关于二次剩余的q模拟

设P为奇素数,a为正整数且Pa．本文证明了qa-1(q16a;q16a)(p-1)/2/(q16;q16)(p-1)/2≡(a/p)(mod[p]q),其中(x;q)n=(1-x)(1-xq)…(1-xqn-1),[p]q=1 q … qp-1,(a/p)为Legendre符号．     

关于高斯函数的几个恒等式

对高斯函数的两个恒等式:[x]+[x+(1/m)]+…+[x+((m-1)/m)]=[mx],其中x∈R,m∈N;[kq/p]+[kp/q]=((p-1)/2)·((q-1)/2),其中 p、q 是正奇数且(p,q)=1,以及 Tom.M.Apostol 的一个问题“若 a=1,2,3,4,5,6,7.证明存在一个(依赖于 a 的)整数 b,使得[k/8]=[(2n+b)~2/8a]”,作了进一步的推广,得到一般性的结论.     

素数p与勾股定理x~2+y~2=r~2

利用素数二次剩余的基本性质,得到了一个重要结论:设素数p=4n-1,则p a2+b2,当且仅当p a,p b.在此结论基础上,结合一些已知结论,给出了方程x2+y2=r2有非零整数解的充要条件为r含有形如4n+1的素因子.     

A note on the paper "On the classification of finite groups of order p2q2"

设p,q为奇素数,且p＞q,而G是p2q2阶群.如果G是非交换的超可解群且它的Sylow p-子群初等交换,那么:1)当q整除(p-1)但q2不整除(p-1)时,G恰有(q+4)个彼此不同构的类型;2)当q2整除(p-1)时,G恰有(q2 +3q+10)/2个彼此不同构的类型.这一结果完善了已有文献对p2q2阶有限群的分类结果.     

以成果为导向的学生创新工程训练改革与探索

设p,q为奇素数,且p>q,而G是p2 q2阶群.如果G是非交换的超可解群且它的Sylowp-子群初等交换,那么:1)当q整除(p-1)但q2不整除(p-1)时,G恰有(q+4)个彼此不同构的类型;2)当q2整除(p-1)时,G恰有(q2+3q+10)/2个彼此不同构的类型.这一结果完善了已有文献对p2 q2阶有限群的分类结果.     

一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥ 2 ,Hk 表示一个正整数n的集合 ,使对任意的正整数q ,同余方程a +bk≡n(modq)在模q的既约剩余系中有解a ,b .Ek(x)表示n≤x ,n∈Hk,但不能表成p1+p2 k=n的数的个数 ,则在GRH下有Ek(x) x1-2h(k)4 k- 1 +ε,这里h( 2 ) =316 ;k>2 ,h(k) =4k-12× ( 3× 4k -2 +1)k.     

关于等幂和的模周期及其分解性质

等幂和S m(n)=1 m+2 m+…+n m是一个古老的难题,在数论研究中有着重要的作用.设p为奇素数,a n为等幂和表成2p进制的末位数字,本文获得了等幂和的同余性与等幂和的模周期性,从而证明了当p-1|m时,a n是最小正周期为4p的周期数列;当p-1|m时,a n是最小正周期为4p2的周期数列,并且完全确定了当等幂和表成10进制时的末位数字an.     

关于奇完全数素因数的指标

对于正整数a,设δ(a)是a的所有约数之和。如果正整数n满足δ(n)=2n,则称n是完全数。设n是奇完全数,p是n的素因数,r是p在n的标准分解式中的次数。此时,I(p)=δ(n/p~r)/pr称为奇完全数n的素因数p的指标。设q是奇素数,s是正整数。文中运用初等数论方法证明了:如果I(p)=q~s,则s是适合s≥22的偶数。     

关于奇素数方幂中的孤立数

设n是正整数,用σ(n)表示n的所有正因数的和。对于给定的正整数a,如果不存在正整数b适合σ(a)=σ(b)=a+b,则称a是孤立数。文章运用初等数论的方法证明了pr都是孤立数。这里p为奇素数,满足p>2r~(1+ε),0<ε≤1,ε是任意实数,r是正整数,满足r>((1+ε)/ε)~1/ε     

球面稳定同伦群的一族新元素

证明了在经典Adams谱序列中,当p≥11,3≤s≤p-3时,g0(b1)2∈Ext6,2p2q+pq+2qA(H*V(2),Zp)在Adams谱序列中收敛到π2p2q+pq+2q-6V(2)的非零元,g0(b1)2s∈Ext6+s,(s+2)p2q+spq+sq+(s-3)A(Zp,Zp)在Adams谱序列中收敛到π(s+2)p2q+spq+sq-9S的非零元.     

关于一些数列的偏差与伪随机性

设p为奇素数.定义xn={{nk+(n)k/p},如果p(|＼)n;0,如果p|n,以及en={+1, 如果p(|＼)n且0≤{nk+(n)k}<1/2;-1, 如果p(|＼)n且1/2≤{nk+(n)k}<1;+1, 如果p|n.其中是n关于模p的乘法逆,满足1≤(n) ≤p-1.利用解析方法研究了数列{xn}和{en}的性质,并证明了{en}是好的伪随机二进制数列.     

New Weak Keys in RSA

The security of the RSA system with the prime pairs of some special form is investigated. A new special-purpose algorithm for factoring RSA numbers is proposed. The basic idea of the method is to factor RSA numbers by factoring a well-chosen quadratic polynomial with integral coefficients. When viewed as a general-purpose algorithm, the new algorithm has a high computational complexity. It is shown thai the RSA number n = pq can be easily factored if p and q have the special form of p = as＋b, q=cs＋d, where a, b, c, d are relatively small numbers. Such prime pairs （p, q） are the weak keys of RSA, so when we generate RSA modulus, we should avoid using such prime pairs （p, q）.     

默森尼质数的判别法及其构造

得到默森尼 (Mersenne)数为质数的判别法和构造 ,当Mp=2 p- 1为合数时其因数的特征及其因数个数的估计。(1)Mp=2 p- 1为质数的充要条件是 Mp2kp + 1≡ 0　 (mod p)(2 )如果Mp=2 p- 1且Qi|Mp　i=1,2 ,……T那么 12     

具有循环Sylow P—子群的有限群的P—可解性

令P是一个固定素数,G是一个有限群,具有循环Sylow p~-子群.如果G满足下述条件之一,那么G是P~-可解的:(1)存在正规子群N使p|(|G/N|,|N|);(2)对G的每个不可约复特征标x,或者P|x(1),或者x(1)是一固定素数q的方幂.第一个结果首先被Feit W证明,这里给出一个新的并且简短的证明.     

伽罗华环上λ-循环码的结构

一些重要的二元非线性码是Z4上线性码在Glay映射下的像集,因而需要对有限环上的线性码特别是循环码的研究给予特别关注.设p是素数,R=GR（ps,pms）是特征为ps并且元素个数为psm的Galois环,选定λ∈R并且λ是非零因子.设C是R上的长为n的线性码,如果c=（c0,c1,…,cn-1）∈C都有（λcn-1,c0,c1,…,cn-2）∈C,则称是R上长为n的λ-循环码.R上的λ-循环码可以等同于商环Rλn=R[x]/〈xn-λ〉中的理想.设xn-λ=f1…fk,fi=（xn-λ）/fi,其中f1,…,fk是R上两两互素,首项系数为1的基本不可约多项式,证明了Rλn中的任何理想都是形如〈pj fi＋〈xn-λ〉〉的一些理想的内直和,其中0≤j≤s,1≤i≤k;Rλn共有（s＋1）k个理想;R[x]/〈xn-λ〉是主理想环.     

长方体规则打包方案数研究

通过对长方体规则打包方案数的分析表明，当n=p^kp1p2…pn时(其中p,p1，p2,…，pn为互不相等的素数)，所有的规则打包方案数为(k 1)(k 2)/2 3^n.     

Dirichlet L-函数的一次加权均值

利用经典的Kloostermann和估计、三角和估计解析方法，研究Dirichlet L-函数的一次加权均值，得出较为精确的渐近公式：∑x≠x0｜S(m,n,x,q)｜2｜L(1,x)｜=φ2(q)∑′∞n=1(r2(n))/(n2)+O(q3/2+ε).     

方幂和中奇素数因子P的指数问题

设ｎ,ｘ,ｒ为正整数且ｒ＞１,ｐ为奇素数,ｎ＝ｐαｃ,ｐｃ,本文给出下面一类方幂和中因子ｐ的指数计算公式,并给出其在不定方程中一个应用：Ｄ＝∑ｎ－１ｋ＝０（ｘ＋ｄｋ）ｒ,ｄ＝ｐｓ＋１。     

三维磁微极流体方程组弱解的压力正则性准则

 研究磁微极流体方程弱解的正则性,证明了用压力P控制的正则准则.即:如果压力P满足:P∈L^q(0,T;L^p),(3/p)+(2/q)≤2,(3/2)＜p≤∞或∂_zP∈L^q(0,T;L^p),(3/p)+(2/q)≤(7/4),(12/7)≤p≤4;则弱解(u,ω,b)在(0,T]上是光滑解.