欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的正整数解

研究了方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的可解性问题,φ(n)定义为欧拉函数。利用欧拉函数的性质和初等数论的方法,得到了该方程的所有正整数解。     

Euler函数方程φ(xy)=7φ(x)+13φ(y)的正整数解

利用初等方法研究了不定方程φ(xy)=7φ(x)+13φ(y)的可解性问题,并给出了该方程的全部正整数解,其中φ(n)是Euler函数.     

三元变系数欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)的正整数解

研究了欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)的可解性问题,其中φ(n)为欧拉函数.利用初等数论相关内容,提出求解该方程的新的数学技巧,得到该方程所有共计70组正整数解.该方程的求解方法可用来解决类似的欧拉函数方程问题.     

两个复合欧拉函数方程 φ(φ(n-φ(φ(n))))=8,10的可解性

设φ(n)为Euler函数,利用初等方法与技巧,分别研究了复合欧拉函数方程φ(φ(n-φ(φ(n)))=8,10的可解性问题,分别得到了两个方程的所有正整数解.此外,熟练地掌握这类方程的运算过程对于相似复合数论函数方程可解性的研究大有裨益.     

三元变系数欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)的正整数解

研究了方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)的可解性问题,φ(n)定义为欧拉函数。利用欧拉函数的性质和初等数论中的整除理论,得到了该方程的所有正整数解。     

不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的正整数解

讨论了不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性,利用初等方法给出了该方程的57组正整数解,其中φ(n)为Euler函数.     

方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z)的正整数解

讨论了方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z)的可解性,并给出了此方程的所有正整数解.     

方程kφ(m)=S(mt)的正整数解的讨论

Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)是数论中的两个重要的数论函数.包含Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)的方程的可解性问题引起了众多数论爱好者的关注,并取得了丰富的研究成果.本文将考虑方程kφ(m)= S(m31)的可解性,基于Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)的性质以及初等的方法给出该方程只在k=1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,16,24,32,33时有正整数解,并给出了其全部的正整数解.     

数论函数方程φ(ab)=11φ2(a)+13φ2(b)的可解性

令数论函数φ(n)为Euler函数,数论函数φ_e(n)为广义Euler函数,基于Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_e(n)混合的不定方程的可解性,提出了方程φ(ab)=11φ_2(a)+13φ_2(b)的整数解的求解问题,利用函数φ(n)与φ_2(n)的有关性质,采用分类分段的讨论方式,得到了该方程有21组正整数解.     

关于数论函数方程φ_2(n)=S(n~8)的解

利用φ_2(n),φ(n),S(n)的基本性质并结合初等数论等方法以及C++程序研究了方程φ_2(n)=S(n~8)的可解性,证明了该方程仅有正整数解n=189,243,343,375,378,486,500,686,750,867,1 156,1 734。     

一个包含Euler函数φ(n)的方程的解

针对Euler函数φ(n)与函数ω(n)混合的形如φ(n)=2~(ω(n))q_1~(ω(n)q2ω(n))…q_k~(ω(n))的方程的可解性,其中q_1,q_2,…,q_k为互异的奇素数,提出了方程φ(n)=2~(ω(n)5ω(n))的可解问题,利用Euler函数φ(n)与函数ω(n)的有关性质以及初等方法,得到了该方程的全部13组整数解n=1,11,202,250,2 222,2 510,2 750,3 012,3 750,27 610,37 650,41 250,414 150.     

关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n~(3,4)))=φ_2(n)的可解性

研究了数论函数方程S(SL(n3))=φ2(n)及S(SL(n4))=φ2(n)的可解性问题,其中S(n)为Smarandache函数,SL(n)为Smarandache LCM函数,φ2(n)为广义欧拉函数,利用初等数论内容方法及计算技巧得到上述两个数论函数方程的所有正整数解.     

数论函数方程Z(n)=φ_2(n)的解

利用初等方法以及伪Smarandache函数和广义Euler函数的性质,讨论了方程Z(n)=φ_2(n)的可解性,证明并给出了该方程正整数解的形式.     

关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n~(13)))=φ_2(n)的可解性

研究了数论函数方程S(SL(n~(13)))=φ_2(n)的可解性问题,其中S(n)为Smarandache函数,SL(n)为Smarandache LCM函数,φ_2(n)为广义欧拉函数,利用初等数论内容方法及计算技巧得到上述两个数论函数方程的所有正整数解.     

包含Euler函数φ(n)与函数Ω(n)方程的解

对任一正整数N,φ(N)为Euler函数,Ω(N)为N的素因数个数函数。讨论了方程φ(N)=2~(Ω(N))3~(Ω(N))的可解性,基于整数的分解获得了该方程的解。     

关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n~(5,6)))=φ_2(n)的可解性

研究了数论函数方程S(SL(n~5))=φ_2(n)及S(SL(n~6))=φ_2(n)可解性问题,其中S(n)为Smarandache函数,SL(n)为Smarandache LCM函数,φ_2(n)为广义欧拉函数,利用初等数论内容方法及计算技巧得到上述两个数论函数方程的所有正整数解.     

数论函数方程φ(φ(n))=2~(ω(n))3~(ω(n))的奇数解

讨论了方程φ(φ(n))=2~(ω(n))3~(ω(n))的可解问题,利用初等方法给出了当n为奇数时该方程的奇数解,确定了该方程共有5个奇数解,其中ω(n)为正整数n的不同质因数的个数.     

关于Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n~(9,10)))=φ_2(n)的可解性

研究了数论函数方程S(SL(n~9))=φ_2(n)及S(SL(n~(10)))=φ_2(n)(n≥2)的可解性问题,其中S(n)为Smarandache函数,SL(n)为Smarandache LCM函数,φ_2(n)为广义欧拉函数,利用初等数论内容方法及计算技巧得到上述两个数论函数方程的所有正整数解。     

有关Euler函数φ(n)的方程的可解性问题

对任意正整数n≥1,著名的欧拉函数φ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数。利用初等方法研究了方程φ(xy)=5(φ(x)+φ(y))的可解性问题,并给出了所有正整数解。     

数论函数方程φ_2(n)=S(n~(12))的解

利用数论函数φ(n),φ_2(n),S(n)的基本性质并结合初等数论方法,研究了方程φ_2(n)=S(n~(12))的可解性,证明并给出该方程仅有正整数解n=480。