MKdV-Burgers方程衰减振荡解的 近似解和误差估计

研究了MKdV-Burgers方程衰减振荡解近似解的求解及其误差估计问题.利用平面动力系统理论对MKdV-Burgers方程的行波解所对应的动力系统作了定性分析,给出了其在不同参数条件下的全局相图和有界行波解存在的条件和个数.研究了该方程有界行波解的波形与耗散系数之间的关系,给出了表征耗散作用大小的两个临界值,得到了当耗散系数α大于某个临界值时方程有界行波解的波形表现为单调扭状孤波、当耗散系数小于某个临界值时方程有界行波解的波形表现为衰减振荡波的结论;求得了该方程在无耗散作用情况下所有可能的3种钟状孤波解.根据衰减振荡解对应的解轨线在相图中的演化关系,并利用假设待定法,求得了该方程的衰减振荡解的近似解.最后,根据齐次化原理的思想,通过建立反映衰减振荡解精确解和近似解间关系的积分方程,得到了所求衰减振荡近似解的误差估计,其误差是以指数形式速降的无穷小量.     

色散项系数为负的MKdV-Burgers方程的有界行波解

利用平面动力系统理论、假设待定法和齐次化原理研究了色散项系数为负的MKdV-Burgers方程的有界行波解,得到了方程行波解所对应的平面动力系统在不同参数条件下的全局相图以及有界行波解存在的条件和个数.讨论了该方程有界行波解的波形与耗散系数之间的关系,给出了表征耗散作用大小的临界值,该临界值与Bikbaev在文献中提出的临界值是不相同的.求出了该方程的钟状和扭状孤波解,进一步根据衰减振荡解对应的解轨线在相图中的演化关系,求得了该方程的衰减振荡解的近似解.给出了所求衰减振荡近似解与精确解的误差估计,其误差是以指数形式速降的无穷小量.最后,证明了所求衰减振荡解的近似解关于对接点的稳定性.     

求解一类介质散射问题的特殊解方法

采用特殊解方法, 计算求解一类时谐介质散射问题. 算法在区域简单剖分的基础上, 利用]基本解函数近似散射场的局部性态和无穷远处性态, 无需将无界域截断为有界域, 适用于一般散射体及多个散射体情形, 在粗糙网格下便可达到较高精度, 并实现快速收敛. 数值算例表明了算法的可行性和有效性.     

非线性电报方程行波解的定性分析与求解

利用平面动力系统的理论和方法研究了非线性电报方程的有界行波解.分析结果表明,非线性电报方程有且仅有两个有界行波解,并且当耗散作用较大时非线性电报方程的有界行波解呈扭状孤波解形式,而当耗散作用较小时呈衰减振荡解形式.在此基础上,利用假设待定法求出了对应耗散作用较大时方程的一种扭状孤波解的精确解,以及对应耗散作用较小时方程的衰减振荡解近似解.进一步运用齐次化原理,建立反映衰减振荡解精确解和近似解关系的积分方程,得到了衰减振荡近似解的误差估计.     

Kakutani Kawahara方程衰减振荡解的近似解及其误差估计

利用平面动力系统理论对非线性Kakutani-Kawahara方程ut+uux+buxxx -a(ut+uux)x=0(b＞0,a≥0)的行波解作了定性分析,得到了其有界行波解存在的条件,给出了在色散占优的情况下该方程的有界行波解不仅具振荡性而且还具衰减性的结论.进一步根据相图中解轨线的演化关系,利用假设待定法求出了该方程衰减振荡解的近似解.最后,根据齐次化原理的思想建立了反映所求衰减振荡近似解和精确解间关系的积分方程,从而得到了所求衰减振荡近似解与精确解间的误差估计,其误差是以指数形式速降的无穷小量.     

非Lipschitz条件下Levy过程驱动的混合种群方程的近似解

研究Levy过程扰动的混合种群方程的Euler近似解,在非Lipschitz条件下证明Euler近似解L2意义下收敛于解析解,从而推广已有的某些结果.     

浅水长波近似方程的行波解分支

运用平面动力系统理论、分支理论和直接方法研究浅水长波近似方程,证明该方程存在光滑孤立波解、扭结波解、反扭结波解及无穷多光滑周期波解.并在不同的参数条件下,给出光滑孤立波解、扭结波解、反扭结波解和光滑周期波解存在的各类充分条件,求出了上述一些有界的显式精确行波解.     

Levy噪声扰动的混合随机微分方程的Euler近似解

研究了Levy过程扰动的Markov状态转换的随机微分方程的Euler近似解,在非Lipschitz条件下,证明了Euler近似解均方意义下收敛于解析解,从而推广了已有的某些结果.     

求解一类偏微分方程的新算法

在再生核空间中讨论一类偏微分方程的求解问题.通过构造一组完全规范正交函数系,得到偏微分方程的精确解的级数表达式.截断级数得到偏微分方程的近似解.近似解一致收敛于精确解,且近似解的导数一致收敛于精确解的导数.数值结果表明该方法是有效的.     

具耗散项的对称正则长波方程的定性分析及显式解

运用常微分方程定性理论中的相平面分析方法讨论了具耗散项的对称正则长波方程的行波解,得到了关于其有界行波解的存在性、单调性及振荡性的若干结果,并求出了一类扭状精确孤波解和振荡解的近似解.     

非线性偏微分方程之间的Miura变换和精确解

在假设Ω（v,u）=f（v）u的情况下,利用Miura变换完全可积的性质,对偏微分方程uxx=F（u,ux,ut）进行了讨论,同时利用该方程到非线性偏微分方程G（v,vx,vt,…, lxv, tlv）=0的Miura变换,确定了该非线性偏微分方程的具体形式.作为应用,根据方程uxx=F（u,ux,ut）的已知解,得到了方程G（v,vx,vt,…, lxv,…, tlv）=0的精确解.     

奇异半正微分系统边值问题正解的存在性

利用不动点定理,考虑了二阶两点奇异半正微分系统边值问题的多个正解的存在性。该微分系统的非线性项f1(t,u,v),f2(t,u,v)可能在t=0,t=1,u=0,v=0奇异并且可能在某些t,u,v处为负。     

带有不定权的二阶差分系统正解的存在性

运用单调迭代法和Schauder不动点定理，获得了如下非线性二阶差分系统---当λ充分小时正解的存在性．其中[1，T]z：={1，2，…，T-1，T}，且a，b：[1，T]z→R，f，g：[0，∞）→[0，∞）连续，λ〉0为参数．     

Legendre方程的参数解

给出了Legendre方程通解即定理1.     

三种群捕食系统的正定常稳定解

应用分歧和摄动理论讨论了带有反应扩散项的三种群捕食链系统的正定态解的存在性和稳定性．由于三种群系统的复杂性，讨论过程先后以食饵的出生率、第一捕食者的死亡率和第二捕食者的死亡率作为分歧参数，利用线性化稳定性原理，逐步得到弱半平凡解、强半平凡解和非平凡正解，并证明了这些分歧解为渐近稳定的．所得结论与原系统模型的生态学意义相符．     

关于丢番图方程1+2x7y+2z5u7v=5w

设x,y,z,u,v,w为非负整数,用计算机辅助方法给出了指数丢番图方程1+2^x7^y+2^z5^u7^v=5^w的全部非负整数解：(x,y,z,u,v,w)=(1,0,1,0,0,1),(1,1,1,1,0,2),(2,0,2,1,0,2),(3,0,4,0,0,2),(4,0,3,0,0,2),(4,1,9,0,0,4),(5,1,4,2,0,4),(6,0,4,1,1,4),(9,0,4,0,1,4).     

一类反应扩散方程组的解的爆破

讨论了一类反应扩散方程组ut=Δu upev, vt=Δv vqeu的解的爆破性质;得到了与指数、初值及区域都有关的爆破条件.     

关于不定方程组x±1=6pqu2,x2（-＋）x＋1=3v2的整数解

设p,q是互异的奇素数,p≡q≡1 （mod 6）,利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等方法证明了不定方程组x-1=6pqu2,x2＋x＋1=3v2仅有平凡解（x,u,v）=（1,0,±1）;而不定方程组x＋1=6pqu2,x2-x＋1=3v2仅有平凡解（x,u,v）=（-1,0,±1）.     

一维二相自由边界问题

研究Bingham流体上的一维二相自由边界问题,该问题的特点在于自由边界条件比较特殊,在边界上没有明确的表达式。本文利用不动点定理证明了局部解的存在性。     

耦合抛物方程组正解的整体存在性与爆破

考虑带非线性边界条件αu/αn=u~α,αu/αn=v~β,(x,t)∈αΩ×(0,T)的耦合抛物方程组u_t=v~p△u,v_t=u~q△v,(x,t)∈Ω×(0,T),其中ΩR~N为一具有光滑边界的有界区域,p,q>0和α,β≥0为常数.研究了上述问题正解的整体存在性与不存在性,并建立了一条新的准则,证明了当且仅当α<1,β<1,且pq≤(1—α)(1-β)正解整体存在.