关于不定方程x2+64=4yn(n=7,11)的解

不定方程整数解的问题是数论方面的一个重要分支,利用代数数论和同余的方法讨论不定方程x~2+64=4y~n(x,y∈Z),当n=7,11时整数解的问题,并证明了不定方程x~2+64=4y~n(n=7,11)无整数解.     

不定方程x~2+4~n=y~(13)整数解的完全刻画

文章研究指数型Lebesgue-Nagell不定方程x~2+B=y~k的整数解是数论中的一类重要课题,其中B是非负整数,k是正整数。应用代数数论的方法完全刻画了不定方程x~2+4~n=y~(13)的整数解,既证明了不定方程x~2+4~n=y~(13)有整数解(当且仅当n≡0,6(mod 13)),且其整数解分别为(n,x,y)=(13m,0,4~m)或(13m+6,±2~({13m+6}),2~({2m+1})),其中n,m是非负整数.     

关于不定方程x~2+64=4y~n(n=5,9)的解

利用代数数论整数环的唯一分解性,研究了不定方程x~2+64=4y~n(n=5,9)的整数解问题,并证明了当n=5时,该方程仅有整数解(x,y)=(±8,2);当n=9时,该方程无整数解。     

关于不定方程x2+4n=y11的整数解

应用代数数论以及同余法等初等方法讨论不定方程x~2+4~n=y~(11)的整数解情况,证明了不定方程x~2+4~n=y~(11)在x为奇数,n≥1时无整数解;不定方程x~2+4~n=y~(11)在n∈{1,8,9,10}时均无整数解;不定方程x~2+4~n=y~(11)有整数解的充要条件是n≡0(mod 11)或n≡5(mod 11),且当n≡0(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(0,4~m);当n≡5(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(±2~(11m+5),22m+1),这里的m为非负整数,验证了k=11时猜想1成立。     

关于Diophantine方程x3-1=py2

利用初等数论的方法得到丢番图方程x3-1=py2无正整数解的一个充分条件.设p是奇素数,证明了当p=3(4k+3)(4k+4)+1,其中k是非负整数,则方程x3-1=py2无正整数解.     

关于不定方程x~2+4~n=y~(11)

利用代数数论的方法,证明了不定方程x2+4n=y11,当n=3和n=4时无整数解,n=5时有整数解(x,y)=(±32,2).     

不定方程x~2+256=4y~n(n=7,11)的整数解

在高斯整环中,利用代数数论理论和同余理论的方法研究不定方程x~2+256=4y~n(x,y∈Z),讨论当n=7,11时整数解的问题,并证明了x~2+256=4y~n在n=7时仅有整数解(x,y)=(±16,2)和n=11时无整数解。     

一类与伪Smarandache 函数相关的函数方程

首先研究了著名的F.Smarandache函数S(n)的性质,讨论了一类新的包含Smarandache对偶函数及其伪Smarandache函数方程Z(n)+S*(n)-1=kn,k≥1的可解性,利用初等数论及组合方法,结合伪Smarandache函数Z(n)的性质,巧妙地构造了一个新方程。结果给出了这一类方程的所有整数解,即当k=1时,该方程当且仅当有唯一解n=1,当k=2时,仅有解n=2α,α≥1;当k≥3时,无解。从而,本文彻底解决了这类新方程解的问题。     

关于不定方程x2+4n=y11（n=6,7）的求解

利用代数数论的方法,证明了不定方程x2+4n=y11,当n=6,7时无整数解。     

与阶乘有关的丢番图方程∑nk=1k!=qm+a

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题.文章研究了方程∑nk = 1k! =qm+a,利用阶乘的有关性质,求出了以上方程当a = ±1,-2,±4时的全部整数解,并提出了一些猜想.     

有关Euler函数φ(n)的几个非线性方程

令φ(n)是Euler函数,它是数论中重要的数论函数之一.包含Euler函数φ(n)的线性方程整数解的研究成果极为丰富.本文考虑了当b取某些整数时的包含Euler函数φ(n)非线性方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)±b.对于奇数b,利用初等的方法证明了该方程有整数解时b,k1与k2的一些条件.并结合所给出的条件讨论了几个具体方程的整数解,给出了它们的各自的整数解.对于偶数b,讨论了一个具体形式的方程的整数解,利用初等的方法给出了其全部的整数解.     

不定方程x~2+4096=4y~(11)的整数解

运用同余理论、代数数论等方法,对不定方程x~2+D=4y~n在D=4096,n=11时的整数解问题进行了讨论。得到不定方程x~2+4096=4y~(11)仅有整数解(x,y)=(±64,2)。     

一类包含完美数的欧拉函数方程的可解性

欧拉函数方程是一类重要的丢番图方程.本研究利用欧拉函数的性质与初等数论的方法,讨论含完美数的三元变系数欧拉函数方程 φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)-k,(k=6,28)的可解性,并证明:当k=6时,该方程共有51组正整数解;当k=28时,该方程共有25组正整数解.     

关于不定方程x~2+4096=4y~(13)的整数解

运用同余理论、代数数论等方法对不定方程x~2+4 096=4y~(13)的整数解问题进行研究,发现不定方程x~2+4 096=4y~(13)无整数解.     

关于不定方程x3-1=709 q y2的正整数解

采用同余式、Pell方程解的性质以及递归序列等初等数论方法,得到了当q≡1(mod 12)为奇素数时,不定方程x3-1=709 qy2有解的充要条件.证明了当q满足q=12k2+12k+1(k∈N*),q=108k2±12k+1(k∈N*),q=12k2+1(k∈N*)以及q≡1(mod 12)为奇素数且q709=-1这4个条件之一时,方程x3-1=709 q y2无正整数解.     

关于丢番图方程x3±y6=Dz2

设D是无平方因子且不被6k+1形素数整除的正整数,运用初等数论方法,获得了丢番图方程x3 ±y6=Dz2 全部整数解的通解公式,获得方程在D=1,2,3,6时的全部整数解,从而推进了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想的研究进展.     

关于丢番图方程x3+y3=pDz4

设p≡5(mod6)是素数,D是无4次方因子且不被p和6k+1形素数整除的正整数,运用数论方法,获得了丢番图方程x3+y3=pDz4在D=1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36, 54,72,108, 216时无整数解的充分条件,从而推进了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想的研究进展.     

关于Diophantine方程x3±8=Dy2

当D为奇素数,且D=3(8k+2)(8k+3)+1,其中k是非负整数,则方程x3+8=Dy2无正整数解;当D为奇素数,且D=3×4k(4k+1)+1,则方程x3-8=Dy2无正整数解.     

关于不定方程x2+4n =y9的整数解

该文首先应用代数数论的方法证明了不定方程~$x{^2}+4{^n}=y{^9}$~在~$x\equiv 1 \pmod{2}$ 时无整数解, 再证明不定方程~$x{^2}+4{^n}=y{^9}$~在~$n \in\{6, 7, 8\}$~ 时均无整数解, 进而证明不定方程~$x{^2}+4{^n}=y{^9}$~仅当~$n\equiv 0 \pmod{9}$~和~$n\equiv 4 \pmod{9}$ 时有整数解, 且当~$n=9m$~时, 其整数解为~$(x,y)=(0,4{^m})$; 当~$n=9m+4$~时, 其整数解为~$(x,y)=(\pm16\times2{^{9m}},2\times4{^m}),$~ 这里的~$m$~为非负整数. 进一步, 根据~$k=5,9$ 的结论, 文章提出了一个关于不定方程~$x{^2}+4{^n}=y{^k}$ $(k$ 为奇数$)$ 的整数解的猜想, 以供后续研究.     

关于不定方程x~2+4=y~5

讨论不定方程x2+4=y5的整数解,利用代数数论的方法证明了不定方程x2+4=y5无整数解。