Riemann Zeta函数零点分布的研究进展

1859年,Riemann以Euler恒等式作为研究的出发点,定义了复变数s=σ+it的函数—Riemann Zeta函数,对Zeta函数进行了非常深刻的研究,解析数论也正是沿着Riemann所指明的方向在二十世纪取得了迅速的发展. Riemann Zeta函数的零点与素数的分布有着非常密切的关系.首先简述了Riemann Zeta函数的解析性质:函数方程、非零区域、阶的估计、积分均值等,对Riemann Zeta函数的零点分布的研究动态进行了阐述,并利用零点密度估计的经典方法—零点探测法,证明了Ingham的经典结果.最后介绍了Riemann Zeta函数的高阶推广—自守L-函数的零点分布及应用的研究进展,其中也包括了作者近年来在这一领域所做的部分工作.     

Riemann函数ζ(s)一个简捷的初等表达式

利用Jordan不等式及Kober不等式,推导出Riemann Zeta函数ζ(s)简捷的初等表达式(s为不小于2的整数),并用此表达式可求出:当s为正偶数时,ζ(s)的准确值.     

广义Genocchi数和Riemann Zeta函数的一些恒等式

文献[1]给出了Genoeehi数和Riemann Zeta函数的一些恒等式，本文在此基础上引入广义Genoeehi数的概念，给出了广义Genoeehi数和Riemann Zeta函数的一些恒等式．     

Riemann假设的两个推论

1974年ЯН.Мозер证明了,在Riemann假设下,对于直线σ=1/2上的某种特别的点s_0,曲面u=|ξ(s)|上的点(s_0,|ξ(s_0)|是双曲点。本文除了得到一个比他更广的结果外,在Riemann假设下还得一个有关ξ(s)的零点的公式。 1.考虑Riemann Zeta函数ξ(s), 其中s=σ it,设ρ表示ξ(s)的非显然零点,则ξ(s)可表示为无穷乘积:     

Hurwitz zeta-函数的均值公式

设ζ(s，α)为Hurwitzzeta-函数.当Re(s)＞1时，定义ζ(s，a)＝     

原数函数Sp(kn)与Riemann ζ-函数的关系

目的研究函数Sp(kn)与ζ(s)之间的关系。方法利用初等方法。结果给出一个有趣的恒等式。结论将级数表示为Riemann ζ-函数。     

Riemann Zeta函数ζ（2n＋1）的2个新的表达式

主要研究了ζ函数的表示形式,通过初等及解析的研究方法,给出了关于Riemann Zeta函数ζ（2n＋1）的2个新的表达式.     

Levinson定理的改进

§1.引言许多数学工作者研究了在Riemann—Zeta函数ζ(s),s=σ+it,在σ=1/2线上是零点的个数。Selberg[1]证明了ζ(s)在σ=1/2线上存在零点,设N_0(T)是ζ((1/2)+it)在0相似文献   

关于Hurwitz zeta 函数的均值公式

设 ζ(s,α)为 Hurwitzzeta函数 .当 Re(s) >1时 ,定义ζ(s,α) =∑∞n=01(n α) s(实数 α>0 ) ,ζ″(s,α)表示 ζ(s,α)关于复变量 s的二阶导数 .利用解析方法及三角和估计给出了 Hurwitz zeta函数ζ(s,α)对参数α的二次积分均值的一些很有趣的渐近公式 .     

关于Zeta函数的Stieltjes常数

我们知道,当Re(s)=σ>1时,由级数sum from n=1 to ∞ (1/n~s)给定的ζ(s)可以解析开拓到全平面,仅在s=1有一级极点,其留数为1,因为,ζ(s)在s=1有展式 ζ(s)=1/(s-1) sum from n=0 to ∞ (A_n(s-1)~n)其中系数 A_n=(-1)~n/n!γ_n,     

某类解析函数的单叶性半径

设F(z)是一单位圆盘D内的正规化的单叶函数.f(z)=11 cz1-c[zcF(z)]′,c=1,2,3,…,该文讨论F(z)分别为α级星形函数,α级凸函数时f(z)的单叶性半径,其中0≤α<1,并进一步得到了当Re{F′(z)}>α,z∈D时,使得Re{f′(z)}>β,0≤β<1成立的最大半径.这些结果都是最佳的.     

关于Hurwitz zeta函数的均值公式

设ζ(s,α)为Hurwitzzeta函数。当Re(s)>1时,定义ζ(s,α)=∑∞n=01(n+α)s(实数α>0),ζ′(s,α)表示关于复变量s的一阶导数,利用解析方法及三角和估计给出了ζ(s,α)对参数α的二次积分均值的一些有趣的渐近公式.     

一类级数求和方法与求和公式

探讨形如∑∞x=2f(x)(ξ-)(x)的级数求和方法,并给出一个求和公式,其中f(x)为多项式函数,(ξ-)(x)=ξ(x)-1,ξ(x)为Riemann Zeta函数.     

双解析函数一类含参变未知函数的Riemann边值问题

给出双解析函数含参变未知函数的Riemann边值问题及其正则型与非正则型的提法．基于双解析函数的正则型与非正则型Riemann边值问题，讨论了双解析函数含参变未知函数的Riemann边值问题正则型与非正则型情况的可解性，得到了该边值问题的可解性结论：正则型问题的一般解具有2κ 1个自由度，非正则型问题的一般解具有2(κ-μ) 1．     

关于Hurwitz Zeta函数的积分均值

设ζ(s,α)为HurwitzZeta函数.当Re(s)>1时,定义ζ(s,α)=∑∞n=01(n+α)s(实数α>0),ζ′(s,α)、ζ″(s,α)分别表示关于复变量s的一阶导数、二阶导数.利用解析方法及三角和估计给出了ζ(s,α)对参数α的积分均值的一些有趣的渐近公式.     

一类函数族的包含关系

定义Hn中解析函数类Cn(m,λ,μ,β)={f(z)|f(z),g(z)∈Hn,且Re(1-λ)Dm 1f(z) λDm 2f(z)Re((11--λμ))D Dmg(f(z)z) μλDDm 1gf((zz))>β},讨论了其中的包含关系,并改进了g(z)=f(z)时的结果.     

特殊解析函数类的星象半径与凸象半径

§1 引言设N是单位圆盘E={z||z|<1}内以条件f(0)=f′(0)-1=0标准化的解析函数f(z)所组成的类,S,S~*与K依次表示E内单叶函数,单叶星象函数与单叶凸象函数组成的N的子类.对α∈(0,1),若f(z)∈N在E内满足条件Re{zf′(z)/f(z)}>α,称f(z)是α级星象函数,其全体记作S~*(α);若f(z)∈N在E内满足条件Re{1 zf″(z)/f′(z)}>α,称f(z)是α级凸象函数,记作f(z)∈K(α)。我们用P_α,n(0≤α<1,     

一类新的包含Genocchi数与Riemann Zeta函数求和的计算公式

利用第二类Stirling数，建立了一类含有Genocchi数与Riemann Zeta函数求和的一般计算公式，推广了已有的结果，改进了有关结论．     

抽象函数的Riemann积分

令定义在[a,b]上,取值于实Banach空间X的抽象函数,给出了缈的弱Riemann积分的等价叙述.同时,讨论了lp(1＜P＜ ∞)上取值的抽象函数的弱Riemann积分与Riemann积分的关系.目前广泛应用的Pettis积分是Riemann积分的一种推广,举了一个反例说明弱Pettis可积的抽象函数不一定Pettis可积.     

单叶函数论中的螺旋形函数

基于函数An、函数族Sλn, m(A, B)、 f(z)从属于g(z)以及λ-螺旋形函数的定义,给出了某些实数对函数的从属性,并证明了Re[(Dmf(z)/z)βeiλ]的精确下界,得出了几个推论,即:若f(z)是α阶星函数,则Re(f(z)/z)β＞2-2β(1-α);若f(z)是α阶凸函数,则有Re(f ′(z))β＞2-2β(1-α)(0＜β＜2(1-α)-1).同时,又用类似的方法证明了两族函数的包含关系,并就特殊情况做了系数估计,改进了前人的研究结果.