Lebegue控制收敛定理的一种改进

对Lebegue控制收敛定理进行了改进,由此得到比Lebegue控制收敛定理更一般的结论,并对Fatou引理进行了推广,用推广的Fatou引理对改进后的Lebegue控制收敛定理给出了证明.     

关于随机变量r-位数的一个定理

邓远能、杨宏志在文[1]中给出了如下的定理“任一随机变量的中位数或者唯一,或者充满某一有界闭区间”。该定理的结论是正确的,但是定理的证明是有错误的,定理的推论也是有错误的。应该指出文[1]中的关于位数的定理还可以进一步推广。本文给出比文[1]更一般的一个定理,从本文定理的证明中不难看出[1]中定理的     

带位势的非线性的Schroedinger方程的Cauchy问题的可解性

研究带位势V（x）∈L^2（R^a）的非线性Schroedinger方程的Cauchy问题的解的存在性，利用Kato—Rellich定理证明Schroedinger算子H=A—V在H^2（R^n）中的自伴性从而由Stone定理得知H=A—V在H^2（R^n）中生成酉群，据此研究了含比F（u）=｜u｜^2σu更一般的非线性项时方程的解的存在性。     

导体系统的迭加定理

导体系统的迭加定理在文献〔1〕中有过较简短的讨论。本文则在线性介质中较详细地论证了导体系统迭加定理的更普遍、更一般的关系式及其物理实质,利用此定理的结论简洁地证明了格林互易定理,使其物理实质更加明确,并进一步讨论了此定理在求解静电场中的具体应用。     

实数连续性的等价命题

Dedekind分划基本定理、确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、聚点定理、Cauchy收敛准则、有限复盖定理等七个实数连续性的等价命题是数学分析的理论基础,也是现代数学的重要工具。它们的等价性一般都是循环证明的。为了加深对这些命题的理解,掌握应用这些命题证题的规律,进行仿射证明是非常有益的。在文献[1——8]中已给出     

关于多元Чебыщев逼近(Ⅱ)

本文首先对连续函数类建立多元逼近唯一性的一般理论,著名的Haar定理将作为它的特例来证明,进一步,运用该理论专门研究了多元多项式逼近的唯一性问题,特别是对一次和二次最佳逼近唯一性问题,在文献[4—8]的基础上,得到了一些更深入的结果,本文最后指出了文献[6]中两个定理的错误,与[6]的作者们商榷。     

一个集值映射的不动点定理

本文利用凸集分解定理和KyFan极大极小定理做工具给出更一般情形，使KyFan—Glicksbery不动点定理成为直接推论。     

关于拉格朗日和柯西中值定理的一个证明和注记

对于微分中值定理的证明,高等数学教材或数学分析教材一般都是用设辅助函数的办法,《美国数学月刊》在近年里有一种构造性的证明被刊登,本文作者则采用旋转变换的这一简洁办法。同时文中给出了微分中值定理的一个更广义的结论。     

一般隐函数组定理的证明

在数学分析教材中已有隐函数定理及一般隐函数组定理的证明,文[1]通过压缩映射证明了隐函数定理。借助矩阵范数与向量范数的表示形式,应用Banach不动点定理证明一般隐函数组定理,其证明过程比数学分析教材中原有的证明过程更为清晰、易懂。     

平面上Clifford定理的一般证明

Clifford定理作为几何学的一个最基本定理有着广泛的应用,读者通过该定理可以从整体上提高对几何学的认识。学习Clifford定理须从其证明入手,然而,目前很难找到一个通俗且完整的证明。文章利用实交比值引理给出了平面上Clifford定理的一般证明,这一方法对任意n条一般直线都适用。     

关于群论中一个定理的注记

张远达在其著名著作《有限群构造》中证明了定理4(见引言),并明确指出条件[G:N_G(H)]为有限数是关键。本文证明了这个条件可以去掉,并得到更一般的定理。     

关于联结集合的一个定理

关于联结拓朴空间上的联结点集,有下面这样一个定理: 定理(*)假定A是联结拓朴空间T上的联结点集,那么,对T—A的每个成分θ,T—θ联结。 这定理的逆一般当然不成立,例如文末举的例子。不过,这里要在单黏连(unico-herent)的局部联结的尺度空间上证明这定理的逆定理。     

证明Cauchy—Goursat基本定理的新方法

在复变函数中,关于Cauchy—Goursat基本定理的证明,文献[1]因原始证明比较复杂而未加证明;文献[2]中的证明附加了条件f’(z)连续。本文从Cauchy积分公式出发,给出了Cauchy—Goursat基本定理的证明的新方法。     

ε—邻域与重域的等同性质以及用ε—邻域研究Fuzzy紧空间

寻求一种“ε—邻域”,具有一般拓扑中邻域的特性,并论证它所刻划的第一可数空间C_I~*与Hausdorff空间T_2~*同重域所定义的一致。进而用“ε—邻域”方法定义紧*—空间,且证明相应的Alexander子基定理、Tychonoff定理成立的条件等。     

Fuzzy映象的不动度

最近,张石生在文献[1]、[2]中给出了关于Fuzzy映象不动点的几个定理,这些工作改进并推广了Heilpern[3]的结果。但[1]、[2]中主要定理的证明较为繁锁,可以简化。本文利用所引进的Fuzzy映象的不动度的概念,将[1]、[2]中给出的几个不动点定理推广为更一般的形式,并给出简洁的证明。     

关于拓扑学中两个基本定理的一种新的证明方法

在拓扑学定理的证明过程中,教材一般都是利用逆否命题的证明方法来加以证明,本文则是采用直接的证明方法对定理进行严格的证明。     

常见概率分布间的极限关系

以定理形式给出了常见概率分布间的6种极限关系,包括超几何分布的二项近似、二项分布的泊松近似、二项分布的正态近似、泊松分布的正态近似、t分布的正态近似和分布的正态近似。除了比较熟悉的泊松定理和棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理外,其他定理一般文献较少提及,或只给出结论而未加以证明,该文对这些定理均给出了证明,同时对定理的适用条件及应用进行了说明。了解以上常见概率分布间的极限关系,有助于系统理解常见分布间的联系,同时为概率的近似计算及统计推断提供了依据。     

区间上连续函数的性质与构造证明法

连续函数是"微积分"研究的主要对象;区间上连续函数的性质是"微积分"课程的重要内容;也是被认为很困难的内容;许多教材为了回避困难,不惜先引入定理,在教材的后面部分再给出证明;其实,闭区间上连续函数性质的证明的难度不会超过证明确界定理的难度,而证明这些定理的思想方法可能比这些定理本身更重要;将在确界定理与单调有界定理的基础上,利用构造性方法给出闭区间上连续函数性质的证明;并由此深入讨论一般区间上连续函数的性质。     

齐线性微分方程组降阶定理的一个一般证明

文[1]只给出了齐线性微分方程组有几个线性无关解时降阶定理的特殊证明,本文再给出该定理的一个一般证明。     

用特征函数证明一些定理

特征函数的性质,以及用特征函数证明一些定理,可使得一些定理在证明中更简略。