌诀:“纬度相同分南北,经度互补各东西”。“互补”就是几何学上的补角关系,即两地的经度加起来等于180°。现在我们就来找找我国一些     

关于Schwarz定理的一个注记

令C是一个以R为半径且通过A,B两点的圆;C_1是劣弧(?),C_2是优弧(?). 设S是连接A,B且曲率小于1/R的所有曲线组成的集合,H.A.Schwarz曾证明,S中的曲线的长或大于C_2的长,或者小于C_1的长,在本文中我们证明下列定理:定理1 S中的曲线的直径或者大于2R,或者等于(?).定理2 S中的曲线的全曲率或者大于π,或者小于C_1的全曲率.     

一类定义在球面上的曲面的C2光滑性

用三角B样条理论研究了一类定义在球面上的曲面的C^2光滑性,为了解决通过定义在球面上的函数构造的一类定义在球面上的封闭参数曲面在球面的南北两个极点处无法达到C^2连续的问题,提出将球面上函数用三角B样条张量积形式表示,通过拟合球面上的散乱数据以获得球面上函数．只要在拟合的过程中张量积系数满足文中给出的约束条件,则由此函数构造的定义在球面上封闭参数曲面能够在球面上处处达到C^2连续。     

关于一类联图的r-强边染色

单图G的r-强边染色是指图的距离不超过r的任意两点可区别的边染色，所谓两点u，v间的距离是指这两个点之间的最短路的长，记为d（u，v）．图G的r-强边色数x′s（G，r）表示．本文给出一类联图的2-强边色数的界，并将结论推广到r-强边色数的界．     

距离函数的性质研究

目的是研究点到集合的距离函数f（x）=d（x,A）=infd（x,y）y∈A和g（x）=d（x,A）/d（x,A）＋,d（x,B）的性质,如非扩张性、一致连续性、局部lipschitz连续性,可微性等,其中A,B Rn且∩=Φ.     

平面解析几何中求最值的几种学法

解析几何中的最值问题是中学数学的一个重要课题，在高考中也多有出现。它涉及的知识面较广，综合性强，内涵丰富，方法灵活多样，对活跃思维，发展智力，培养能力等方面都有促进作用。下面谈几种求解析几何最值的主要方法。一、利用二次函数最值定义求最值求二次函数y=ax2±bx＋c（a≠0）的最值公式为；（1）若a＞0，则当时，（I）若a＜o，则当。—一＿时，ym。x一dac一心24a例．1设抛物线y一4一X‘与直线q一列的两交点为A、巧、，点P在抛物线上且由片到产运动，求当面P／IB面积最大时，P点位置P（X。，y卜。A＿．一0·’解A、B两点…     

画法几何投影原理应用二例

画法几何学一般应用于工程制图之中。为了引起学生的兴趣、扩大思路,可将画法几何学中的某些投影原理应用到地球及其大地上来,解决求太阳的高度角问题及地球上两地距离问题。 解决上述的两个问题一般的方法是利用球面三角学、球面天文学的原理进行推导才能得出计算公式。我们则利用画法几何学的方法,只需配合上一些平面几何、平面三角学就可以得出计算公式。其中所得计算太阳高度角的公式与天文学的公式相同。用画法几何学所得到图解法作图非常简便。 在求地球上两地距离时,虽然不如大地测量学中的准确,但在精度要求不很高的工程中使用时,要比大地测量学的计算公式简便。     

二阶曲线及其切线方程的求法

高等几何给出了二阶曲线的射影定义和有关理论，本文从新的角度介绍二次曲线方程和二次曲线切线方程的求法。玉米二阶曲线方程1．l利用射影定义求二阶曲线方程定义平面上成射影对应的两个线束，其对应直线的交点所形成的图形，称为二阶曲线，若两线束不共心，且不成透视对应，则曲线称为常态的，否则曲线称为变态的。定理1已知两个一维几何形式的三对（不同）对应元素，可准一确定一个射影对应。例里求通过五点A（l，0，－1），B（l，0，1），C（1，2，1），D（丑，2，一至），E（l，3，0）的二次曲线。假如图1所示囹1设以A、CH点为线束…     

智力碰撞

1.在钢带下面:设想你处在一个表面极其光滑而且像地球那样大的圆球上面。一条钢带紧紧地箍住了这个球的赤道。现在给这条钢带增加1码的长度,使钢带离开了球的表面,并且处处同球面保持着相等的距离。钢带的这张升高,是不