否定希伍德的“有名反例”和他证明的“五色定理”

我在研究《四色定理普遍地证明》中,发现希伍德证明了震动数学界100多年的"有名反例"和"五色定理"都是错误的。我揭开了希伍德在证明"反例"上有重大错误的秘密,并证明反例是4-色的,从而否定希伍德的"有名反例";同时我指出了希伍德对顶点数套用数学归纳法的格式来证明"五色定理"的方法是错误的,从而否定了希伍德证明的"五色定理",为《四色定理普遍地证明》打下了基础。     

关于四色问题的P.J.Heawood反例

英国数学家Ｋａｍｐｅ给出了四色定律的第一个证明,１０年后Ｈｅａｗｏｏｄ指出该证明有致命错误,Ｈｅａｗｏｏｄ还利用Ｋａｍｐｅ的方法证明了五色定理。本文分析了Ｋａｍｐｅ方法的漏洞,同时也分析了Ｋａｍｐｅ方法的潜在威力,为此,引入“Ｋａｍｐｅ链”的概念,并把它用到四色问题的几类特殊情况的证明。简化了Ｈｅａｗｏｏｄ反例,分析了反例的逻辑结构。     

简评四色定理的一种非计算机“逻辑证明”

2020年,Y. Wang基于构形和可归约性的经典概念提出了一份四色猜想(The Four Color Conjecture, 4CC)的归谬法证明.首先构造反例指出其"临界k色图"定义的一个缺陷.其次对比分析表明,把"最小图"改为"临界5色图"的做法产生了逻辑二难困境:若按前者对待,则原文尚缺论证能够抵抗传统的Heawood图的反例攻击;若按后者处理,则当今图论无法保证其存在性.     

K—重的开映射与局部同胚映射

本文证明了:“每一定义在 T_2空间上的 k—重的开映射是局部同胚映射”,并以反例指出,如果把条件“T_2”改弱为“T_1”则结论不再成立。从而对 Gittings 关于 Mi—空间(i=1,2,3)逆象定理作了探讨。     

关于“时滞直接控制系统的绝对稳定性”一文的注记

拙作“时滞直接控制系统的绝对稳定性”(湖南大学学报,15卷,第1期,174～179页)定理1的证明中用到Y(t_2)=0,这是不能成立的,有反例表明该定理不能成立。但该定理可修改成如下形式:“设n=1,即A=e,b、c为常数,cb≤0,σf(σ)≤Kσ~2,K为正数,则系统(1)在角域[0,K_0]内绝对稳定的充分必要条件为ρ<0。”该文定理2与定理3也应作相应的修改。     

“反例”小角色大作用——反例教学的重要性

反例是数学学习中的重要内容,通过反例的辨析可以深刻理解相关的数学概念,分析问题解决中的问题,更好地掌握数学定理、公式,并灵活应用于新情境.本文通过理论分析和案例研究,探讨了反例在高考和竞赛中的应用、反例在课标中的地位及心理学的意义和反例在实际教学中的应用.     

某类变系数线性微分系统零解稳定性的反例的一种构造法

本文给出了文[1]例题这类反例的一种构造法.线性微分系统的零解的稳定性,当A是t的函数阵(非常数阵)时,不能象A是常数阵那样由方程(E为n阶单位阵)的根来判断,甚至会出现相反的情况.文[1]举例作了说明,却没有指出这种反例的构造法.文[2]提出了反例的一种公式化的构造法,但方法太繁,计算量很大.本文给出了构造文[1]例题这类反例的模型方程组即定理一,适当选取常数a、b、c就能构造出我们所需要的反例.定理三进一步提供了构造这类反例的一种有效方法.     

反例在泛函分析教学中的作用

主要阐述了反例在泛函分析教学中的作用.通过反例,可以加强学生对基本概念和定理的理解,有助于学生理解和掌握泛函分析中的思想方法,提升分析和解决数学问题的能力.     

关于张弛振动的普遍方程式 f(x,) g(x)=O的周期解之唯一性定理

§1 序言远在廿一年前,Norman Levinson与 Oliver K.Smith([1])首创地研究了张弛振动的普遍方程式 (1) 的周期解,給出了(1)的周期解之存在与唯一性定理。可是,不但唯一性定理的条件应用起来不大方便,而且1957年Z.Mikolajska([2])列举反例說明該定理是錯誤的(但她沒有加以修正,本文§4将陈述其修正形式)。直到1954年,Antonio DeCastro([3])公布了一个存在与唯一性定理,虽然其条件較便于掌握,似定理仍是     

关于E环的结构

文定义了E环:即“含有可数个(有限或无限个)非幂零极小理想N_i(i=1,2,的可换结合环”,并且给出了E环的结构及召环的基本性质。 本文举出反例说明文的结构定理不成立;并且对E环的结构重新进行了探讨。 以下的环,都是结合环。     

关于局部Lipschitz条件的一个反例

反例说明,域G满足局部Lipschitz条件,其内有限个满足Lipschitz条件的开圆的并集D不一定自动满足整体Lipschitz条件.还对“解对初值和参数的连续依赖定理”进行证明,因而对“解对初值的连续性依赖定理”的证明进行了补充和改进.     

一个有界而发散的二指标鞅

R.Cairoli证明了在(F_4)条件下LlnL有界二指标鞅的收敛性定理。E.Dubins和J.Pitman在〔3〕中提出一个引人注目的反例,说明若没有(F_4)条件即使一致有界也不能保证收敛性成立。这个反例引起有关学者对(F_4)条件的进一步研究。[3]中     

外角平分线相等的三角形的讨论

1840年,斯坦纳等一个用纯几何方法证明世界名题“斯坦纳定理”:[1] 两内角平分线相等的三角形是等腰三角形。 以来,人们对定理研究的兴趣愈演愈烈。在本世纪的一般初等数学杂志上都可寻求到定理的踪迹,而且定理在数学竞赛中也非常活跃,至使成为1990年30届工MO预选题。 1980年,日本井上义夫先生将定理的内角平分绵扩充到外角平分经,出有名的“井上难题”:[2] 位于唯一最小(大)角对边的另两外角平分线相等的三角形是等腰三角形。 1989年,我国杨州师院蒋声老师构造出有趣的“蒋声问题”:[3] 位于角A对边的另两外角平分线相等的△ABC是非等腰三角形的条件是:其中     

平面图正常4—着色数的一个计算公式

四色定理等价于任何准极大平面图（near-triangulation）至少有一个正常4－着色。给出了对任意给定的准极大平面图都能准确求出其正常4－着色数的计算公式,该公式的复杂性揭示了四色定理本身所蕴涵的难度。为研究四色定理提供了一条与以往不同的途径。     

四色定理可以普遍地证明

四色定理或称四色猜想,从1840年到现在人们所指的是任何平面和球面的地图,要求相邻的国家或地区的边界用不同种颜色着色,最多只需要四种颜色就够了,现在我提出来的四色定理是指任何平面和球面的图,包括最大平面图和所谓不可约的图在内的无限多点的图     

地图染色定理的证明

[目的]证明155年前提出的球面地图染色的四色猜想。[方法]根据公理给出证明四色猜想的分析证明方法。[结果]给出球面上一般地图的染色定理。证明四色猜想严格成立。还证明了最一般的2维定向和非定向闭曲面上地图的染色定理。[结论]对球面地图给出三色定理和二色定理。确定了一切真实地图的必需染色数。并给出球面上任意地图用最少色的染色程序。     

2*2上三角算子矩阵的Browder定理

设Mc=A C0 B∈B(XY)为定义在Banach空间X Y上的上三角算子矩阵,讨论了Browder定理对Mc成立的一些充分条件,并对文献[9]中的定理2.1举反例指明失误,并进行了修正.     

命题与反例的辨证关系在数学分析教学中的体现

本文阐述命题与反例的辩证关系及在数学分析教学中,通过反例发现新的定理,更改错误的命题和修正命题的条件或结论,使之成为数学定理的教学方法。     

关于POINCARE-BENDIXSON环域定理的一个新证明

本文指出,党新益给出的Poincare-Bendixson环域定理的新证明是错误的,其定义的g(φ)的连续性不能得到保证;并以该文的侧1作为反例进一步作了说明。     

关于大偏差理论的几个注记

结出了速率函数“零点定理”的一个简洁证明，证明了大偏差的几个结果，把Donsker＆Varadhan的一个定理推广到了独立弱收敛的情形．通过构造的一个反例说明：独立同分布情形下的Bahadur＆Zabell的一个结果在独立弱收敛的条件下不成立．